问题征解

一本期问题征解1证明2主,“3一1与21,。‘+l互质。2设a:=a:=l,aJ二1 983。。、:二理廷二绘攀止土只竺旦二二‘,口n~求证aj(饭二1,2,3,二)都是整数 3设p,。(。+1)(n+2)(n+3)(n+4) (。+5), l)求证P不是某整数的立方, 2)求〔,丫声苟(〔x〕表示不超过二的最大整数) 麻城一中甘超一提供 4已知直角三角形的周长为1984,求三边长的所有整数解。 江苏教育学院王继源提供 5解方程20002‘一(2000‘“+19s4r6)2000二一8 .1 9841一8+19842里=0 6设n是自然数求证(1十1/1“)(1一卜一/2’)(l+l/3恋) …(1+l/n“)了s 7设三角形的三内角分别是a、刀、下弧度,x…     

课外练习

设m,n任N ,且 lo今””一撰”,1os杯纽”一跳·求m十n的值. (湖南平江七中(414503)张大授)等差数列{a、}中,记S。一a,十a: … a。,若532=165,且a:; al。一卡… a48一235.求548的值. (广东澄海市外砂华侨中学 (515823)王植灿)若无穷数列{a。}满足叽 ,一3a,一4,n任N .(1)已知数列王a二}是严格递增数列,求首项al的取值范围.(2)若无穷数列{a,}有界(即对n eN一爪均有{a。}蕊对,M为一正常数).求证:数列{a。}是常数数列. (浙江如东县掘港征北街274号 (226400)章枚)2.求证:ZSin4x 3SinZ二·eos艺二 seos性二毛5, (x任R). (江苏张家港职业教育中…     

一道常见习题的证明与推广

有这样一道习题常出现于各类刊物中: 班:已知.f(x)“丫+Px十q,求证}f(1)卜1厂2)}、}f(3)}中至少有一个不小于+. 本文给出一个新证法,利用这种证法可将原题堆广到一般情形. ‘分析:注意到本题的结论与条件中的扒q的取值无关,起决定作用的是f(l)、厂2)、.f(3).因此,用.f(1)、f(2)、厂(3)来取代f(x)表达式中的扒叮有可能达到证明此题的目的. 证:设f(x)二A(x一l)(x一2)+B(x一2)(x一幻+e(x一3)(x一1),则f(l)二2政f(2)=一C.不3)二2凡故f(x)=士(x一幻(x一3)f(1)一(x一川x一s)f(2)+专(x一川x一2)刀3) 三了十Px+q.比较上面恒等式两边x”的系数得 十…     

构造单调奇函数解一类竞赛题

1性质 设函数f(x)为单调的奇函数,若f(二、)十 f(二:)一0.则二!+二:一0. 证明:f(二,)十f(二:)一0冷了(x,)一 一f(二2)一f(一二:)”根据单调性,、、一一x:,二, +xZ~0. 2应用 下面利用这一性质速解一类竞赛题. 例l已知实数x、y满足(3二+y)5十扩+ 4二十y一o,求cos(4二+刃的值. 解由(3二+刃”十护+4x+y~o得(3x十 y)5+分十(3工+y)+x一0. 构造函数F(二)一扩+二,易证F(x)为尺 上的单调递增奇函数. 已知条件即为F(3x+妇十F(x)~。,故 (3了+y)+x~O,cos(4x十y)一1. 例2(1997年全国高中数学联赛题)设,、y 的单调递增奇函数, 由已知得F(二一l)十F(y一…     

一元多项式整根的判定

由高中代数第三册第一章的内容可知,若整系数多项式f(x)=a厂+a,:一l了一’+…+alx+吻有因式二一冬(其中p I’定是首项系数a,,的约数,q是互质的整数)那么P ?一定是末项系数内的约数.当户二1时,因式即成为x一q.为了判定x一q是否为f(x)的因式,对于q的可能值要经过检验,这是够麻烦的。下面的整根判定定理可以帮你减轻部分劳动量,特别是在判断当a,=1时f(x)有无有理因式方面有独到的功效. 盆根判定定理:一个整系数的多项式f(x),若f(o)和f(l)均为奇数,则当x不管为任何整数时,f(x)手0,(即多项式f(x)无整根). 证明:设f(x)二a,了+a,一;广一’+…+。x…     

北京市一九九0年高一数学竞赛复试试题及解答

一、(满分30分)填空题 1.若(3二一l)7=a7:, aoz凡 a拼‘ a.:‘十。,x, aZ:2 a:: 。:。求a。 a: a; a。”? 2.已知f(二)=x, (lga 2) :十18乙且f(一l)二一2,又了(二))2:又寸一节:任R都成立。求。十乙一? 3.二平行平面a与声问的距离为8。线段汉’二a,线段仪’二刀.若A刀~8,CD一10.1劝一戎’一6.求异面直线月刀与cD之间的距离。 4.设1990一2‘. 2。: …十2。、,其中a.,a,,…,a.为彼此两两不等的非负整数,求a,十a,一十… a一? 5.已知(:· 。)·与(二· t)(酝· I)恒等。(其中1;‘、,。均为正整数)求}。十乙 日二? 二、(满分15分)设平面a与刀相…     

