变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

周界中点三角形的又一性质

定理设面ABC三边为a，b，c，周界中点三角形相应边为a’，b’，c’，则证明设D、E、F分别为西ABC的边BC、CA、AB边上的周界中点．从E、F作EM上BC于M，FN上BC于N，NV（如图3）但BF—CE一户一a，因此上式即为a’＞a一（p—a）（cosB＋cosC）．再由关于y，C’的类似不等式，三式相加，得诸式代入上式左边，欲使看是否可能？化饲：即p’＜6R’－－f－－ZRr—r’；但Gerretsen不等式为P‘＜4R‘＋4Rr＋3r‘，可见只须证4R’＋4Rr＋3r’＜6R’＋ZRr—r’，PFZR’－ZRr、4r‘20；由欧拉不等式R）Zr知，ZR’一ZRr—4r‘一2…     

一道分式不等式的新证及改进

一道分式不等式：设文［1」、［Zj曾给出证明．本文将原不等式改进为再给出两种证法．先看三个引理：引理1设α1≥α2≥…≥αn＞0，0＜证明可参见［3」．引理2设αi、bi．证明可见[4]．引理3设αi、简证依引理2，并注意到幂平均不等注由题知，易得n—a＞0，而（此处由n（xf十送十…十米）＞（x；十Q＋…＋1）‘，知nb＞a‘，或nb—a‘＞0．）证法2P同证法1．不妨设x；＞x，＞…＞x－＞0，方知于是依弓l理1及幂平均不等式一道分式不等式的新证及改进@孙建斌$福建省泉州市永春县科委!3626001李长明.的灵活运用.中学数学(湖北),1996,2 2…     

关于混合算术──几何平均值不等式的一个简洁证明

F．Holland［1］曾提出如下猜想：猜想设xi＞0（i=1,…,n）,则JI,（J;‘r）、,（JIJ。J）、,…,（J］J。…J,厂的算术平均值不大干的几何平均值．文［fi给出了这个猜想的一个组合证明;文［2］给出了一个归纳证明．但这些证明都相当繁琐．本文给出这个猜想的一个简洁证明．这个证明需用到以下的H6lder不等式和加权算术几何平均值不等式．引理互设几＞O,b。＞O（i—l,…,n）;P＞1,q引理2设a＞O,b＞O,O＜p＜l,O＜q＜l百户十q一1,则有a’b’＜pa＋ah·引理1,2的证明可见怪一本有关不等式的参考书．猜想的证明为符号…     

1997年初中数学竞赛试题参考答案

第一试一、选择题1．下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（3）a2的平方根是 |a|（4）大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（A）l个（B几个（c）3个（D）41解（l）、（2）、（4）是错误的命题，故造（C）．么满足上述不等式的整教x的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7N4（H－／Z）wtxwtZ（H＋H）1．27…wtx＜73…故选（C）．3．若实数a，b，c满足a’＋b‘＋c’＝9，代数式ta—b）’＋（b－c）’＋（c－a）’的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12拐（a－b）2＋（b…     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

湖北省黄冈中学等七校98届高三联考数学(理)试题及参考答案

选择题（1——10题每小题4分，11——15题每小题5分）1．设全集I=｛0，1，2，3，4｝，A=｛0，1，2，3｝，B=（2，3，4），则AUB等于（）．（A）｛0｝（B）｛0，1｝（C）（，1，4｝（D）｛0，1，2，3，4｝2．不等式Jxz－－sx＋6＞X一1的解集为（）．（A）（。，l）（B）（1，＋co）（C）FI．M）（D）co，5）3．下列函数中，最小王周期是。的函数为（）．4．直线a、b是不互相垂直的异面直线，平面a、q满足：aMa、bM凡且a上见这样的a、q（）．（A）不存在（B）只有一对（C）有有限对（D）有无数对5．函数y—Zsin‘x—sinAs，xE［0…     

面积等式的一种证法

本文约定，按照反时针顺序排列n（n>3，nN）边形的顶点：A1（x1，y1），A2（x2，y2），……，An-1（xn-1，yn-1），An（xn，yn）．n边形的面积S－＝MIj。Zt、I．、。。…、；．、；、，J“＼y！yZ””’yn－ly。yil一7卜IyZ＋xZy3＋”””十x。－I人十xJ！一（yllZ－I－y。2。＋…－I－y。；2。－I－ygn；）］［‘］（l）本文应用公式（豆）证明一些数学竞睿试题中的面积等式（面积不等式另文介绍）．例1在凸四边形ABCD中，E、F分别是BC、DA的中点．已知凸W面积为2．8，thAED面积为2．4，求四边形ABCD的面积（1990年安庆市…     

