曲线的切点与切线关系

<正>曲线的切点和切线是高中导数知识模块的考察重点,对于求"在"曲线上某点的切线方程同学们是熟悉的,但对于求"过"某点的切线方程同学们是有一定畏难情绪的,尤其是"过"某点求曲线的切线条数问题.为此,本人以2014年北京高考数学文科20题为例就该问题进行分析.     

函数的切线综合探究

研究函数切线问题是高考热点之一,导数与函数的切线有缘,因为f(′x0)的几何意义是曲线y=(fx)在点(x0,(fx0))处的切线的斜率.因此,利用导数求解函数问题,几乎是新课程高考每年必考的内容.在这类问题中,导数所肩负的任务是求切线的斜率,这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法,真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具.     

切点坐标——解决有关切线问题的钥匙

导数的应用在高考考查中越来越受到重视,其中有一类是考查切线问题,一般解决与曲线y=f(x)切线有关问题时,可先设出切点坐标Q(x0,y0),然后运用切点坐标的“一拖三作用”解题,即:切线的斜率为k=f'(x0);切点     

圆锥曲线切点弦的简单应用

<正>切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一,是近几年高考的热点考题,切点弦涉及到的问题,难度较大,技巧性强,计算繁琐,学生遇到此类问题较为棘手,束手无策,这里通过类比推理,探究其规律,掌握其性质,触类旁通,化繁就简,降低难度,进一步提高学习效率.一、圆的切线和切点弦方程     

曲线切线的求解过程及对策

<正>解析几何历来是数学高考的重要组成部分.近几年随着新增内容导数的出现,向曲线引一类切线成了解析几何与导数交汇点上设计问题的典型素材,本文主要介绍了向曲线引一类切线的求解过程及对策.一、会借栈道有这样一类曲线,常常会出现过曲线外某一点向曲线引切线.解决此题关键是:先把曲线转化函数式,当求导运算较为困难时,不妨设曲线上切线的斜率为k,联立方程组,利用"Δ=0"可将问题解决.     

由曲线“切”出来的不等式应用举例

<正>初中时候学习了圆的切线,以及抛物线的切线方程,给了我们一种感觉:曲线上(除去切点)的全部点都在该切线的某一侧.高中学习过导数后,我们发现,指数函数、对数函数、高次函数对应的图像,都能方便地求出某点处的切线方程.由于函数的特征,我们还可以发现,曲线f(x)永远在对应切线g(x)的上方(切点除外),如图1所示,也即f(x)≥g(x)恒成立,当且仅当x为切点横坐标时"="成立;相反     

曲线中的切线问题

导数是解决函数的单调性、最值、不等式证明等问题的有力工具,其应用相当广泛,因而是每年高考考查的重点与热点,但考生在这里失分较多,利用导数求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,本文对此问题进行探索研究,归纳总结出了几种常见问题,供广大教师和同学们参考.1.给定切点的曲线切线问题例1求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程.解因为点(0,1)在曲线y=xex+2x+1     

过圆锥曲线外任意一点作两条切线的方法

<正>抛物线中的阿基米德三角形的切线,切点弦有很多有趣的性质.在2021年的全国高考数学乙卷中,它再次成为命题素材.因此对我们一线教师来说,会用几何画板动态地展示阿基米德三角形并作出椭圆、双曲线的切线和切点弦就显得非常有必要了.通过查阅文献了解到,[1]-[5]解决了过圆锥曲线上一点作切线的方法,[6]-[10]利用其光学性质等二级结论并借助焦点和准线来作过圆锥曲线外任意一点的两条切线.而笔者基于圆锥曲线的切点弦与曲线的交点即为切点这一事实,     

圆如何添加辅助线

<正>在解题中,适当的添加辅助线,可以化繁为简,化难为易.圆中添加辅助线有一定的规律可循,本文举例加以说明.类型一:见切点、切线,圆心半径连在解决有关切线问题时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理使问题得以解决.     

浅谈用“坐标法”求解数量积问题

<正>平面向量的数量积作为平面向量知识中的重要内容,一直是高考数学的热点和必考内容之一.题目涉及到数量积定义的考查,以及综合方程、不等式、三角函数、解析几何等内容,对数学思想的考查.求解此类问题,可以有以下三种思路:一     

关于n次函数曲线切线问题的讨论

一、引言 初等数学中学习过导数的几何意义,运用数的几何意义可以求曲线上某点处的切线斜率,从而可以求出切线方程．这类问题在近几年高考题中经常出现,比如2009年和2010北京市高考理科卷的第18题,2011年重庆市高考题理科卷的18题等．这类问题看似并不复杂,但也容易出现一个误区,就是将已知条件中给定点都当做切点,文[1...     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

<正>问题求椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k(x-x0),联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2+y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,它们是我们进行研究性     

探究x0x+y0y=r2与x0x+y0y=x02+y02的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105有这样一道习题:已知圆C的方程是x2+y2=r2,求经过圆C上一点M(x0,y0)的切线的方程.同学们在处理该问题时给出以下的解答过程:如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=     

2018年北京高考数学卷导数问题解法的反思

<正>纵观北京市高考数学理科卷2013年到2017年的导数解答题,基本上在第18题或第19题的位置,主要考查了:利用导数求函数在某点处的切线方程(或已知切线方程求待定系数)、以导数为媒介研究函数的最值(体现为求解恒成立问题或者证明不等关系),在解题过程中,除了要用到常规的公式之外,还要通过适当的等价变形构造新函数.     

用“系数关系”解二次曲线的切线问题

二次曲线有关切线的问题是一个老问题,也是一个繁杂的问题,但都是从切点坐标或切线的斜率这两个角度来导出切线方程,解决有关切线的问题。如果我们从切线方程的系数与原方程的系数关系这一点出发,同样能推导出简单易记的结论,在解决实际问题中也切实可行,对某些问题的解答比起前两种办法更加方便,简捷。本文拟就这方面谈点体会。     

直线的参数方程的应用(续完)

二、在求轨迹方程(包括直线方程)中的应用例1.从原点向抛物线族y~2=2P(x-a)(a≥0)中的抛物线作切线,求切点的轨迹方程。解:∵a≥0.故抛物线族有过原点的切线,设切线方程     

例谈导数在求曲线切线方程中的应用

<正>导数的几何意义是高考重点考查内容之一,也是导数重要应用之一.主要考查求曲线切线的斜率,切线的方程,已知曲线的切线斜率或方程来求参数的范围等问题.在处理这类问题时,有些同学求完导数就乱了章法.本文将对这类问题的处理办法做个总结,希望对学生有一定的帮助.     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

问题求椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上一点P（x0,y0）处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k（x-x0）,联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2＋y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,     

圆锥曲线中的切点弦及其方程

设点P是圆锥曲线C外一点,过点P作圆锥曲线C的两切线,切点为A,B,我们将圆锥曲线C的弦AB称为与点P对应的圆锥曲线C的切点弦．在近年来的高考和竞赛中,有关切点弦的试题频频出现,而对于求切点弦所在直线的方程,我们若处理不当,往往会引发繁琐的运算．为此本文将介绍求圆锥曲线的切点弦所在直线的方程的一种简便方法,并结合例题说明切点弦方程的应用,供读者参考．     

切点弦

一般地说,从圆锥曲线外一点P_0(x_0,y_0),可引两条切线P_0A,P_0B(A,B为切点)。它虽然不象圆那样:具有切线长定理等几何性质,但连结两个切点A、B,所得的方程,却有相同的推导方法。为了叙述上的方便,把这种方程叫做切点弦方程。这种方程的推导简