两类趣味数列前n项和的一般表达式

<正>求数列{1/n(n+1)}的前n项和Sn是一个常见的问题,是裂项相消法求和的范例,由此容易联想到数列{1/n(n+1)(n+2)}的前n项和能否用裂项相消法求得呢?经过尝试和推广,用裂项相消法成功求得了自然数连乘积的倒数和的一般表达式.本文对形如{n(n+1)(n+2)}的自然数连乘积数列的前n项和也进行     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

巧用“项”证明数列不等式

数列{an}的前n项和Sn与项an满足关系： an={S1 （n=1）, Sn-Sn-1（n≥2）,类此可得到各项都不为零的数列{bn}的前n项各Tn与项bn满足关系：     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证2S3,S6,S12-S6成等比数列.文[1]给出了如下一个推广:定理1已知数列{an}是公比不为±1的等比数列,Sn是其前n项和,若xam,yam 2k,zam k成等差数列(其中x     

一道数列题的误解和病根诊治

问题设数列{na}和前n项和Sn满足:a1=2,an 1=Sn (n 1).求数列{an}的通项公式. 误解一由an 1=Sn (n 1), 得Sn 1-Sn=Sn (n 1), ∴ Sn 1=2Sn (n 1), ∴ Sn 1 (n 1)=2[Sn (n 1)], 即 Sn 1 (n=1)/Sn (n 1)=2 ∴ {Sn (n 1)}是一个首项为S1 2=4,公比为2的等比数列.     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

2004年全国高考文科第18题另证

20 0 4年全国高考文科第 1 8题是 :已知数列 {an}为等比数列 ,a2 =6 ,a5=1 62 .(Ⅰ )求数列 {an}的通项公式 ;(Ⅱ )设Sn 是数列 {an}的前n项和 ,证明Sn·Sn + 2S2 n+ 1≤1 .分析 :本题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识 ,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力 .对第 (Ⅰ)问只需要用等比数列的通项公式即可解决 ,易得an=2·3n -1 .对第 (Ⅱ )问 ,可由 (Ⅰ )知 ,所证不等式等价于Sn·Sn + 2 ≤S2 n+ 1 ,高考命题组给出的标准证法是用均值不等式证明的 ,但事实上 ,上述不等式等号是取不到的 ,即我们只须证Sn·Sn + 2 相似文献   

等差与等比数列不等式的互变

含有等差或等比数列若干项的不等式 ,为行文方便不妨叫做等差或等比数列不等式 .本文研究这两种不等式的互变 .为了叙述简便 ,本文规定数列 {an}是公差为d的等差数列 ,其前n项的和为Sn,数列 {bn}是公比为 q的等比数列 ,其前n项的积为Tn,m ,n ,k是互不相等的正自然数 .通过下面等差与等比数列互换表中的an 与bn 等的互换 ,能够实现这两种不等式的互变 ,但互换两种运算时 ,应注意它们的基本要求 .　　引理 1　若mk =n2 ,则m +k >2n .证　m +k >2mk =2n2 =2n .引理 2　若m +k =2n ,则mk 相似文献   

一道高考试题的推广

1995年高考文科数学试题第 2 3题 :设 {an}是由正数组成的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,证明 :12 (log0 .5 Sn+log0 .5 Sn + 2 ) >log0 .5 Sn + 1.由对数运算性质可知 ,求证不等式可化归为证明其等价不等式SnSn + 2 0 ,当r =1时 ,SpS…     

递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在高考试题和竞赛中.本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.类型 1　由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项此类题一般不直接给出数列 {an}中an+1与an的递推式,而给出Sn与Sn-1或Sn与an的递推式,这时要用an+1 =Sn+1 -Sn(n∈N* ),转化为an+1与an的递推式.例 1　设数列 {an}的首项a1 =1,前n项和Sn满足关…     

透过现象看本质——关于等式恒成立问题的教学案例

一、教学理由和目标下面是2011年高三高考模拟考试的一道数列题,得分率非常低,本节课通过对这道题的研究让学生掌握等式恒成立问题的本质和处理策略.原题:设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和.是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N)*,若存在,试求出常数k和数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.     

数列不等式证明方法归类分析

数列不等式是含有数列的通项an或前n项和Sn的不等式.在近年来的全国各地高考数学试题中,数列不等式证明问题多次出现,已经成为全国高考数学命题所特别关注的焦点.数列不等式处于数列与不等式知识的交汇点,通常呈现递推形式.数列不等式的证明问题,所涉及的知识点较多,是综合性较强、灵活性较高、难度较大的数学证明问题.     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

找准错因,防止再错

我校2011届高三高考模拟卷中有这样一道数列题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ.2an3(λ∈R),若数列{cn}     

数列不等式问题的多角度证法

<正>熟知,数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数与数列的重要工具,因此,数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中.2015高考安徽(理)有这样一道题:设n∈N*,x_n是曲线y=x_(2n+3)+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x_n}的通项公式;     

3 数列、数学归纳法

3.1 数列 内容概述 1.数列{an}的前n项和Sn=a1 a2 ... an与an的关系是an={S1,Sn-Sn-1,n=1,n≥2.     

等比数列前n项和S_n的一个性质的两个补充

1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n     

培养学生迁移能力的好素材--新定义型数列

普通高中数学课程标准(实验)的知识与技能目标中要求学生具有一定的掌握、应用、迁移知识的能力.而近年在高考或各地高考模拟试卷中出现的一些新定义型数列,笔者认为是培养学生迁移和探究能力的良好素材.本文将介绍几种新定义型数列的定义、通项公式或前n项和、性质及初步应用,以供参考.1等和数列1.1定义在数列{an}中,若对任意n≥2都有an+an-1=d(n∈N+,d为常数),则称{an}为等和数列,常数d称为数列的公和.1.2通项公式与前n项和设等和数列{an}的首项为a1,公和为d,则an=a1,d-a1,n为奇数;n为偶数.Sn=a1+n-12d,n2d,n为奇数;n为偶数.1.3性质(1)an…