一组对数不等式的应用

利用辅助函数的单调性可证对数不等式 x 1＋ x ≤ ln（1＋ x）≤1＋ x （x ≥0）。通过实例介绍这组对x数不等式在证明不等式、求函数最大（小）值等方面的应用。     

切比雪夫不等式的一个推广形式

切比雪夫不等式是一个重要的不等式 ,它在中学数学竞赛中有一些很重要的应用 ,它的一一个初等的证明见文献 [1]第 2 3 6页 .本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式 .值得指出的是 ,文献 [1]的方法已不再适用于证明下述不等式 :推广的切比雪夫不等式 :设a1 ≤a2 ≤… ≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn,0 相似文献   

一个重要对数不等式及其应用

<正>在研究利用导数证明不等式时,利用一个重要的对数不等式ln(1+x)≤x(x>-1),可以证明一些不等式,达到事半功倍的效果.一、对数不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的证明求证:ln(1+x)≤x(x>-1).证明构造函数f(x)=ln(1+x)-x,     

对数不等式的源与流

含对数的不等式常用构造函数求导数的方法证明,但这种方法并不是放之四海而皆准的,有时会遇到导数越求越麻烦的情况,使思路陷入僵局.下面介绍一个基本对数不等式,用它可以证明一些含有对数的不等式问题,以此说明它在解决含对数不等式问题中的优越之处.一、基本对数不等式     

对一个函数不等关系的研究与应用

<正>高中导数学习中,经常会有一类比较复杂的不等式证明或求参数范围问题,其中有一个函数不等式屡屡出现在各类试题中,即lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号,就是这么很简单的不等式,经常用于解决一些较有难度的问题,有必要对它作进一步的研究.1.不等式lnx≤x-1的证明和几何意义.     

排序不等式对几道IMO试题的应用

排序不等式是说 ,对任意两组实数 a1≤ a2 ≤…≤ an和 b1≤ b2 ≤…≤ bn,以及 1,2 ,… ,n的任意一个排列 i1,i2 ,… ,in,均有 ni=1aibn-i 1≤ nj=1ajbij≤ ni=1aibi,上式取等号当且仅当 a1=a2 =… =an 或者 b1= b2 =… =bn.这个不等式的证明是简单的 ,它基于一个极其初等的不等式 :当实数 a1≤ a2 ,b1≤ b2 时 ,a1b2 a2 b1≤a1b1 a2 b2 .以面积作媒介 ,这个不等式有直观的几何解释 .在处理初等不等式方面的问题时 ,排序不等式是个基本的工具 .从理论上说 ,许多重要的不等式 (例如Cauchy不等式 ,常用的一些均值不等式 )均可由它直接…     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]证明了 ∑ a2t2b t2c≤ Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 ) .下面我们给出上述不等式的简单证明 .证明　∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ ∑ a22 hbhc　 =∑ a2 bc8Δ2 =abc4Δ∑ a2Δ=R .1r =Rr.由上述证明过程可知 ,我们得到了比∑ a2t2b t2c≤ Rr更强的不等式 ∑ a2h2b h2c≤Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 )故有不等式链 :2≤ ∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ Rr一个几何不等式的简证!528219$广东省南海市南庄高中@郝迎利1　张才元,陶兴模.一个猜想的否定.中学数学,1999,8…     

一个新的排序不等式

设有两个有序数组 :ａ1 ≤ａ2 ≤… ≤ａｎ;　ｂ1 ≤ｂ2 ≤… ≤ｂｎ则对于 1 ,2 ,… ,ｎ的任一排列ｉ1 ,ｉ2 ,…ｉｎ,有ａ1 ｂ1 ａ2 ｂ2 … ａｎｂｎ　　 (同序和 )≥ａ1 ｂｉ1 ａ2 ｂｉ2 … ａｎｂｉｎ　　 (乱序和 )≥ａ1 ｂｎ ａ2 ｂｎ- 1 … ａｎｂ1 　　 (逆序和 )以上称为排序不等式 ,是人们熟知、应用广泛的重要不等式 .笔者应用类比的思想 ,构造了一个新的排序不等式 ,下面证明这个不等式并介绍它的简单应用 .定理 1　设有两组有序正数 :0 <ａ1 ≤ａ2 ≤… ≤ａｎ0 <ｂ1 ≤ｂ2 ≤… ≤ｂｎ则对于 1 ,2 ,… ,ｎ的任一排列ｉ…     

