关于L′Hospital法则的一个注记

在微积分这门课程当中 ,常常碰到求 00 型、∞∞ 型的极限问题 ,解决这类问题的一种简单而有效的方法是 L′Hospital法则。过去 ,在不少有关的书籍中 [1,2 ,3] ,∞∞ 的 L′Hospital法则的表述是 :若 (1 )函数 f (x)和 g(x)在 (a,a δ)有定义 (δ>0 ) ,limx→ a 0 f (x) =∞ ,limx→ a 0 g(x) =∞(2 ) f(x)和 g(x)在 (a,a δ)都可导 ,g′(x)≠ 0 ,并且 limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　 (包括 A=∞的情形 )则limx→ a 0f (x)g(x) =limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　　最近 ,我们在 [4,5,6 ]中看到 ,去掉条件 (1 )中的 limx→ a 0 f (x) =∞…     

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”,具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器,是沟通初等数学与高等数学的桥梁.以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深.尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题,这类问题不仅综合性强、难度高,而且解题思路妙、方法巧,学生不容易掌握.例1(2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e(-s)(Ⅰ)证明:当x＞-1时f(x)≥者;(Ⅱ)设当x≥0时f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.参考答案(Ⅰ)要证明当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1),只需证明ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.当x≥0时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数;当x≤0时,g′(x)≤0,g(x)在,(-∞,0]是减函数.于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈ R时,g(x)≥g(0),即es≥1+x.所以当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1).     

高等数学背景下一类压轴题的简解

近年来高考数学压轴题中常出现函数型不等式的恒成立问题,可归结为对x≥0时,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中g(x)含有参数a,试确定其参数a的取值范围.由于这里问题能有效地甄别考生的思维品质,综合性强、难度大、能力要求高,很多同学对此望     

分离系数法巧解恒成立问题

<正>对于含有参数a的不等式f(x)≤0(包括不等式f(x)≥0)恒成立或方程f(x)=0恒有实根问题,若对参数或变量进行讨论,再结合函数的图像求解一般都较难或繁,而通过分离系数巧用"求函数最值"的方法便可以简解此类问题,由于在转化与化归时常需分离出系数a,不妨称之为"分离系数法".     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

上海交通大学*高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)

20 0 2年第一学期一、选择题 (每题 3分 ,共 1 5分 ,每题选项仅有一项符合要求 ,把所选项前的字母填入括号内 )1 f(x)在a连续 ,且limx→af(x) -f(a)(x-a) m =c>0 ,其中m是偶数 ,则 (B)……………………………A a是f(x)的极大值点 ;　　　B a是f(x)的极小值点 ;C a不是f(x)的极大值点 ;　　D 不能判别a是否f(x)的极值点 2 f(x) ,g(x)均为恒不为零的可微函数 ,且f′(x)g(x) -g′(x)f(x) >0 ,则当x >a时 ,成立不等式 (A)……………………………………………………………………………………………………A f(x)g(a) >f(a)g(x) ;　　B f(x)…     

活用导数积分的定义一例

<正>题目(2014年高考陕西卷理科第21题)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.原题提供的答案第(2)问是利用分类讨论的思想,通过对参数的缜密讨论,确定参数的取值范围.分类讨论向来是同学     

一类高考题解法再思考——高数背景下,慎用高数结论

近几年,高考数学压轴题中常出现函数型不等式的恒成立问题,可归结为“对(V)x≥0时f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中g(x)含有参数a,试确定a的范围”.此类问题综合性强,难度大,能力要求高.对于考生能够起到一定的甄别及选拔功能.张润平老师在文[1]中,利用高数知识,给出如下命题,并通过此命题解决了几例高考题.笔者在学习了张老师的文章之后深受启发,感觉如果老师能站在高数背景下讲解数学考题,势必会有一种高屋建瓴之气势,对于学生开拓视野,提升能力也极为有用.可是,当我再细细品味张老师文章,发现张老师的命题稍有瑕疵.今整理出来与张老师及各位同行交流.     

