集合与简易逻辑错解分类辨析

集合与简易逻辑在中学数学中起到基础性和工具性作用,应用集合的思想分析和认识数学问题,可以更深刻地揭示问题的本质.因此,集合与简易逻辑问题都有一定的难度,学生在解题时,经常会出现一些问题,下面就一些常见错误分类辨析如下,供大家参考.一、未弄清集合的有关概念例1设集合M可表示为m,mn,1,也可以表示为m2,mn,0,求m、n的值.错解∵m,mn,1={m2,m+n,0},∴0∈m,mn,1.而m≠0,得mn=0,即n=0.于是{m,0,1}={m2,m,0},∴m2=1,即m=±1.辨析m=1,n=0时,集合{m2,m+n,0}就写成了{1,1,0},由集合的概念知,这是错误的.解这类问题,一定要把所得值代入集合中…     

“极限存在准则”的一个应用

高等数学是工科院校一门重要基础课 ,与后继课程的学习密切相关 .教师在教学中除要讲清它的基本理论外 ,还要适当介绍一些涉及高等数学知识应用的例子 ,以开阔学生的眼界 ,初步看到数学具有解决实际问题的作用 ,从而提高学习高数的积极性 .下面所给例子来自层次分析 (它是管理科学中一种常用的数学方法 )中一个引理 ,它可以应用“极限存在准则”来给出证明 .例　对给定的自然数 n及 m=0 ,1 ,… ,令 :am=max1≤ i≤ n{ y( i)m } ,bm=min1≤ i≤ n{ y( i)m } ,y( i)m 1=Σnj=1aijy( j)m (i= 1 ,… ,n) ,其中Σnj=1aij=1 ,aij≥ a >0　 ( i,j…     

这样证3~(1/2)是无理数更简捷

《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z),     

一个组合恒等式的模型解释与应用

题目求证:Cmn=m+1n+1Cm+1n+1①这是新课程教材人教版《数学》(选修2-3)25第6题,我们在证明这个组合恒等式时,联想到组合数性质Cmn=Cn-mn与Cmn+Cm-1n=Cmn+1都有模型解释(实际意义),那么此式有没有实际意义呢?几经思考,我们得到了以下解释.为了叙述方便,将①式变为:Cm+1n+1=n+1m+1Cmn.     

自然数集上一类函数方程的通解

李建潮先生在《数学通报》2 0 0 2年第 6期上提出的问题 1 380 ,本质上是一类自然数集上函数方程之求解问题 .李先生在随后给出的解答中 ,其解法略显特殊性 ,兹将此一类问题抽象为一般形式 ,并得到了一般的求解方式 .定理　设N是自然数集 ,k是固定的自然数 ,函数f:N →N满足 f(n+ 1 ) >f(n) fk(n) =(k + 1 )n其中fk表示f的k次迭代 ,其定义为fk(n) =f(fk- 1 　(n) ) ,则f(m) =(k+ 1 ) n(i+ 1 ) +l,当m =(k+ 1 ) ni+l(k + 1 ) [(k+ 1 ) n+l],当m =(k+ 1 ) nk +l其中 0≤l≤ (k+ 1 ) n,0≤i≤k- 1 .证明　由 知fk( 1 ) =k+ 1 .如果f( 1 ) =1…     

关于无穷多个无穷小的乘积的注记

在高等数学教学中经常会遇到学生问无穷个无穷小的乘积是什么 ,下面我们通过几个例子来说明这个问题。首先给出无穷乘积的概念 [1] 。设 { x1n} ,{ x2n} ,… ,{ xmn} ,…是可列个数列 ,对任意固定的 n,令 Pmn= x1nx2n… xmn,如果 limm→∞ Pmn 存在 ,则称 Pn=limm→∞ Pmn,n=1 ,2 ,…为 { x1n} ,{ x2n} ,… ,{ xmn} ,…的无穷乘积。例 1 .设 xmn =1 ,　　　 n n时 ,Pmn =3 . 1n .3 . 2n .3 . 3n .… .3 . nn . 1 .… . 1 =3 nn!nn ,所以 Pn =3 nn!nn …     

二项式系数奇偶性的判定准则

判定准则Cnm(m≤n)的奇偶性取决于m和n-m的二进制表达式中是否存在位于同一数位上的两个数码都是1,如果存在,Cmn是偶数,否则Cnm就是奇数.证m=0时,Cnm=C0n=1总是奇数,判定准则显然成立.m=1时,Cnm=C1n=n,若n是奇数,则n-m=n-1是偶数,其二进制表达式的末位是0;若n是偶数,则n-m=n-1是奇数,其二进制表达式的末位是1,判定准则亦成立.可见,m=0或1时,判定准则对任意正整数n都成立.由于Cnm=Cnn-m,因此下面只需在m≥2且n-m≥2的前提下证明判定准则.以下对n使用数学归纳法证明判定准则.n=1时,m=0或1,前面已经证明判定准则成立.假设判定准则对n-1(≥1…     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

