若干完全三部图的色唯一性

用P(G,λ)表示图G的色多项式.若对任意图H,当P(H,λ)=P(G,λ)时都有H和G同构,则称图G是色唯一的.给出了以下结果:m≥2且k≥0时,完全三部图K(m,m,m+k)是色唯一的;m≥2且m+1>k≥0时,完全三部图K(m,m+1,m+k)是色唯一的.     

完全三部图K(n_1,n_2,n_3)的色唯一性

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式.若对任意简单图H使P(H,λ)=P(G,λ),都有H与G同构,则称G是色唯一图.令K(n     

关于完全t部图的色唯一性

设P(G,λ)是图的色多项式。如果对任意使P(G,λ)=P(H,λ)的图H都与G同构,则称图G是色唯一图.这里通过比较t 1色类的色划分数目,讨论了由Koh和Teo在文献[1]中提出的问题(若|ni-nj|≤2,当min(n1,n2,…,nt)充分大时,完全t部图K(n1,n2,…,nt)是否是色唯一图?)。改进了文献[5]中的结果。证明了若Σ1≤i≤ta2i=T,min{n a1,n a2,…,nt at,n-1}≥(T 1)/2,则K(n a1,n a2,…,n at)是色唯一图(其中ai是实数,n ai是正整数)。从而证明了若|ni-nj|≤k(i,j=1,2,…,t),min{n1,n2,…,nt}≥tk2/8 1,则K(n1,n2,…,nt)是色唯一图。     

关于完全t部图K(n1,n2,…,nt)的色唯一性

设P（G，λ）是图G的色多项式，如果对任意使P（G，λ）=P（H，λ）的图H都与G同构，则称G是色唯一图。这里通过比较图的特征子图的个数，讨论了由Koh和Teo在文献[1]中提出的问题（若｜ni-nj｜≤2，1≤i，j≤t且min{n1，n2，…，nt}充分大，K（n1，n2，…，nt）是否为色唯一图？）。证明了，若｜ni—nj｜≤2且t↑∑↑i=1 ni〉t^2/2＋t√t-1，则K（n1，n2，…，nt）是色唯一图；若αi=0或k，t↑∑↑i=1 n＋αi〉t^2k^2/8＋｜tk｜/2√t-1，则K（n＋α1，n＋α2，…，n＋αt）是色唯一图。其条件比文献[4]中的条件较好一些。     

广义轮图的色多项式唯一性

本文证明了:当k≥0,n≥4为偶数时,广义轮图θ_n,k色多项式唯一。同时,也用较简单的方法证明了:对于一个图G,其色多项式为P_λ(G)=λ…(λ-q+1)·(λ-q)^n-q当且仅当G为n阶q-树。     

色临界图的最大度与色数的一个关系式

研究了一类简单图G的色数x(G)与最大度△(G)的关系,对满足x(G)>(S~2+S)/2的X(G)+S阶色临界图G,证明了x(G)=△(G)+1-S,或等价地,△(G)+1-[((8△(G)+17~(1/2)-3/2]≤X(G)≤△(G)+1,这一结果部分改进了Brooks经典不等式X(G)≤△(G)+1,并完全刻画n+3(n≥4)个顶点的n-临界图的结构。     

5-桥图F(2,a,a,b,c)的色等价刻画

设P(G，λ)是图G关于变量λ的色多项式，P(G，λ)=P(H，λ)，称G和H色等价，由连接两个顶点的S条内部不交的路组成的图叫S-桥图。本讨论了5-桥图F(2,a,a,b,c)(c≥b≥a 1，a≥2)的色性，完整刻画了这类图的色等价图。     

超级限制边连通二部图的充分条件

设S是连通图G的一个边割.若G-S不包含孤立点,则称S是G的一个限制边割.图G的最小限制边割的边数称为G的限制边连通度,记为λ'(G).如果图G的限制边连通度等于其最小边度,则称图G是最优限制边连通的,简称λ'-最优的.进一步,如果图G的每个最小限制边割恰好分离出图G的一条边,则称图G是超级限制边连通的,简称超级-λ'的.设G是一个最小度δ(G)≥2的n≥4阶二部图,ξ(G)是G的最小边度.本文证明了(a)若ξ(G)≥(n/2-2)(1+1/δ(G)-1),则G是λ'-最优的;(b)若ξ(G)>(n/2-2)(1+1/δ(G)-1),则G是超级-λ'的,除非图G是K2,n-2,n≥6或是Cartesian积图Kn/4,n/4×K2,其中n≥8且n整除4.最后,论文举例说明该结果是最好可能的.     

