二面角求法面面观

<正>空间角是立体几何的重要内容,也是高考必考知识点,特别是求二面角的大小,既考查空间想象能力和逻辑推理能力,又考查运算求解能力.下面以高考题为例,谈谈二面角的平面角作法和求法,供参考.1.几何法作出二面角的平面角,解此角所在的直角三角形,可得二面角的大小.     

空间想象能力的培养

空间想象能力不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素,而且是形成和发展创造力的源泉. 空间想象能力是数学教学中必须培养的基本数学能力之一,在几何学中我们用点表示位置,点的不同组合构成空间各种形态的几何形体,根据几何教学的发展趋势看,几何直观,几何变换与几何应用的要求越来越加强,说明了培养空间想象能力在几何教学中的中心地位,在教学中我们应该从以下几个方面培养学生们的空间想象能力.     

§9.6.1二面角

教学目标1.使学生正确理解和掌握"二面角"、"二面角的平面角"的概念.2.引导学生探索和研究"二面角的平面角"应该如何定义,在概念形成的过程中,发展学生的思维能力.     

一道高考立体几何试题的多样解法

好的试题如一杯陈年老酒,让人回味悠长．2010年高考全国卷Ⅰ第19题便是一例,此题主要考查了立体几何中线面垂直、面面垂直、求二面角等知识,并以这些知识的考查为依托,考查学生空间想象能力、计算能力、探究意识与创新意识,具有一定的综合性,尤其是第（Ⅱ）问求钝二面角,因为人口宽,让不同层次的学生展示不同的思维,立意让人颇为赞赏,笔者下面从不同角度对第（Ⅱ）问进行解法分析．     

例谈基底法在立体几何解题中的应用

<正>(2014辽宁理-19)如图1,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.参考答案中给出了两种解答,一种是几何综合法,另一种是建立空间直角坐标系的向量坐标法.然而此题在建系时,三条互相垂直的坐标轴并非一目了然,需要学生添加若干辅助线方能成功.有没有其他较为简洁的方法呢?     

二面角的平面角的基本构造法

空间的角是最基本的几何量之一.二面角的平面角是其中很重要的一类角,空间图形中点、线、面的位置关系常用它进行定量分析.它的构造是解题的关键所在.只有找到题目中二面角的平面角的恰当位置,才能搭起已知与未知之间的桥梁.因此,熟悉和掌握基本图形结构中各种二面角的平面角的构造方法,是同学们求解与二面角相关问题的必经之路.下文从二面角结构的“棱”和“半平面的垂线”入手,例谈三种二面角的平面角的基本构造方法.二面角的平面角的构造要符合准确性、可求性、易求性三原则.     

从86年上海高考一道立几试题谈起

86年(上海)高考理工类最后一道试题是: 已知直角三角形ABC的两直角边AC=2,BC=3,P为斜边AB上一点(图1)。现沿CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B,当AB=7~(1/2)时,求二面角P-AC-B的大小。以立几作为高考试题的压阵题是第一次,对此可能有不同看法,但对如强空间想像力的考查,无疑会起积极作用。本文拟就对此题的分析,谈谈对空间想像能力的认识。这一题的困难在于如何从平面图作出立体图以及如何作出二面角P-AC-B的平面角。对于空间想像力较差的学生,往往感到无从着手。本题解法很多,但关键都在二面角P-AC     

例谈向量法求二面角

高级中学数学第二册(下B)立体几何部分引入空间向量的知识,使几何问题代数化.利用向量这一运算工具能有效地攻克作二面角这一难点,优化解题过程,可操作性强,学生易于掌握.     

空间向量解决几何体外接球问题

《普通高中数学课程标准(实验)》在"课程目标"中指出:"提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力";在"内容标准"中指出:"三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程的基本要求",而通过数学立体几何的求解是达到以上"课程目标"的     

初中几何证明教学要注重“三个关注”

几何学拥有悠久的历史,在数学课程中具有不可替代的作用.[1]在经历过小学阶段的实验几何学习后,学生在初中阶段开始进入推理几何的学习.不同于实验几何以归纳实验发现空间的本质,推理几何重在以逻辑推理探索未知.[2]推理几何以几何证明为主要学习方式,对于学生的逻辑推理、直观想象等能力的发展都十分重要.[3-4]但学生学习几何证明却并不轻松,尤其是初中阶段的几何证明,往往是教学中的一个难点.[5]如何进行有效的初中几何证明教学,自然非常值得重视.为此,研究提出初中几何证明教学要重视"三个关注",为这一教学难题的突破提供参考.     

提高初中生几何证明能力的教学研究

提高学生的几何证明能力是初中数学教学内容的一个重点,也是一个难点.教师要善于在支架式教学模式中为学生学好几何证明、解剖几何题构建“学习支架”,让学生借助一个个“学习支架”,逐步进阶,最终提高学生几何证明能力,培养学生逻辑推理核心素养.     

中考数学中动态几何部分问题研究

动态几何是中考数学的重要组成部分,与平面几何相比,动态几何的综合性更强,对学生数学能力的考查更加全面,是选拔学生的重要题型,受到命题者的青睐.通过多年中考数学试题统计发现,动态几何问题常常作为压轴题出现在中考数学中,是学生之间拉开分差的主要部分.因此,提高学生动态几何部分的解题能力,对提高学生的中考数学成绩至关重要.     