高观点下的高考数学试题

近两年的高考数学试题中 ,有许多以高等数学中的知识为背景而用初等数学的语言来表述的“高观点”问题 ,它们都是试卷上各类题型的压轴题 ,认真研究这些问题的来龙去脉 ,了解高、初等数学之间的关系 ,对复习备考大有裨益 .1　导数例 1　 ( 2 0 0 1年全国高考题第 2 0题 )已知i,m ,n是正整数 ,且 1 ( 1 +n) m.解 1 )略 .2 )由二项式定理有( 1 +m) n=∑ni=0 miCin,( 1 +n) m=∑mi=0 niCim,由 1 )知niPimniCim( 1 相似文献   

再探数学问题1803

<数学通报>数学问题1803是: an>0,且3n∑k=1a2k=(2n+1)n∑k=1ak,求an. 这是一道给出数列的递推关系,求通项公式的数学题,求出的结果也很简单:an=n,此题提供者的解答由k=1,2求出a_1,a_2人手,提出猜想,然后用数学归纳法证得a_n=n,从而解决了问题.所用的数学方法、数学思想也都是基本的同时也是重要的.笔者认为,这是一道很好的值得品味的数学题,它所提供的有价值的信息远不止这些,下面将笔者自己学习这道题的成果罗列如下.     

一个数学问题推广结论的纠正

《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a＞0,b＞0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值. 文[1]对此题有如下两个猜测推广: 推广1若a＞0,b＞0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn.     

等差数列中Sm，Sn，Sm＋n之间的关系

在等差数列 {an}中 ,d为公差 ,Sn 为前n项和 ,则Sm,Sn,Sm +n有下列性质 .性质 1　在等差数列 {an}中 ,Sm +n=Sm+Sn+mnd(m ,n∈N ) .证明　Sm+n=a1+a2 +… +am+am +1+am +2 +… +am+n=Sm+ (a1+md) + (a2 +md) +… + (an+md) =Sm+Sn+mnd .性质 2　 Sm +nm +n=Sm-Snm -n (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　∵Sm-Sn=ma1+ m(m - 1)d2 -na1-n(n - 1)d2=(m -n)a1+ (m +n - 1)d2=m -nm +n (m +n)a1+ (m +n) (m +n - 1)d2=m -nm +nSm +n,∴ Sm +nm +n=Sm-Snm -n .性质 3　若Sm =Sn,则Sm +n=0 (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　由性质 2知 ,Sm +nm +n=Sm-…     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明是中学数学的基本内容 ,证明不等式的方法也很多 :分析法、综合法、反证法、放缩法、判别式法 ,三角置换法等是常用的思路 ,而利用构造几何图形来证明不等式在教材中却不常见 .这是由于构造几何图形证明不等式技巧性比较强 ,以至于这种方法多应用于数学竞赛 .现举几例 ,以说明构造法的应用 .例 1　若 m >n >0 ,试证 :m2 - n2 2 mn - n2 >m.分析　由题设 m >n >0和 m2 - n2 >0的形式 ,可考虑构造一个 Rt△ ABC(如图1 ) ,使 AB =m,BC =n,C =90°,显然AC =m2 - n2 ,∴　 m2 - n2 n >m,又∵　 m >n >0 ,∴　 mn >n2 ,　 2 …     

幂函数定义小议

高中《代数》(必修 ) P44指出 :“函数y =xα 叫做幂函数 ,其中 x是自变量 ,α是常数 (这里我们只讨论α是有理数 n的情况 ) .”笔者从一些数学教学资料中发现 ,不少教师对“这里我们只讨论α是有理数 n的情况”的理解错误 ,比如某编辑部主编的《高一数学教学与测试》中有这样一道题 :已知函数 f (x) =(m2 2 m) . xm2 m - 1,m为何值时 ,f (x)是幂函数 .现将其解答抄录如下 :由　 m2 m - 1∈ Qm2 2 m =1 　 (m2 2 m - 1 ) - m∈ Qm =- 1± 2 　 - m∈ Qm =- 1± 2此不可能 ,故不可能为幂函数 .很明显 ,上述解题认为 :当α为有理数…     

上期课外练习解答

高一年级1.由题设易知:m≠1,n≠1,m≥2,n≥2,m∈N ,n∈N .由及.得2m=mn,2n=m.n=2, m=4.故m n=6.     

判断三角形的形状

<正>已知:m,n均为质数,且满足5m²+3n=59.试判断以m+3,1-m+n,2m+n-4为边长的三角形的形状.     

用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

利用质数的一条性质解题

只有1和它本身两个约数的正整数叫做质数.由此定义不难得到质数的一条性质:若p为质数,m,n均为正整数(m相似文献   

一个猜想的否定

《中学生数学》2005年12月(上)《一道数学题的简证及猜想》一文中提出如下猜想:(2n -3)m (2n-1)m 1 (2n 1)m 2 (2n 3)m 3能被2n整除(n≥2,n、m∈N)．当n=3,m=1时,     

利用函数的幂级数展开式证明一个猜想

函数f(x)=1(1-x)m在x0=0处的泰勒级数的柯西型余项在n→∞时趋于0,所以∑∞n=0cmn n-1xn=1(1-x)m.从而在独立重复试验中,某事件发生的概率是P,则第m次事件发生所需的试验次数ξ的数学期望为mp.