二部平衡公平划分的一个下界

设V_1,V_2是图G的一个二部划分.如果一1≤|V_1|-|V_2|≤1,则称V_1,V_2是G的一个二部平衡划分.对于n个顶点m条边的简单图G,本文证明了:(1)若G是k-正则图(k≥3),则G存在一个最小二部平衡划分V_1,V_2,使得max{e(V_1),e(V_2)}≥((k-1)m)/4k;(2)如果r是大于4的实数,且当n是偶数时△(G)≤((3r-4))/(r+4)δ(G)-(2r)/(r+4),当n是奇数时△(G)≤(3r-4)/(r+4)δ(G)-(8r)/(r+4),那么G存在一个二部平衡划分,使得min{e(V_1),e(V_2)}≥m/r,这里e(V_i)表示G中两个顶点都在V_i中的边的数目.     

关于完全三部图色唯一性的一个注记

Let P(G,λ) be the chromatic polynomial of a simple graph G. A graph G is chromatically unique if for any simple graph H, P(H,λ) = P(G,λ) implies that H is isomorphic to G. Many sufficient conditions guaranteeing that some certain complete tripartite graphs are chromatically unique were obtained by many scholars. Especially, in 2003, Zou Hui-wen showed that if n 31m2 + 31k2 + 31mk+ 31m? 31k+ 32√m2 + k2 + mk, where n,k and m are non-negative integers, then the complete tripartite graph K(n - m,n,n + k) is chromatically unique (or simply χ-unique). In this paper, we prove that for any non-negative integers n,m and k, where m ≥ 2 and k ≥ 0, if n ≥ 31m2 + 31k2 + 31mk + 31m - 31k + 43, then the complete tripartite graph K(n - m,n,n + k) is χ-unique, which is an improvement on Zou Hui-wen's result in the case m ≥ 2 and k ≥ 0. Furthermore, we present a related conjecture.     

Hamiltonian[k,k+1]-因子

本文考虑n/2-临界图中Hamiltonian[k,k+1]-因子的存在性。Hamiltonian[k,k+1]-因子是指包含Hamiltonian圈的[k,k+1]-因子;给定阶数为n的简单图G,若δ(G)≥n/2而δ(G\e)相似文献   

关于几类图的L(2,1)标号问题

图G的L( 2 ,1 )标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x) ,使得若d(x ,y) =1 ,则｜f(x) -f(y) ｜≥ 2 ;若d(x ,y) =2 ,则｜f(x) -f(y) ｜≥ 1 .图G的L( 2 ,1 ) 标号数λ(G)是使得G有max{f(v) ∶v∈V(G) }=k的L( 2 ,1 )标号中的最小数k .Griggs和Yeh猜想对最大度为Δ的一般图G ,有λ(G) ≤Δ2 .本文给出了Kneser图 ,Mycieklski图 ,Descartes图 ,Halin图的λ值的上界 ,并证明了上述猜想对以上几类图成立     

K3-free图的线图的哈密顿性

设G是一个简单图，Gi G，G1在G中的度定义为d（Gt）=∑v∈v（c）d（v），其中d（v）为v在G中的度数。本文的主要结果是：设G是n≥2阶几乎无桥的简单连通K3-free图，且G≌k1,n-1、Q1和Q2，若对G中任何同构于四个顶点路的导出子图I有d（I）≥n＋2，则G有一个D-闭迹，从而G的线图L（G）是哈密顿图。     

