离散模型两个不变闭曲线的分支存在性研究

主要研究的是二维离散模型,基于余维1的N-S分支理论,探讨了离散模型产生两个不变闭曲线的余维2的分支问题.给出了定理及其证明的详细过程,主要用复正规形的方法简化方程,消掉全部的二次,四次项和部分一次,三次项,利用极坐标使方程化为最简形式.分析产生两个不变闭曲线的条件,通过计算相关系数k_1(α)和k_2(α),进而计算出关键系数L_2(0),给出了不变闭曲线的存在性和稳定性.当L_2(0)0(L_2(0)0)时,参数满足一定条件会出现两个不变闭曲线,此时里面的不变闭曲线稳定(不稳定),外边的不稳定(稳定).在分析过程中,不仅给出相关系数k_1(0),k_2(0)的计算公式,而且给出了特定情形下k_2(0)的简化计算公式,使得运用更加方便.还通过举例展示了方法的应用过程,也通过数值模拟显示了方法的正确性.     

带有分段常数变量的Lorenz系统的稳定性和分支

本文研究一类带有分段常数变量的Lorenz系统的稳定性和分支行为.首先通过计算转化得到Lorenz系统对应的差分系统,利用线性稳定性理论讨论平衡点局部渐近稳定的充要条件.其次选择差分系统三个参数的一个参数为分支参数,利用分支理论研究平衡点处产生Neimark-Sacker分支不变闭曲线的充要条件,并使用分支理论给出判断分支不变闭曲线的稳定性的阈值.最后数值模拟验证了理论分析的正确性.     

一类具有二虚不变直线的三次系统的极限环与分支

讨论一类具有二虚平行不变直线的三次系统，求出了奇点O(0,0)的焦点量, 证明了δlmn=0 时系统在O外围至多有一个极限环. 利用分支理论给出了分界线环和半稳 定环分支曲线的分支图，进一步说明了系统至多有二个极限环.     

积分流形的分支条件及其应用

通过使用压缩原理, 获得了一个关于积分流形存在的分支定理,作为应用,给出了一个高维系统积分流形存在的充分性条件. 特别地,证明了在奇异性为余维2的4维自治系统中3维不变环面的存在性和唯一性.     

离散Hopfield神经网络分析

利用Euler格式得到了一个含有三个神经元的多延迟离散Hopfield神经网络模型.利用离散动力系统理论研究了该模型的线性稳定性,得到了模型稳定及出现Hopf分支的条件.最后,数值仿真验证了所得的结果.     

一类余维3的鞍-焦点异宿环分支

对余维3系统X_μ(x)具有包含一个双曲鞍-焦点O_1和一个非双曲鞍-焦点O_2的异宿环f进行了研究.证明了在f的邻域内有可数无穷条周期轨线和异宿轨线,当非粗糙异宿轨线Γ~0破裂时X_μ(x)会产生同宿轨分支,并给出了相应的分支曲线和两种同宿环共存的参数值.在3参数扰动下Γ~0破裂和O_2点产生Hopf分支的情况下,在f的邻域内有一条含O_1点同宿环,可数无效多条的轨线同宿于O_2点分支出的闭轨H_0,一条或无穷多条(可数或连续统的)异宿轨线等.     

一类三维系统的次调和解与不变环面的分支

讨论一类三维自治系统的闭轨在周期扰动下的分支问题.利用Poincare映射与积分流形定理,得到扰动系统存在次调和解和不变环面的条件,以及次调和解的鞍结点分支.     

一类奇摄动系统奇异极限环的不变环面分支

对一类奇异摄动系统中由奇异极限环产生的不变环面分支进行了研究并利用不变环面的分支理论,讨论了由快系统的二重极限环和三重环分支出的不变环面的存在性.     

一个带有Holling-Ⅳ功能性反应的捕食与被捕食模型的稳定性和分支

研究了一个带Holling-Ⅳ型功能反应的捕食与被捕食模型,讨论了系统解的有界性和各平衡点的存在性,使用Routh-Hurwitz定理得到了平衡点局部渐近稳定的充分条件.引入两个离散时滞,得出了重要的结果:边界平衡点的稳定性随着τ1的增加,由稳定变为不稳定,并且会发生Hopf分支.对正平衡点的稳定性变化,考虑了两个时滞相等的情况,结果是随着分支参数的增加,不仅稳定性会发生变化,产生Hopf分支,甚至可能出现小范围周期解.     

Melnikov函数符号的应用

用Melnikov函数的符号判断未摄动系统是Hamilton系统的二维系统x′=f(x)+εg(x,a),0<ε<<1,a∈R的周期解的存在性和稳定性.其结果可应用于具有双重零特征值时流的余维二分支的分支集的相图构造.