关于柱体体积函数的导数性质的一点探讨

2006年湖南省数学高考题（文科）中有这样一道题：半径为r的圆的面积S（r）=πr^2，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，＋oo）上的变量，则（πr^2）’=2πr．     

例析椭圆问题的圆处理

<正>在椭圆方程中,令a=b=r,则椭圆方程变为圆方程;在椭圆面积公式S=πab中,令a=b =r,则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆,它们有很多相     

面积公式变形之中的优美统一

<正>1.扇形面积公式:S=1/2rl.如图1,已知扇形OAB的半径为r,圆心角为n°,扇形的弧长为l.则扇形面积公式为:S=nπ/360r2,同时该扇形的弧长为:l=nπ/180r.利用等量代换可以得到扇形面积的另一个公式:S=1/2lr.一看到这个公式我就想起了三角形的面积公式S=1/2ah,太相似了,这个公式给我很大的震惊.那么,还有没有类似的面积公式,让我们有这种震惊呢?这引起了我进一步的思考.在接下来的探究过程中,惊喜地得到了三个类似的公式.     

一道高考题的巧解

解从数列递推公式的结构来看很容易想到两角差的正切公式,于是设an=tanan（an≠kπ＋π/2,k∈Z）.     

用高中数学知识推导球的体积公式

上海高中数学教材对球的体积公式V球=4/3πr3（r为球的半径）作了要求,但只是简单地说“利用祖咂原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式,未作具体推导．鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程,现提供几种用高中数学知识就可推导的方法．     

圆台侧面上最短距离问题的讨论

圆台的上下底面半径是 r′、r,AB是侧面母线 ,长为 l,求由 A点绕圆台侧面一周到 B点的最短距离 .现讨论如下 :如图 1,把圆台沿侧面母线剪开 ,得展开图扇环 ABB′A′,θ为圆心角 ,则θ =r - r′l .2π,由弧长公式得方程组　 (l SB)θ =2πr,SB .θ=2πr′,解得　 SB =lr′r - r     

等差项乘积的渐进估计

研究了等差项乘积∏ni=1a_i的渐进估计.首先给出了一系列关于等差项乘积的不等式,继而应用Euler-Maclaurin求和公式及Γ函数的Stirling公式:Γ(x+1)~(2πx)~(1/2)(x/e)~x(x→+∞),推导出了∏ni=1a_i的较精确的渐进式,最后,得到了精确化的Wallis公式.     

两个三角公式及其证明

利用线性变换思想可证明三角公式：sum from i=0 to ｜n｜-1 （cos（i.（2π）/n）=0,sum from i=0 to ｜n｜-1（sin（i.（2π）/n））=0,n∈Z,n≠0,±1.     

《葡萄酒桶的立体几何》书名的来历

约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler,1571～1630)是著名的天文学家,行星运动定律的发现者,同时,他还是一位卓越的数学家.由于生活所迫,他当过家庭教师,教授数学.开普勒用一种无限分割的方法精确地求出了许多图形的面积公式,其中包括圆的面积公式S=πR2.经过检验,这些公式都是正确的.     

应用均值不等式求圆锥体积的最大值

求满足一定条件时圆锥体积的最大值 ,通常可采用三角法处理 .能否采用均值不等式来求 ,是很多学生和教师很关心的问题 ,经过仔细深入地探讨 ,笔者发现圆锥全面积一定、或圆锥轴截面三角形周长一定、或圆锥侧面积一定时 ,圆锥体积的最大值可采用均值不等式求解 .例 1　已知圆锥的全面积为πa2 (a >0 ) .求圆锥体积的最大值 .解　设圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,体积为V ,则有πr2 +πrr2 +h2 =πa2 ,∴a2 =r2 +rr2 +h2=r2 +r r2 + 18h2 + 18h2 +… + 18h2≥r2 +r 99r2 188(h2 ) 8=r2 + 3· 1243r109h89=r2 + 1243r109h89+ 1243r109h89+124…     

判别式为零时圆和椭圆为何不相切

1 问题的提出利用一元二次方程ax2 +bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac可以判断直线l:y=kx+b与圆π:x2+y2=r2的位置关系:当Δ＞0时,直线与圆相交;当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ＜0时,直线与圆相离.     

