仿射合成代数的三角分解

设是一个仿射箭图,它的极小虚单根为ｎ．设ｋ是一个有限域,记Ａ＝ｋ为ｋ上关于箭图的路代数,而记Ｃ(Ａ)为关于Ａ的合成代数．由Ｃ．Ｒｉｎｇｅｌ和Ｊ．Ｇｒｅｅｎ的工作,Ｃ(Ａ)揭示了Ａ的表示与量子群有密切的关系．文[１１]证明了对应于Ａ的不可分解表示可以分成预投射,正则,和预内射三个部分,Ｃ(Ａ)具有一个三角分解．[１１]中的证明需要假设维数向量为ｎ的拟单模存在,而对于|ｋ|＝２,是ｎ型和ｍ型(ｍ＝６,７,８)的情形,此假设不满足,本文的目的是给出一个简化的,而且不需要前面所提假设的证明．由此,得到一个与域ｋ无关的Ｃ(Ａ)的三角分解．     

迹分解秩(英文)

首先引入迹分解秩的概念,具有这个结构的稳定有限的顺从C~*-代数非常多.这个概念和Elliott的用K-理论来分类顺从C~*-代数的分类计划有重要的联系.然后研究C~*-代数扩张.设0→I→A-→A/I→0是C~*-代数的一个短正合序列,其中A有单位元.假设I有分解秩k,A/I有迹分解秩k,那么如果扩张是拟对角的,本文将证明A的迹分解秩不超过k.     

T(2,2,2,2)型tubular代数的合成代数

设A为有限域上的T(2,2,2,2)型tubular代数,它是tame遗传代数A0的单点扩张,也是tame遗传代数A∞的单点余扩张．记P0为预投射A0-模集合,L∞是预内射A∞-模集合,则P0,L∞(?)mod A记T=mod A＼(P0∪L∞)．本文证明A的合成代数C(A)具有形为P0·J·L∞的三角分解．     

一类完全三部图的色唯一性

用P(G,λ)表示简单图G的色多项式.设G是一个给定的简单图,若对任意简单图H,当P(H,λ)=P(G,λ)时都有H和G同构(记为H≌G),则称图G是色唯一的.本文证明了以下结果:设n,k,△都为非负整数,其中k≥0,△∈{4,5},若n≥1/3k~2+1/3△~2-1/3k△-1/3k-1/3△+4/3,则完全三部图K(n,n+△,n+k)是色唯一的.同时还给出了一个猜想.     

一个涉及Fermat点的不等式的推广

设△ ABC的三边和面积分别为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,AF、BF、CF的延长线分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.文 [1]建立了如下不等式 :f2a f2b f2c≥ 3 3△ (1)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .本文将把 (1)式推广为 :若 t≥ 2或 t<0 ,则　 fta ftb ftc≥ 3(3△ ) t2 (2 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明 (2 )式 ,先给出一个引理 .引理　设 a1 ,a2 ,… ,an ∈ R ,k≥ 1或k <0 ,则　　∑ni=1aki ≥ n(1n∑ni=1ai) k (3)此结果见文 [2 ].下面证明 (2 )式 .证明　由 t≥ 2…     

Pedoe不等式的向量证明

设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c…     

C*-代数的迹迹秩

引入C*-代数迹迹秩的概念,讨论它的基本性质.另外,迹迹秩为零和迹拓扑秩为零的C*-代数等价,同时讨论这类代数的拟对角扩张性质.设0→I→ A→A/I→0是拟对角扩张的短正合列,证明如果TTR(I)≤k且TTR(A/I)=0,则TTR(A)≤k.     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

△-tame拟遗传代数

设(K,M,H)是上三角双模问题,Br(u)stle和Hille证明了(K,M,H)的矩阵范畴Mat(K,M)的投射生成子P的自同态代数的反代数A是拟遗传代数,而且代数A的△好模范畴与Mat(K,M)等价.本文基于双模问题的tame定理,证明了如果由上三角双模问题所对应的拟遗传代数A是△-tame表示型的,则F(△)具有齐次性质,即F(△)中的几乎所有的模都同构于它的Auslander-Reiten变换;进一步地,如果(K,M,H)是上三角双分双模问题,则A是△-tame表示型的当且仅当F(△)具有齐次性质.