十二 综合练习

1.已知z=eoss+isin夕,口([0,二],w=1一分1一之且}w}=l,试确定口的大小. 2.已知函数f(x)二109。(矿一l)(a>o,且a手0,a为常数). (l)求刃x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程f(2x)=f’(x). 3.已知函数f(x)=109:(x+一).当点(x,夕)在夕=f(x)的图象上运动时,(音,誉)运动所成曲线就是函数夕一不x)的图象. (1)写出函数娜x)的表达式; (2)若娜x)一f(x))O,求x的取值范围; (3)限于(2)中x的取值范围,求娜x)一f(x)的最大值. 4.设xl和掩是方程了一xsin口+sinZa二0的两个实数根.(口为锐角).连接A且召CCI),ACAD.DB. (l)求证:平面ABC工平面AO场…     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

用富里埃级数的正的线性和迫近连续函数

设f(,)是以2二为周期的连续周期函数,记作f〔q,.以。(f,:)表示了(x)的连续性模.如果实数的三角行列又+={又,,、I交一1,2,…,n;又n,。~0;移~1,2,…满足条件1+2艺‘。,,eos友劣)0(,~l,2,…),则称 u,(f,x,又+)为少(幻的富里埃级数艺又。,*(a,eos友x+b*sin左x)(,一l,2,…)+a0一2 一一f(二)一粤+又(a,。05天二+占、sin天x) 艺元百玉(1)的正的线性和.我们称A言 max Iv。(f,x,又+)一f(二)l~乎p I七C,,[r万、 .、I,一) \刀/是犷的迫近系数.固定n,迫近系数A言是适合,U·(‘,一“,一,(·,,‘M二(,,~1,2,…)二、 n/而与f无关的最小的数M”. 利用【3…     

问题与解答

一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…     

也谈加强不等式在解题中的应用

题目 设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式;(3)已知f(n)=6an+1-3an,求证f(1)·f(2)·…·f(n)＞1/2.     

六、数列、极限、数学归纳法

A组一、选择题(有卜t仅有个答案正确)1.已知数列{凡}中,N=1,人,! 人,二I+止,则数列讯}一定是((A)丫又为等差数列,(B)f又为等比数列; ((、既j卜等差、又非等比数列;(D)既是等差、又是等比数列。2.卜列四个定义在自然数集上的函数: (l)f(。)=2,厂l, (2)g(,:)=一r,‘+6,,了一9,,+5 (3)h(r,)=,,‘一6,z兰+11,,一7, (4)k(,I)=,:‘已们可以是数列l, 6一q尹I十1仁J一公 r已 (B)在区l’ed(l一￡,l+〔)内,存在{a。}的无穷多项; ‘〔今在区I’ti](l一,l+￡)内,存在{a.}的有穷多项; (D)在(l一,1+￡)内和外,均存在{。}的无限多项. 8.在△ABC中,若…     

2003年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考答案

试题 一、选择题(满分36分) 1.a为非零实数,x为实数.记命题M:x任{一。,a},记命题N:、乎一。有解.则M是N的()条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充分且必要(D)既非充分又非必要 2.若[a〕表示不超过a的最大整数,则函3.已知函数f(x)-2十Jl十x,记 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(999)+f(1000)二m, ,1、.,,1、.,,1、」.,,1 厂‘宁)+厂(宁)+厂(立)+…+厂(关七)十 J、2’J’3’J、4’J、999’了( 11000二n,求m+n的值.数y一三一[三]一},inxl的最大值是( 汀汀 涯一、1~、,_、_一一二,_又八)一:二L匕少下二气七)上气U)小仔仕阴 “ 3.若f(x)是定义在实数集…     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

新题征展(129)

A 题组新编1.(1)设x∈R+,e表示自然对数的底,求证:函数y=(1+1/x)s,y=(1+1/x)(x+1)分别单调递增、递减,且(1+1/x)x＜e＜(1+1/x)(x+1);(2)已知数列{an}满足2Sn=nan,其中Sn是{an}的前n项和,a2=1,求证:3/2≤(1+1/(2an+1))n＜√e.2.已知a1C0n+ a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn=n·2n对任意的正整数n恒成立.(1)若a1,a2,a3,…,an+1成等差数列,求出该数列的通项公式;(2)若a1是已知数,求数列a1,a2,a3,…,an+1的通项公式.     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…