去外衣看本质 初探切线放缩

<正>在证明含有ln x或c^x的函数不等关系恒成立时,一种方法是用切线来放缩曲线,例如:y=x-1是y=ln x在x=1处的切线,结合图象或作差易得对数不等式ln x≤x-1恒成立,且在x无限接近1时,两者误差越小,逼近效果越佳,其反函数为cx的函数不等关系恒成立时,一种方法是用切线来放缩曲线,例如:y=x-1是y=ln x在x=1处的切线,结合图象或作差易得对数不等式ln x≤x-1恒成立,且在x无限接近1时,两者误差越小,逼近效果越佳,其反函数为c^x≥x+1,这两个不等式在证明不等式恒成立问题中起重要作用,其作用是将指对数用一次函数替换,简化方程,但有时也可能会出现放缩过度或不足的情况,有效的处理办法是通过泰勒展开式进行逼近,使得结果更为精确.在高等数学中泰勒定理如下:     

关于变分不等式及其应用的若干问题

本文介绍平稳(椭圆)型(第Ⅰ与Ⅱ章)和发展型(第Ⅲ章)变分不等式的一些结果.每章都开门见山讨论一些结果(无意于包罗无遗),同时也介绍某些未曾解决的问题.计划如下: 第Ⅰ章 某些变分不等式初探 1.变分不等式的一个例子. 2.用罚~*)法证明存在性. 3.一些别的变分不等式. 4.动态规划的一种应用.     

以对数均值不等式为背景问题的解法探究

<正>对数均值不等式是一类重要的函数不等式,运用非常广泛,在文[1]中有系统介绍．下面来认识一下对数均值不等式．对数均值不等式若a>0,b>0,a≠b,则■．对数均值不等式的证明方法^[1]是对公式中的a,b进行比值代换,再构造函数进行证明．     

琴生不等式的推广应用

众所周知,琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用.它实质上就是对凸函数性质的应用.比如在证明锐角三角形中1＜cos A+cos B+cos C≤3/2时,右边不等式用琴生不等式能很快地得到证明,但对于左边的不等式则要多花一番功夫.我们观察到当(A,B,C)取(π/2,π/2,0)这个边     

“换元法”在中学数学中的应用(续完)

三、不等式和在解方程时一样,解不等式时应用换元法可以把诸如:分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、三角不等式和反三角不等式及高次不等式等等化为一次、二次不等式或不等式组来解。在证明某些不等式时,应用换元法可将证明过程简化,同时通过换元以后容易看出不等     

条件最值（不等式）问题的一种解（证）法

求条件最值及证明条件不等式问题 ,情形复杂 ,解法灵活 ,技巧性强 ,是学习的难点之一 .本文运用平均值不等式及柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式推导出几个条件不等式 ,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用 ,供大家参考 .1　若ａｉ,ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,且 ｎｉ=1ａｉｘｉ=ｋ ,则1) ｎｉ =1ｘｉ≥ 1ｋ ( ｎｉ=1ａｉ) 2 (ｎ∈Ｎ) ( 1)2 ) ｎｉ =1ａｎ≤ｋ ｎｉ=1ｘｉ(ｎ∈Ｎ) ( 2 )证　 1)∵ ｎｉ =1ａｉｘｉ=ｋ ,　∴ ｎｉ=1ｘｉ =1ｋ· ｎｉ =1ｘｉ· ｎｉ =1ａｉｘｉ≥ 1ｋ( ｎｉ=1ｘｉ·ａｉｘｉ) 2 =…     

指数凸函数的积分不等式及其在Gamma函数中的应用

仿对数凸函数的概念,给出指数凸函数的定义,并证明有关指数凸函数的几个积分不等式,作为应用,得到一个新的Kershaw型双向不等式.     

外森比克不等式与欧拉不等式的统一加强及其它

<正>本文从一个含正弦函数的"三角母不等式"出发,先给出外森比克不等式与欧拉不等式统一加强的证明,然后再利用该三角母不等式给出一些有趣的三角子不等式,供同学们欣赏.定理在任意△ABC中,若A≥B≥C,且实数x,y,z满足x≤y≤z及y>0,则有     

对数凸函数与琴生型不等式

给出对数凸函数的判定方法,建立关于对数凸函数的琴生型不等式并给出它的应用,包括改进一些已知不等式和建立一些新不等式。     

用好教材上的经典不等式 ——兼谈2018年浙江高考数学第10题

<正>教材上的例题、习题介绍了一些经典的函数或不等式,可将这些函数或不等式作为引理来证明数列不等式或解决与数列有关的不等式.如高中新课标教材数学选修2-2(人教版)《导数及其应用》P32习题中非常经典的不等式:1+x-1,当且仅当x=0时取等号,或lnx≤x-1,x>0,当且仅当x=1时取等号).     

用不等式sum from i=1 to n ((a_i)~2)≥2/(n-1)≤∑a_ia_j(1≤i

朱纯刚 《数学通讯》2006,(3)

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…