恰有两个主特征值的图的性质

设λ是图G的一个特征值,如果存在属于λ的一个特征向量X=(x_1,x_2,…,x_n)~T,使得(?)x_i≠0,则λ称为图G的主特征值.将恰有两个主特征值的一个充要条件做了进一步推广,并在此基础上给出恰有两个主特征值的图的一些性质以及恰有两个主特征值的图的一些运算结果.     

最小Q-特征值的扰动定理的推广及其应用（英文）

图的最小Q-特征值是图的二部性的一个度量,具有重要的研究意义.本文研究了移接图G的某些二部分支时最小Q-特征值k(G)的变化规律,推广了文献[Linear Algebra Appl.,2012,436(7):2084-2092]中关于κ(G)的扰动定理.作为应用,本文研究了交错定理的等号成立条件,构造了一个非二部连通图类,并对这图类中每个图G构造一个边子集ε,使得对ε的任意子集S都有κ(G)=κ(G-S).     

星匹配数与(无符号)拉普拉斯特征值

设G是一个简单无向图,s 3是一个正整数.文章中,若K1,s-匹配数为m(G)的n阶连通图G满足n(s+1)m(G),则G的第m(G)大L-特征值μm(G)s+1,然后证明了类似结论对于Q-谱也成立.最后给出了几个判断图的哈密顿性的Q-特征值条件.     

不含P_t的非二部连通图的最小Q-特征值

对于一个连通图而言,它的最小Q-特征值为零当且仅当它是二部图.图的最小Q-特征值常被用来衡量一个图的非二部程度,因而受到研究者的广泛关注.文中研究了图中存在长路的最小Q-特征值条件,分别确定了最小Q-特征值最小的不含路Pt的非二部单圈图和非二部连通图.     

图的规范拉普拉斯谱与优超（英文）

令G是简单图.记L(G)为图G的规范拉普拉斯矩阵,其特征值称为图的规范拉普拉斯特征值.[Adv.Math.(China),2017,46(6):848-856]给出了关于规范拉普拉斯特征值和的相关结论,并提出相关猜想.我们发现在上述文章中的一些重要结果中存在一些错误.本文修正了所有不正确的结果.此外,我们讨论了￡(G)的特征值优超不等式.利用这些结果,我们证实了[Adv.Math.(China),2017,46(6):848-8561中提出的一个猜想.     

双圈图的距离无符号拉普拉斯谱半径

连通图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵定义为$\mathcal{Q}(G)=Tr(G)+D(G)$, 其中$Tr(G)$和$D(G)$分别为连通图$G$的点传输矩阵和距离矩阵. 图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径. 本文确定了给定点数的双圈图中具有最大的距离无符号拉普拉斯谱半径的图.     

Q整图新类

对于一个简单图G, 方阵Q(G)=D(G)+A(G)称为G的无符号拉普拉斯矩阵,其中D(G)和A(G)分别为G的度对角矩阵和邻接矩阵. 一个图是Q整图是指该图的无符号拉普拉斯矩阵的特征值全部为整数.首先通过Stanic 得到的六个顶点数目较小的Q整图,构造出了六类具有无穷多个的非正则的Q整图. 进而,通过图的笛卡尔积运算得到了很多的Q整图类. 最后, 得到了一些正则的Q整图.     

关于图的最小Q-特征值

研究了基于n阶二部图和s阶完全图构造的一个图类,得到了该图类的无符号拉普拉斯最小特征值(即最小Q-特征值)的一个可达上界为s.基于此,对于任意给定的正整数s和正偶数n,构造了最小Q-特征值为s的一类n+s阶图.另外,对于任意给定的最小度δ和阶数n,在满足2≤δ≤n-1/2条件下,构造了最小Q-特征值为δ-1的一类n阶图.     

可迹图的谱充分条件

设G是一个简单图,A(G),Q(G)以及Q(G)分别为G的邻接矩阵,无符号拉普拉斯矩阵以及距离无符号拉普拉斯矩阵,其最大特征值分别称为G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径以及距离无符号拉普拉斯谱半径.如果图G中有一条包含G中所有顶点的路,则称这条路为哈密顿路;如果图G含有哈密顿路,则称G为可迹图;如果图G含有从任意一点出发的哈密顿路,则称G从任意一点出发都是可迹的.主要研究利用图G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径,以及距离无符号拉普拉斯谱半径,分别给出图G从任意一点出发都是可迹的充分条件.     

