对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

试谈根的判别式的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)的根的判别式Δ=b~2-4ac有着极为广泛的应用,应用它解决某些问题,可起到化繁为简、化难为易的作用,本文举例说明根的判别式在解题方面的应用。 1 求值例1 求使A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)为整数的一切实数x。(1983年苏州市中学生数学竞赛题) 解A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)=1+(x+1)/(x~2-3x+3) 令a=(x+1)/(x~2-3x+3),     

利用不等式求函数最值方法的推广

高中代数课本第二册88页例3,给了我们一种求函数最值的方法。原题如下: 已知:x、y∈R~ ,x y=S,xy=P。(1)如P是定值;当且仅当x=y时S的值最小。(2)如s是定值,当且仅当x=y时P的值最大。对于某些不满足x=y的函数,就无法用这种方法求得最值。如f(x)=(x~4 4x~2 5)/(x~2 2),它可化成f(x)=(x~2 2) 1/(x~2 2),尽管(x~2 2)·1/(x~2 2)=1,但无论x取何实数,(x~2 2)与1/(x~2 2)永不会相等。显然不能用例3的方法求f(x)的最小值。     

求函数解析式的几种方法

已知一个函数适合某种性质或某种关系,求这个函数的解析式,对这个问题学生感到困难。现就这个问题介绍几种求函数解析式的方法: 一、定义法例1 已知f(1+x/x)=1+x~2/x+1/x,求f(x)。解:∵f(1+x/x)=1+x~2/x~2+1/x=(x~2+2x+1)-2x/x~2+1/x=(x+1/x)~2-x+1/x+1     

1、究竟是哪一个解

题:已知f(1/x)=x (1 x~2)~(1/2),求解方程f(x)=2x。解法一:由已知变换得f(x)=1/x (1 x~2)~(1/2)/|x|,又f(x)=2x ∴1/x (1 x~2)/|x|=2x     

第三讲 构造法

解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程。而“构造法”则是实现这种转化的重要手段之一。它的策略思想是,对于一个较为复杂(甚至看来无从下手)的问题。先构造一个与之有关的辅助命题,也就是在已知与未知间搭一个桥,借以沟通“条件”和“结论”。例1 解方程 ((3x~2-5x-12)~(1/2))-(2x~2-11x 15)~(1/2)=x-3。解令((3x~2-5x-12)~(1/2))=u;(2x~2-11x 15)~(1/2)=υ;则 u-υ=x-3 ①当u=v时,x=3.代入原方程检验。知x_1=3是它的根。当u≠v时,u v=(u~2-v~2)/(u-v)=(x~2 6x-27)/(x-3)=x-9②由①和②得u=x 3.υ=6     

余数定理的引伸及其应用

在中学数学课本里有一条定理叫余数定理“多项式f(x)除以x-b所得的余数等于f(b)”,证明时引用了下列恒等式 f(x)=(x-b)·Q(x)+R (1)当x=b时,f(b)=R。现在我们把关系式(1)引伸一下,设 f(x)=B(x)·Q(x)+R(x) (2)是一个关于x的恒等式,如果当x=b时,我们有B(b)=0,则得f(b)=R(b)。由于我们所讨论的是一元多项式,当B(x)的次数低于f(x)的次数时,R(x)的次数将低于B(x)的次数而更低于f(x)的次数,因此,求函数f(x)当x=b的值时,可以不直接代入f(x)计算而可以代入较为简单的式子R(x)里去计算,这样就方便得多了。例1. 已知 x=1/(3~(1/2)+2~(1/2)),求 f(x)=x~5+x~4-10x~3-10x~2+2x+1的值。解:x=1/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2)。     

数学基础练习(三)

练习21 1.双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1上的任一点P(x_0,y_0)到焦点(c,0)的距离和到准线x=(a~2)/c的距离之比是多少?     

线性分式函数n次迭代的简便计算

分式线性函数f(x)=(ax b)/(cx d)的n次迭代的计算方法已有很多文章作了讨论,本文介绍一种简便的计算方法,可以很方便地求出fn(x).定理1已知f(x)=(ax b)/(cx d)设f0(x)=x,f1(x)=f(x),fn(x)=f[fn-1(x)](n≥1),a,b,c,d∈R且ad≠bc,c≠0,则fn(x)=(α(qqnn--βppnn))xx ααpβn(-p     

由一道常见题想到的

<正>常见这道习题:已知f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2),求f(x).对其往往采用先配方再换元来求f(x).f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2)=(x+(1/x))~2-2.令u=x+(1/x),则f(u)=u~2-2,|u|=|x+(1/x)|=|x|+(1/|x|)≥2.     

有趣的数学怪现象七则

一、指数能约分子、分母的幂指数能同时约去,难道这是一种巧合,如:(53 43)/(53 13)=(5 4)/(5 1)=3/2,(83 33)/(83 53) =(8 3)/(8 5),(533 253)/(533 283)=(53 25)/(53 28)=26/27,细心的同学通过观察、分析不难得出这组等式的一般规律,用字母表示即为(x3 y3)/(x3 (x-y)3)     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

让抽象函数现“型”

<正>有这么一道小题:已知函数y=f(x)(x∈(0,+∞))满足x,y∈(0,+∞),都有f(x·y)=f(x)+f(y)-1,且f(1/2)=0,求f(8).大部分同学会根据题中的条件用特值法先求出f(1)=1(令x=y=1),再求出f(2)=2(令x=2,y=1/2),进而求出f(4)=3,最后求出f(8)     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

巧用1/(n(n k))=1/k((1/n)-(1/(n k)))解竞赛题

一、用来解方程例1(1999年河北省竞赛题)方程1/(x(x-1)) 1/(x(x 1)) … 1/((x 1997)(x 1998)) =(1999)/(2000)的根为()．(A)1999 (B)-2 (C)-1999或2 (D)1999或-2解根据公式原方程化为1/(x-1)-1/x 1/x-1/(x 1) … 1/(1/(x 1997))-1/(x 1998)=(1999)/(2000),1/(x-1)-1/(x 1998)=(1999)/(2000),(x 1998)-(x-1)=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),1999=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),     

利用构造法巧解竞赛题

2005年全国高中数学联赛数学联合竞赛加试题第二大题:设正数a,b,c,x,y,z满足cy bz= z;az cx=b;bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x~2)/(1 x) (y~2)/(1 y) (z~2)/(1 z)的最小值.许多专业杂志都对此题的解法进行了研究,同时也提供了一些精彩的解法,但其中一