Stirling公式在一个乘积不等式中的应用

定理　令Ｐｎ =1 +11 1 +131 +15 … 1 +12ｎ- 1 ,则πｎ - 16πｎ ≤Ｐｎ≤πｎ +16πｎ为此我们引入Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式 :1 · 2 · 3·… ·ｎ=2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 2ｎ　 (0 <θ <1 )现在我们来给出定理的证明 :因Ｐｎ =1 +11 1 +13 1 +15 … 1 +12ｎ - 1=2· 4· 6 ·… · 2ｎ1 · 3· 5 ·… · (2ｎ- 1 )=(2 ｎ· 1· 2 · 3 ·… ·ｎ) 21 · 2 · 3· 4·… · 2ｎ=2 ｎ· 2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 1 2ｎ 24πｎ(2ｎ) ｎｅ- 2ｎ+θ22 4ｎ(0 <θ1 <1 ,0 <θ2 <1 )=πｎｅ11 2ｎ θ1 -θ22记ｔ=11 2ｎ θ1 - θ22 则 ｜ｔ｜ <1则 :Ｐｎ-…     

由三角形投影问题再探椭圆面积

椭圆面积公式S=πab，其中π为圆周率，α、b分别是椭圆半短轴、半长轴的长．关于椭圆面积公式的证法有多种，文献[1]利用仿射变换与仿射不变量推导出椭圆面积公式，文献[2]通过对单位正方形的拉伸（压缩）变换前后面积关系的讨论，给出了椭圆面积公式的又一证法．文献[3]利用初等数学的方法，推导出椭圆面积的计算公式．本文利用投...     

解法不当问题多

在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,因而解题方法比较灵活 .如果解法选择不当 ,不仅解有些题目需分类讨论 ,解法十分麻烦 ,而且有时对所得结论的正确与否不能肯定 ,错误难以排除 ,从而陷入不可自拔的误区 .本文通过举例 ,来说明这种现象 .例 1　若ｓｉｎ θ2 =35 ,ｃｏｓ θ2 =-45 ,试判断θ是第几象限的角 .解法 1　∵ｓｉｎ θ2 =35 >12 ,∴ 2ｋπ π6<θ2 <2ｋπ 5π6(ｋ∈Ζ) ,　　即 4ｋπ π3 <θ <4ｋπ 5π3 (ｋ∈Ζ) .　　又由 -32 <ｃｏｓ θ2 <-22 ,可得　　 2ｋπ 3π4<θ2 <2ｋπ 5π6或　　 2ｋπ 7π6<θ2 <2ｋπ 5π…     

由祖暅公理推导椭圆的面积公式

祖暅是祖冲之之子,南北朝时期的数学家和天文学家,他曾提出“夫叠蓁成立积,缘幂势既同,则积不容异”这一公理,也即“等高处截面积都相等的两个立体,必有相等的体积”．祖暅利用这一公理导出了半径为r的球的体积公式V=4/3πr3．     

易拉罐的设计方案

在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料或食品.殊不知,这易拉罐的设计便包含了一定的数学道理. 对易拉罐的设计,经营者总是考虑让成本最低.如:设计一个体积固定为V的圆柱形易拉罐,什么样的设计方案最优? 要比较易拉罐优劣的标准,有下面两种不同的标准进行考虑. 第一种标准:根据制造过程中消耗铁皮的多少来判别优劣,即最优易拉罐应该具有的最小表面S. 分析设易拉罐的高为h,底面半径为r.由圆柱的体积公式V=πr2h,得h=V/πr2.又易拉罐的表面积S=2πr2 2πrh ①     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

公式S2α,C2α的联用三部曲

二倍角公式ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα与ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α ,虽然是两角和的正弦与余弦公式的特殊情况 ,但在其应用上具有高度的灵活性和交互性 .1　正向联用例 1　 ( 1998年上海高考试题 )设α是第二象限角 ,ｓｉｎα =35,求ｓｉｎ( 37π6 - 2α)的值 .解　由ｓｉｎα =35,且α是第二象限的角 ,得ｃｏｓα =- 45.∴ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα =- 2 42 5,ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 α =72 5.∴ｓｉｎ( 37π6 - 2α) =ｓｉｎ( π6 - 2α)=ｓｉｎ π6 ｃｏｓ2α -ｃｏｓ π6 ｓｉｎ2α=12 ·72 5- 32 ·( - 2 42 5…     

点到空间直线距离公式的两种简洁证明

对空间中任意一点P(x0,y0,z0)到直线l:π1∶A1x B1y C1z D1=0π2∶A2x B2y C2z D2=0的距离公式:d=n1→×n→2,(A1x0 B1y0 C1z0 D1)n→2-(A2x0 B2y0 C2z0 D2)n→1介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…