函数f(a+x)与f(a-x)的图像关于x=a对称吗?

在学习函数问题时往往需要数形结合利用函数图像,有时会涉及图像的对称性.问题1函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于x=a对称吗?分析我们先从具体函数f(x)=x3谈起,     

再探函数f(a+x)与f(a-x)的图像性质

文[1]研究了两种不同情况:一种是函数f(a+x)与函数f(a-x)的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f(x)对一切x∈R满足f(a+x)=f(a-x)都成立,函数f(x)图像关于直线对称的问题.那么它们是不是也存在着关于某点坐标对称呢?经过一番的思考与探究,得到如下的性质.     

貌合神离的两个式子

式子①f(x a)=f(x-a)(a≠0,a为常数)及式子②f(a x)=f(a-x)(a为常数)的外形极为相似.学生往往将其混为一谈,张冠李戴,导致错误.其实式子①意味着函数f(x)是以2a为周期的周期函数,而式子②则意味着函数f(x)的图像关于直线x=a对称,这是两个性质完全不同的式子,正所谓形同实异,貌合神离!     

函数对称性与周期性的几个性质

设f(x)是定义在R上的函数,a、b、m为常数. 　　性质1 满足f(x+a)=f(b-x)的函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b/2的对称.……     

抽象函数对称性质的证明及其应用

设抽象函数y=f(x)的定义域为R. ①若对任意x∈R恒有f(h+x)=f(k-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=h+R/2对称;     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

奇偶函数对称性应用举隅

<正>奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,该性质大家并不陌生,如能借鉴奇偶函数的这两种对称性,或能为解题另辟蹊径.例1已知函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)的图像是一个中心对称图形,则其对称中心为.解析设函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)图像的对称中心为(a,b),则g(x)=f(x+a)-b=log_2     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

再探函数f（a＋x）与f（a-x）的图像性质

文[1]研究了两种不同情况：一种是函数f（a＋x）与函数f（a-x）的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f（x）对一切x∈R满足f（a＋x）=f（a-x）都成立,函数f（x）图像关于直线对称的问题．     

导函数与原函数对称性的联系

文[1]对三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d对称中心的研究中,同时也涉及到了它的导函数f′(x)=3ax2 2bx c的对称性.但是没有对一般的导函数与原函数的对称关系展开讨论,本文将对此展开进一步的探究.首先,我们来探究,原函数对称时,导函数的对称性如何?若函数f(x)关于x=a对称且可导,则f(x)=f(2a-x).根据复合函数导数的性质易得:f′(x)=-f′(2a-x),所以导函数f(′x)关于点(a,0)对称.同理可得:若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导,则导函数f′(x)关于直线x=h对称.因此,我们得到如下结论.定理1若函数f(x)关于x=a对称且可导,则导函数f′(x)关于点(a,0)对称.…     

函数图象中对称问题剖析

请先看下面一题 :设函数 f(x)定义在R上 ,则函数 f(1-x)与f(1+x) 的图象关于 (　　 )(A)直线 y =0对称 .　　 (B)直线x =0对称 .(C)直线 y =1对称 . (D)直线x =1对称 .学生往往容易错选 (D) (正确答案应选 (B) ) .什么原因呢 ?显然 ,学生把它混同于问题“若 f(1-x)=f(1+x) ,则 f(x)的图象关于 对称”了 .此类现象还很多 ,学生常常难辨真伪 .其实 ,要解决好此类问题应分以下两步 :第一步 ,要根据题意分清研究对象 ,即某函数自身的对称问题 ,还是某两个函数之间的对称问题 .第二步 ,剖析题设条件中函数的特性 .下面就常见的两类易混淆的对…     

函数图像的两种对称问题

对于如下问题,许多同学感到不知所措. 1.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(1-x)与y=f(1+x)的图像关于__对称. 2.y=f(x)是定义在R上的函数,若f(1+ x)=f(1-x),则y=f(x)的图像关于__对称. 3.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于__对称. 其实,此类问题涉及到了函数图像的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称.     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

四次函数图像的对称性

定义:若一个函数的图像关于直线x=a对称,称该函数为轴对称函数. 　　本文先讨论四次函数y=x4+ax3+bx2+cx+d的对称性,再进一步讨论一般四次函数y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a0≠0)的对称性.……     

关于两类函数图象的对称性问题

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,以及函数y=f(x)和y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴对称,y轴对称和原点对称,这些都是显为人知的,但对另一些有关对称性的问题,如;函数y=f(x),若对于定义域内的任-x,都有f(m x)=f(n-x),其图象的对称性如何? (问题1)以及函致y=f(m x)与y=f(n-x)其图象的对称性又如何?(问题2)有些人恐怕就不大清楚了,本文想对此两类函数图象的对称性问题谈一些浅见。     

关于周期函数的几个重要性质

近几年的高考中函数性质是考查的重点内容之一,而对周期函数的考查则是与其他性质结合起来考查的,但在平时的教学中我发现同学们对这一类题目的解决有一定的困难,为克服这一困难,下面给出周期函数的几个重要性质,希望能给同学们解题带来帮助.性质1设f(x)是定义在R上的函数,且图象关于直线x=a及x=b(a≠b)对称,则函数f(x)是以2b-2a为周期的函数.特别地,若f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于直线x=a(a≠0)对称,则函数f(x)是以2a为周期的周期函数.证明∵f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,∴f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x),∴f(2b-2a x)=f(2b-(2a-…     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

有关函数的易混易错的类比问题

本文结合教学实践介绍高三在第一轮复习中与函数内容有关的一些易混易错的问题 ,通过比较和鉴别 ,达到灵活运用正确命题的目的 .问题 1　若 y =f( x)是偶函数 ,则有f( x a) =f ( - x - a) ;若 y =f ( x a)是偶函数 ,则有f( x a) =f ( - x a) .(奇函数也有类似结论 ,请读者探明 .)例 1　 ( 2 0 0 1年高考题改编 )设 f ( x)是定义在 R上的偶函数 ,其图像关于直线 x =1对称 ,证明 f( x)是周期函数 .分析　函数 f ( x)的图像关于直线 x =1对称 ,∴　　　 f ( x 1 ) =f ( 1 - x) .∵　　　 y =f ( x)是偶函数 ,∴　　　 f ( x - 1 ) =…