关于图的L(3,2,1)-标号问题

图G的L( 2 ,1 )标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x) .使得若d(x ,y) =1 .则｜f(x) -f(y) ｜≥ 2 ;若d(x ,y) =2 ,则｜f(x) -f(y)｜≥ 1 .图G的L( 2 ,1 )标号数λ(G)是使得G有max{f(v) ∶v∈V(G) }=k的L( 2 ,1 )标号中的最小数k .本文将L( 2 ,1 ) 标号问题推广到更一般的情形即L( 3,2 ,1 ) 标号问题 .我们首先定义了图G的顶点 3 着色及图的 3 色数 χ3 (G)等有关概念 ,并推导出 3 色数 χ3 (G)的上界 ;然后根据 χ3 (G)与λ3 (G)的关系 ,得出了对一般图G ,有λ3 (G) ≤ 3maxH Gδ(H) (Δ2 -Δ 1 )这一一般关系式 ;最后证明了对一般平面图G ,有λ3 (G)≤ 1 5(Δ2 -Δ 1 ) ,并得出了其它几类平面图的λ3 (G)的上界 .     

一类Y~(SG)(γλ,n)∪βS_n~G形图簇的伴随分解及其补图的色等价性

设G是m阶连同图,我们用S_n~G(n=km+1)表示把kG的每个分支的d_i度点分别与星图S_k+1的k个1度点重迭后得到的图,Y~(SG)(r_1n,n)表示把r_1S_n~G中每个分支的k度点依次与图的k度点邻接后得到的图,Y~(SG)(r_2λ_1,n)表示把τ_2Y~(SG)(τ_1n,n)中每个分支的r_1+k度点依次与图S_n~G的k度点邻接后得到的图,若k≥3,用Y~(sG)(r_kλ__(k-1),n)表示把τ_kY~(sG)(r_(k-1)λ_(k-2),n)中每个分支的τ_(k-1)+k度顶点依次与图S_n~G的k度点邻接后得到的图,这里λ_k=r_kλ_(k-1)+n.运用图的伴随多项式的性质,证明了一类新的图簇Y~(sG)(r_kλ__(k-1),n)∪β_kS_n~G的伴随多项式的因式分解定理,进而得到了这类图的补图的色等价图.     

给定顶点数和边数的连通图的Q-谱半径的界

图的无符号拉普拉斯矩阵是图的邻接矩阵和度对角矩阵的和,其特征值记为q1≥q2≥…≥qn.设C(n,m)是由n个顶点m条边的连通图构成的集合,这里1≤n-1≤m≤(n2).如果对于任意的G∈C(n,m)都有q1(G*)≥q1(G)成立,图G*∈C(n,m)叫做最大图.这篇文章证明了对任意给定的正整数a=m-n+1,如果n...     

关于q-树二次整子图和n阶加点q-树色多项式的注记

在这篇文章中我们成功地仅用色多项式表征了最小度不等于q-3的q-树的二次整子图和n阶加点q-树,即当图的最小度δ(G)≠q-3时,n阶图G具有色多项式P(G;λ)=λ(λ-1)…(λ-q+2)(λ-q+1)~3(λ-q)~(n-q-2), n≥q+2,当且仅当G是n阶q-树的二次整子图或n阶加点q-树.     

关于图是(r,n)-临界图的一个邻域条件

设n，m和r是满足r≥2，n≥0，m≥3的整数，且当r是奇数时，假设r≥m-1．称一个图为K1,m-free，如果它不包含以Kt,m为导出的子图．称一个图G为一个（r,n）-临界图，如果在删去G的任意n个点后，剩下G的子图都有一个r-因子,设G是一个Kl,m-free的（n＋1）-连通图，且阶为｜G｜以及r（｜G｜≥n）是偶数,证明了：如果G的最小度至少是r＋n＋m-1，阶｜G｜≥8r5＋n，并且对V（G）的任意独立点集{x1，x2}都有｜NG（x1）∪NG（x2）｜≥（｜G｜＋n）／2，那么G是一个（r,n）-临界图．关于G的最小度和｜NG（x1）∪NG（X2）｜的下界是紧的。