聚焦平面向量的交汇性

本文就向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题作一归纳总结,供参考.一、平面向量与函数、导数的交汇例1.已知向量a=(x2,x 1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析:本题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解:依定义f(x)=x2(1-x) t(x 1)=-x3 x2 tx t,则f′(x)=-3x2 2x t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)≥0t≥3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立,考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=13,…     

一类高考题的统一解法

最近几年,有下面5道求参数取值范围的高考题:题目1(2006年全国卷Ⅱ理科第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.题目2(2007年全国卷Ⅰ理科第20题)设函数f(x)=e~x-e~(-x).(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax,求实数a的取值范围.     

偶函数的一个性质

1性质的引入我们知道奇函数f(x)如果在x=0处有定义,那么就有f(0)=0.其实偶函数也有一个对偶形式的性质:若偶函数f(x)在x=0处有定义且可导,则f′(0)=0.2性质的证明因为偶函数f(x)在x=0处可导,所以limx→0 f(x)-f(0)x=limx→0-f(x)-f(0)x.又∵f(x)=f(-x),x→0-即-x→0 ,∴lim-x→     

巧用最值定义简解一道高考压轴题

2012年高考数学湖南卷理科试题第22题:已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

电子科技大学高等数学期末试题(附答案)

(2 0 0 2 .6 )一、填空题 ( 1 0分 ,每小题 2分 )1 . limx→ 0 ( 1 +3 x) 2sinx =　　 [e6 ]　　 .　　 2 .设 y =x +lnx,则 dxdy=　　 [xx +1 ]　　 .3 .设 f ( x)可导 ,y =f ( ex) ,则 y′=　　 [f′( ex) ex]　　 .4.∫1- 1x|x|dx =　　 [0 ]　　 .　　 5.∫π20 sin5xdx =　　 [c]　　 .二、选择题 ( 1 5分 ,每小题 3分 )1 .设 f ( x) =1 -2 e1x1 +e1x,则 x =0是 f ( x)的 ( B) .( A)可去间断点 ;( B)跳跃间断点 ;( C)无穷间断点 ;( D)振荡间断点 .2 .设 f ( x)在 x =a处可导 ,则 limx→ 0f ( a +h) -f ( a -h)h =( B) .( A) f′( a)…     

利用“两边夹”法则解竞赛题

众所周知,若A≥B与B≥A同时成立,则有A=B.利用此“两边夹”法则,可巧妙地解决一些竞赛题. 例1设f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f(x 3)≤f(x) 3和f(x 2)≥f(x) 2.设g(x)=f(x)-x. (1)求证:g(x)是周期函数;     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

定积分几何应用的几个问题

一、旋转体体积1°由两条曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a相似文献   

学贵有疑--质疑、反思

文[1]“巧解”摘录:题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1)对一切实数x都成立,求f(x).原解设A(x),B(f(x)),C(x2 12)为数轴上的3点,则ABBC=λ.由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∴λ≥0.由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ.     

考点40 函数的极限与连续

1.(辽宁卷,2)极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的().(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件2.(广东卷,3)limx→-3x+3x2-9=().(A)-16(B)0(C)61(D)313.(全国卷,5)limx→1(x2-31x+2-2x2-4x+3)=().(A)-21(B)21(C)-61(D)614.(湖北卷,8)若limx→1(1-a x-1-b x2)=1,则常数a,b的值为().(A)a=-2,b=4(B)a=2,b=-4(C)a=-2,b=-4(D)a=2,b=45.(江西卷,8)若limx→1f(x-1)x-1=1,则limx→1x-1f(2-2x)=().(A)-1(B)1(C)-21(D)21考点40函数的极限与连续1.f(x)在x=x0处连续,必有limx→x0f(x)存在,…     

求0~0型极限在弱条件下的简便方法

利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论:设当x→x0时f(x)与g(x)为无穷小,g(x)～(x-x0)β,取k为正实数,使得fk(x)=A(x-x0)α+o[(x-x0)α],其中A0,α≥2,β0为实数,则有limx→x0f(x)g(x)=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f(x)g(x)很复杂时,使用该方法可简化计算.