复系数一元二次方程的根的判别

实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根的情况可以通过判别式△=b~2-4ac的符号来确定: 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程有两个共轭虚根。 进一步,如果方程的系数可以是虚数,那么根的判别式还能不能用?如不能用,应该怎样判别?     

二次方程根的判别定理的可逆性

初中代数介绍了一元二次方程实根个数的判定定理: 一元二次方程ax~2+bx+c=0,称△=b~2-4ac为根的判别式,当△>0时,方程有两个不等的实根; △=0时,方程有两个相等的实根; △<0时,方程没有实数根。这个定理是个分断式命题,三个分支中的条件和结论是极为显见的,即由判别式的符号来判定实根的个数,然而教材中的习题却用到由实根的个数来确定判别式的符号。     

复系数一元二次方程根的判别

我们知道，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，可由根的判别式△＝b2－4ac来判定，有如下根的判别式法则：定理1实系数一元二双方程ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c∈R，a≠0，当△＞0时，方程有两个不相等的实根；当△＝0时，方程有两个相等的实根；当△＜0时，方程有两个共轭虚根．定理1的逆命题也成立．现在问：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中的系数是一般复数，定理1是否仍成立？容易看出，不能简单地将定理1推广到复数范围．这是困为：当a、b、C中有虚数时，△＝b2－4ac可能为虚数，这时△＞0，△＝0，△＜0均不成立；即使△…     

谈判别式的应用

<正>1判别式的概念实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．以上结论,反之亦成立．2二次型三者之间的关系     

方程 x~n px q=0有两个相等实根的充要条件及其应用

(一) 考察实系数一元n次方程 x~n px q=0(1) 我们有定理1 当n为偶数时,方程(1)有两个相等实根的充要条件是 q~(n-1)/(n-1)~(n-1)=p~n/n~n;并且,若p<0;则这两个相等的实根为 x_0=(q/(n-1))~(1/2)若p>0,则这两个相等的实根为 x_0=-(q/(n-1))~(1/n) 证明设方程(1)有两个根均为实数x_0,则可令x~m px q=(x-x_0)~2(x~(n-2) a_1x~(n-3) a_2x~(n-4) …… a_n-3x a_n-2)其中a_i∈R(i=1,2,…n-2)。展开,合并,比较系数,可得     

“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

根的判别式教与学的尝试

一元二次方程根的判别式是人教版第十二章第三节的知识内容 ,这些知识比较重要 ,它既可以根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 ,还可以利用这些知识来研究一元二次函数、一元二次不等式 .特别是各年中招考试命题中 ,这些知识占有一定的比重 .因此 ,笔者就此谈一些肤浅的看法 ,以期求教同行 .一、不解方程 ,判断方程的根的情况△ =b2 - 4ac称为一元二次方程ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的判别式 ,根的判别式与根的个数的关系是 :( 1)△ =b2 - 4ac >0 方程有两个不相等的实数根 ;( 2 )△ =b2 - 4ac =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3)△ =b2…     

浅谈一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用 1 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的根的判别式为△ =b2 -4ac,它与这个方程的根有着十分紧密的关系 .具体如下 :( 1 )△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3 )△ <0 方程没…     

一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用一 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根的判别式为△ =ｂ2 - 4ａｃ,它与这个方程的根有着十分密切的关系 :( 1)△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 .( 3)△ <0 方程…     

p~k(p≥3)元域上的二次方程的根的状况

<正> 关于实系数二次方程的实根的状况,有定理.ax~2+bx+c=0(a(?)0)为实系数二次方程,△=b~2-4ac,则其实根的状况为:有两个不同的实根(?)Δ>0;有两个相同的实根(?)Δ=0;没有实根(?)Δ<0.由此,对特征数为 p 的 p~k 元域 F,作类比推理,有定理.ax~2+bx+c=0(a(?)0)是 p~k 元域 F 上的二次方程,Δ=b~2-4ac,e 为     

谈复系数一元二次方程

大家在初中学习过实系数的一元二次方程: ax2 bx c=0(a,b,C∈R,且a≠0) (1) 并且知道,当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根:     

三次方程根的情况的简明结论

由“实系数一元n(∈N*)次方程的虚根成对出现”知,实系数一元三次方程的根有且只有四种情形:(1)有三个不同实根;(2)有一个二重实根和一个实根;(3)有一个三重实根;(4)有一个实根和两个共轭虚根.本文用导数研究它们在何时出现.先看首项系数是正数的一元三次方程f(x)=ax3 bx2 cx d     

一元二次方程根的判别式应用三例

大家都知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,用符号Δ表示,当Δ>0时,方程有两个不相同的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.反过来也正确.在一些具体问题中如果依条件枃造一元二次方程再运用根的判别式,可以巧妙地解决问题.     

解一道“或”命题

题目命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的正实根.命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若p或q为真命题,求实数m的取值范围.     

初三代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于ｘ的方程 (ｍ -2 ) 2 ｘ2 +(2ｍ +1 )ｘ +1 =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .Ａ .ｍ≤ 34　　　　　　Ｂ .ｍ <34Ｃ .ｍ≥ 34且ｍ≠ 2　Ｄ .ｍ >34且ｍ≠ 22 .在一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )中 ,若ａ与ｃ异号 ,则方程 (　 ) .Ａ .有两个相等的实数根Ｂ .有两个不相等的实数根Ｃ .没有实数根Ｄ .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2ｘｘ +1 -ｍ +1ｘ2 +ｘ=ｘ +1ｘ 产生增根 ,则ｍ的值是 (　 ) .Ａ . -1或 -2　Ｂ . -1或 2Ｃ . 1或 2　Ｄ .1或 -24.用换元法解方…     

再从“一类三角式的数值求法”谈起

本刊刊登的文〔1〕、〔2〕、〔3〕阅来颇有收益,深受启发,联想到我们在求y=P(x)/Q(x)(P(x)、Q(x)的次数不超过2)的值域时,经常采用的判别式法,笔者依法炮制出一个与之类似的三角判别式法,现简介如下。定理:设方程asinx+bcosx+c=0(a、b不同时为零,x_0≤x0时,方程(*)有相异二实根 (2)当△=0时,方程(*)有相等二实根 (3)当△<0时,方程(*)没有实数根。     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目关于x的方程(x2-1)2-|x2-1| k =0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是( )     

方程ax^2＋b│x│＋c=0根的讨论

众所周知，对于一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0，a，b，c∈R)，当△=b^2-4ac≥0时，在实数集内有两根；当△＜0时，在实数集内无根，但在复数集内有两根．但对形如ax^2 b│x│ c=0(a≠0，a，b，c∈R)的方程，其根的情况与系数间的关系就复杂得多．以下是关于此方程根的存在性情况的讨论．     

解一道＂或＂命题

题目 命题p：方程x2＋mx＋1=0有两个不等的正实根．命题q：方程4x2＋4（m＋2）x＋1=0无实数根．若“p或q”为真命题,求实数m的取值范围．     

切莫忽视一元二次方程首项系数中的参数

<正>有些数学问题的特殊情形容易被忽视,若丢掉特殊情形,就不可能全面地解决问题.请看下面的例子.例1对于a<9的一切实数,关于x的方程(a-5)x~2-2(a-3)x+a=0().(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)不能确定实数根的个数错解Δ=[-2(a-3)]~2-4(a-5)a=-4(a-9).