读者来信

数学通报1998年12期“关于求多元对称函数极值的一个磨光法”一文,理论上是正确的,但后文中的例2是错误的．文中将“－”号误为“＋”号．改正后,不能证明（。）式＞0,例如令a;、1,a。、l,a;学a。,a。－…－an二0,（。）式＜0,因之,不等式（2）（3）（以及其推广情形）根本不能用本文定理2加以证明．2不等式（3）是一个错误的不等式．例如令定理1证明中的“X1’‘’－—一（一二L一）”－’（X;二）”应改为（－——）‘－’（X;一旦）以上意见供参考．读者来信@续铁权     

一道获奖命题探源

首届全国数学奥林匹克命题比赛中一道获奖命题是：l若,。。。6R－（i—1,2,…,。。）且。＞2,户EN,这个命题是如何发现和构造的呢？笔者经过一番思考研究,对此作如下探讨．我们容易从各类数学书刊中看到下列命题：＿冗＿、。＿。＿ZrtUtya。U,,W＝＝,UCOSSWCOSDtwCOSI一1．求证：tgatggtgy＞2／了．命题（2）可以构造一长方体进行证明,现用均值不等式简证如下：容易将命题（2）作如下多元推广：显然,命题3与3’是一对貌异质同的命题,（3）是（3’）的三角形式,而（3卜是（3）的代数形式．－’、·—·’、———。—…     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

涉及两个三角形的一个等式及其应用

定理dea，b，c，西和a’，b’，c’，凸’分别表示＊ABC和西XH0的边长和面积，为了证明（1），我们先证明：引BRx．v．x．x’．v’，z’满足由轮换时称可得我们称（7）式为“匹多”等式．（由于T＞O，Q＞O，所以由（7）式却匹多不等式H＞16面面’成立）．在（1）式中今a’一b’一c’，即面A’B’C为等边三三角形时，并设我们称（8）式为“外森比克”等式．由（1）式和（7）式可将匹多不等式加巴为：当然，由（4）、（5）、（6）式还可以得到多个区多不等式的加强．同样，由（8）式也可以得到一系列外在比克不等式的加强，限于篇幅，可…     

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)试题及解答

一、选择题：本大题共15小题；第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）团每小题5分，共的分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．（1）Sin600的值是（）（A）M（B）一5（C）M（D）一M（2函数v＝。L：（。＞回）的图象是（）．（3）曲线的极坐标方程尸一4sino化成直角坐标方程为（）．（A）（X—2）‘＋y‘一4（B）1’‘＋（y－2）’＝4（CXZ＋（y－I－2）一4（D）（x＋2）2＋y2＝4（4）两条直线All＋Bly＋CI＝0，A22＋BZy＋CZ＝0垂直的充要条件是（）．、AIA，一、—一（A）＝＝－－－－－－－－＝l…     

1998年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（每小题6分，满分30分）1已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是（B）（A）ah＞ie（B）a＋b＞b＋c（C）a－b＞b－c（D）H＞上co解根据不等式性质，选旧）2如果方程x2＋pH＋1＝0（户＞0）的两根之差为1，那么户等于（D）（A）2（B）4（C）月（D）后解由6一p’－4＞0及p＞2，设xl，。2为方程的两根，那么有一l＋12一一p，x112＝1又由3在OABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD上CE，BD＝4，CE—6，那么］ABC的面积等于（C）解如图，连ED，4已知de产0，并且在上上一旦u＝7厂一P，那么直线…     

三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

Shc22和Shc60的统一加强

设△ABC的三边BC、CA、AB分别为a、b、c，ha、hb、hc分别是相应边上的高，wa、wb、wc分别是/A、／B、／C的内角平分线，ra、rb、rc分别是相对于∠A、∠B、∠C的旁切圆半径，R、r、S、△分别是否△ABC的外接回半径、内团圆半径、半周长和面积，∑表示对a、b、c轮遍求和．刘健在艾［1」中提出如下两个清想问题：She22）：wiMMRr，（亚）She60＞：r。（w！十hZ）＜～～abc．（2）本文证明，不管式（1）和（2）可统一加强为如下不着五链：定理兰Rr‘＜r。wg＜S凸．（3）美中c是否ABC的汪意一边．于是，（3）的左半不等式成五．＿、…