图经广义并接运算后的(无符号拉普拉斯)特征值的一些结论（英文）

设G是一个顶点集为{u_1,u_2,…,u_n}的点标号图,H_1,H_2,…,H_n是n个顶点不交的图,将图G中的顶点u_i(i=1,2,…,n)用图H_i代替,若点u_i与点u_j在G中相邻,则连接H_i与H_j中的所有的点,这样得到的图定义为G[H_1,H_2,…,H_n].本文确定了图G[H_1,H_2,…,H_n]的Q-特征多项式和A-特征多项式.最后,作为应用,构造了很多对(无符号拉普拉斯)-同谱图,并给出了一些关于特殊图类的Q-特征值和A-特征值的不等式序列.     

循环图的距离能量（英文）

For a connected graph G, the distance energy of G is a recently developed energytype invariant, defined as the sum of absolute values of the eigenvalues of the distance matrix G. A graph is called circulant if it is Cayley graph on the circulant group, i.e., its adjacency matrix is circulant. In this note, we establish lower bounds for the distance energy of circulant graphs. In particular, we discuss upper bound of distance energy for the 4-circulant graph.     

给定顶点数和边数的连通图的Q-谱半径的界

图的无符号拉普拉斯矩阵是图的邻接矩阵和度对角矩阵的和,其特征值记为q1≥q2≥…≥qn.设C(n,m)是由n个顶点m条边的连通图构成的集合,这里1≤n-1≤m≤(n2).如果对于任意的G∈C(n,m)都有q1(G*)≥q1(G)成立,图G*∈C(n,m)叫做最大图.这篇文章证明了对任意给定的正整数a=m-n+1,如果n...     

Trees, unicyclic graphs and bicyclic graphs with exactly two Q-main eigenvalues

The signless Laplacian matrix of a graph G is defined to be the sum of its adjacency matrix and degree diagonal matrix, and its eigenvalues are called Q-eigenvalues of G. A Q-eigenvalue of a graph G is called a Q-main eigenvalue if it has an eigenvector the sum of whose entries is not equal to zero. In this work, all trees, unicyclic graphs and bicyclic graphs with exactly two Q-main eigenvalues are determined.     

The integral graphs with index 3 and exactly two main eigenvalues

A graph is called integral if the spectrum of its adjacency matrix has only integral eigenvalues. An eigenvalue of a graph is called main eigenvalue if it has an eigenvector such that the sum of whose entries is not equal to zero. In this paper, we show that there are exactly 25 connected integral graphs with exactly two main eigenvalues and index 3.     

梯子细分图Ln＊的排斥（下整）和数

（下整）和标号与排斥（下整）和标号是图的一种压缩表示．一个图G称为下整和图,若它同构于某个S Q＋的下整和图．图Pn×K2称为梯子．本文给出了梯子细分图Ln＊的定义,并确定了梯子细分图Ln＊的排斥（下整）和数．     

梯子细分图L_n~*的排斥(下整)和数

(下整)和标号与排斥(下整)和标号是图的一种压缩表示.一个图G称为下整和图,若它同构于某个SQ+的下整和图.图Pn×K2称为梯子.本文给出了梯子细分图Ln*的定义,并确定了梯子细分图Ln*的排斥(下整)和数.     

Heavy cycles in 2-connected triangle-free weighted graphs

A weighted graph is one in which every edge e is assigned a nonnegative number, called the weight of e. The sum of the weights of the edges incident with a vertex v is called the weighted degree of v, denoted by dw(v). The weight of a cycle is defined as the sum of the weights of its edges. Fujisawa proved that if G is a 2-connected triangle-free weighted graph such that the minimum weighted degree of G is at least d, then G contains a cycle of weight at least 2d. In this paper, we proved that if G is a2-connected triangle-free weighted graph of even size such that dw(u) + dw(v) ≥ 2d holds for any pair of nonadjacent vertices u, v ∈ V(G), then G contains a cycle of weight at least 2d.     

SMITH NORMAL FORMAL OF DISTANCE MATRIX OF BLOCK GRAPHS

A connected graph, whose blocks are all cliques (of possibly varying sizes), is called a { block graph.} Let D(G) be its distance matrix. In this note, we prove that the Smith normal form of D(G) is independent of the interconnection way of blocks and give an explicit expression for the Smith normal form in the case that all cliques have the same size, which generalize the results on determinants.