下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

由"想一想"而想到的

《几何》第二册第157页,"想一想": 如图1,正方形 ABCD的对角线相交 于点O,点O是正方 形A'B'C'D'的一个顶 点.如果两个正方形 的边长相等,那么正 方形A'B'C'D'绕点O 无论怎样转动,两个 正方形重叠部分的面 积,总等于一个正方形面积的1/4,想一想:这     

一道中考题的多种解法

题目(2014年重庆市中考数学第18题)如图1,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.解法一如图1,由CF⊥BE和OB⊥OC得△BOG∽△CFG,     

一道常见题的证明、一般化和拓展

<正>1问题呈现已知如图1,O是正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,分别交AB,AC与点E,G.求证:OG=1/2BE.本题的一种证法是应用梅涅劳斯定理,即如图1,△ABO被直线ED所截,     

一道课本题的变式探究

题目(人教版·数学·八年级下册,第116页,实验与探究1)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的14,想一想为什么?     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

新题征展(108)

A 题组新编 　　1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=_____;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是_____.(用文字描述轨迹的形状,下同)……     

证平行线

<正>如图,正方形ABCD的四边上顺次有P、Q、R、S四点,如果PQRS为矩形(不为正方形)。求证:PQRS的边平行于ABCD的对角线。     

正方形对角线上点的性质及其应用

众所周知:正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.如图1,设P为正方形ABCD对角线AC上的任意一点,由轴对称性,则有     

一道中考题的多种解法

如图.P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB. (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD. (2)设AP=x,△PBE的面     

正方形中的一个规律

在正方形中,存在许多规律,我们遇到这样的题目时,要多思考,挖掘本质特点,才能有利于掌握知识.图1已知:图1,两个全等的正方形ABCD、FEGO,且O为正方形ABCD的中心,正方形的边分别交于M、N两点;可得性质S四MBNO=14S正ABCD.     

对一道课本习题的研究性学习

题目如图1,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点.当△APQ的周长为2时,求∠PCQ的大小.此题是普通高中课程标准实验教科书(人教版A)必修4第147页B组第7题,是     

关于试题评价与命制的一点思考

一、问题来由在一次网络教研中,有教师提出一个问题:下面这道题有几个解?如图1,⊙O是正方形ABCD的外接圆,点P在⊙O上,则∠APB的度数为___________.关于这一问题,有的教师认为是一解,有的教师认为是两解.观点一的理由为:"如图"本身也是一个重要的条件,不可忽视;观点二的理由为:题目所给的只是示意图,其中,点P的位置是不确定的,所以点P也可能在     

运动型题目中定值的确定和求法

有一类题目,是在运动过程中确定某个量是否是定值.解决这类题目的一般方法是:①先求出特殊值.即先求出所求量在运动到某一特殊位置时对应的值.②再证明肯定或举反例否定.即在运动过程中任一位置所求量都等于这个特殊值,则说明所求量是定值,并且特殊值即为定值;若能找出运动过程中某一位置所求量不等于这个特殊值,则说明所求量不是定值.举例如下:例1、如图1,正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O.另一和它全等的正方形OEFG绕着O点旋转,问:在旋转过程中,两正方形重叠部分的面积是否是定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.图1解:①先求…     

例谈正方形中与动点有关的最值求法

一、利用正方形的对称性求最值例1如图1,正方形ABCD的边长为8,点E、F分别在AB、BC上,AE=3,CF=1,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PF的最小值为     

正方形与圆组成的阴影部分面积求法

图1问题1(人教版新课标九年级上P114习题24.4复习巩固3)如图1,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.解如图1,过正方形对角线交点O作OO1⊥AB,垂足为O1,连AO.S弓AO=S扇AO1O-S△AO1O=14π·(a2)2-12·(a2)2=πa216-a28.S阴=8S弓AO=8×(πa216-a28)=πa22-a2.图2问题2如图2,正方形的边长为a,以正方形ABCD的四个顶点为圆心,a2为半径画弧,求图中阴影部分图形的面积.解S阴=S正-4S扇EAF=S正-S圆=a2-π(a2)2=4-π4·a2.     

试题因探究而精彩

一、试题与答案回放题目:(江苏盐城市第27题)(1)情境观察.将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是     

一道中考操作探究题剖析

问题:操作:将一三角尺放在正方形ABCD上,并使它直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:在滑动过程中,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论.方法一证明:如图(1)Q点在正方形边DC上.过P作MN∥AD交AB于M,交CD于N.∵正方形ABCD∴AB=AD=MN,∠BAC=45°∵MN⊥AB于M∴∠AMN=90°∴AM=MP∴BM=PN∵∠MBP+∠MPB=∠MPB+∠NPQ=90°∴∠MBP=∠NPQ∵△MBP≌△NQP∴PB=PQ如图(2)点Q在正方形边DC的延长线上,即射线DC上证明方法同(1).方法二证明:如图(3)过…     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

一个数学问题的简证及推广——谈完全四边形的一条性质的应用

《数学教学》数学问题681:如图1,四边形ABCD的两条对角线交于点O,两组对边分别交于E,F,过O作EF的平行线交BC,AD于I,J,求证:OI=OJ.