二面角的平面角的研究

<正>学习立体几何对培养同学们的逻辑思维能力和空间想象力有着不可替代的作用.然而在学习过程中,包括笔者在内的很多同学对二面角的平面角概念有些模糊,除了二面角的平面角唯一性之外,最值性也是它被用来度量二面角的重要原因.本文将使用数形结合的方法探讨二面角的平面角的最值性.我们在已知二面角的棱上取一点,过这一点在两个半平面上各引一条射线,它们的夹角     

二面角的平面角的作法

寻找二面角的平面角是解决二面角问题的关键 .本文就寻找二面角的平面角的一些常用方法进行归纳总结 .一准确应用定义定义是解决问题的有力工具 .例 1　如图 1,在△ABC中 ,AD⊥BC于D ,E是线段AD上一点 ,且AE =12 ED .过E作MN∥BC且MN交AB于M ,交AC于N ,以MN为棱将△AMN折成二面角A1 -MN-D ,设此二面角为α(0 <α <π) ,连A1 B、A1 D、A1 C ,求△A1 MN与△A1 BC所成二面角的大小 .图 1图 2分析　这是一个折叠图形问题 .需要充分在平面几何图形中寻找垂直、平行关系 .不难发现在折后图 2中 ,由于A1 E与MN、ED与MN的关…     

二面角计算公式的推广及应用

求二面角大小通常的方法是先作出二面角的平面角 ,把空间问题转化成平面问题加以解决 ,这是立体几何的一个难点 .而当二面角的棱没有事先给出的情形 ,要作出其平面角更显得困难 .为此 ,本文把一些常用的二面角计算公式作了推广 .这样 ,即可依据已知条件 ,无需作出平面角或添加辅助面 (线 ) ,直接确定其二面角的大小 .不难看到 ,采用这些公式对于解决某一类涉及二面角计算的问题相当见效 .设∠ＡＰＢ在平面Ｍ的一侧 ,顶点Ｐ在平面Ｍ上 ,边ＰＡ、ＰＢ与平面Ｍ所成角分别为α ,β(0 ≤α ,β <π2 ) ,在平面Ｍ上的射影分别为ＰＡ1 ,ＰＢ1 .平面…     

尺规作图:几何学习的重要路径

在初中数学教学中适当加强尺规作图教学,对于增强几何直观、深刻理解几何知识、提高推理能力等数学核心素养有着重要的价值.本文从7个角度阐释尺规作图在几何学习过程中培养学生多方面数学素养的重要性:建立学生几何直观的有效手段;锻炼学生逆向思维的有力工具;学生“做中学”的物化载体;体悟数学美传播数学文化的重要途径;培养学生推理能力的重要抓手;培养学生前思后想的有效途径;实现图形运动的有效手段.     

延展平面法求二面角在解高考题中的应用

<正>立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念,在求解两个平面没有明确交线的二面角或在题干给的条件不易找出二面角的平面角题目时,若用定义法求解,就要先找出二面角的棱,再找出二面角的平面角.几何里的"平面"就是从一些物体中抽象出来的,并且几     

教师常架解题“两法”之桥促进学生学习能力提高

本文所说的“两法”是指 :错误解法与正确解法 ;代数解法与几何解法 ;通法与特技 ;繁解与简解等 .在数学解题教学中如何把对学生能力的培养落到实处 ?笔者以为 ;经常引导学生从错误解法到正确解法 ;经常引导学生进行几何解法与代数解法的转换 ;经常引导学生从通法到特技 ,从繁解到简解 ,即常架“两法”之桥是促进学生能力提高的一条行之有效的途径 .1　在错误解法向正确解法的转化中培养学生能力虽然我们谁也不愿意在解题中发生错误 ,但解题出错的现象却不时发生 .尤其是当纠正过的错误 ,学生再错时除了学生自身的责任 ,教师也应检查自身纠…     

新课程实施中数学推理能力培养的几点思考

众所周知,几何证明作为培养学生数学推理能力的特色素材,一直在课程中占有相当大的比重,而正在实施的几种初中数学实验课程又无一例外地把削弱和淡化几何证明作为新课程改革的基本意向之一.应当承认,几何证明虽然在培养学生的思维、推理等主流方面具有明显的优越性,但其系统、严密的演绎特点也确实给数学学习带来了一定的困难,继续在中小学数学中独占一大块地盘显然已不合时宜.问题在于,几何证明弱化后,究竟该如何应对才不致使学生的数学推理能力尤其是逻辑推理能力降低到不应当的地步?这是摆在一线数学教师面前的一个现实而又紧迫的研究课…     

用平面的法向量求二面角

利用平面的法向量求二面角,思路清晰,是许多学生喜欢选择的方法.但是,我们求得两个法向量所成角的值,既可能是二面角的值,也可能是二面角的补角的值,这一直是围绕中学师生的一个问题.怎样求得的两个法向量所成的角的值才是二面角的值呢?我们首先确定平面法向量的方向,在空间直角坐标系中,我们可以把法向量分成三类,一类向量指向x Oy平面上方,设为(x,y,1),一类向量指向xOy平面下方,设为(x,y,-1),一类向量与xOy平面平行(或在xOy平面上),设为(x,y,0).然后用平面的法向量的指向来确定二面角.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD…