数学问题解答

2012年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)2076已知:在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为E,点M1、M2分别在OC与CO的延长线上,且CM1=OM2,AM1交⊙O于点F1,AM2的延长线交⊙O于点F2,DF1交AB于G1,DF2的延长线交AB的延长线于点G2.     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

蝶心离枝亦精彩

蝴蝶定理如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M点的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.     

蝴蝶定理的推广和演变

蝴蝶定理:设M是圆的弦AB的中点,过M作圆的任意两条异于AB的弦CD、EF,线段CF、DE分别交AB于G、H两点,则MG=MH。这个优美的数学名题,曾得到众多数学爱好者的青睐.美国人坎迪     

抛物线中的若干最值问题

<正>过抛物线的对称轴上一定点引直线交抛物线于两点,则以这两点为端点的弦被对称轴上的定点截成两部分,本文给出这两部分组合的五个最值问题,并用统一的方法给以解答.问题1给定抛物线E:y2=2px(p>0),M(m,0)(m>0)是x轴(即E的对称轴,下同)上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B,求|AB|的最小值.     

蝴蝶定理的一个简捷推广

蝴蝶定理是指下面的命题:如图,设AB是圆的一条弦,过AB的中点M作弦CD、EF,连结CF、DE分别交AB于点P、Q,求证:PM=MQ. 近年来,经过人们不断的研究探索,得到了该定理的多种证法.本文介绍它在圆锥曲线时的情况,并给出一种简捷的证明.     

蝴蝶定理的几个推广

蝴蝶定理如图1所示,M是⊙O的弦AB的中点,CD、EF是过M点的两条弦,连接CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ(1)     

蝴蝶定理的一种面积法妙证

<正>蝴蝶定理^([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文^([1])中给我们展示了一幅脍炙人口的蝴蝶定理诞生、推证、拓广、演变……的美丽画卷,让人赏心悦目、引人入胜、叹为观止,使笔者受益匪浅.经探究,本文笔者给出如下一种自然而流畅的面积法妙证.     

花蝴蝶定理

文[1]介绍了圆中的两个著名定理,即 蝴蝶定理设M是⊙O的弦PQ的中点,过点M另作两弦CD、EF,连结CE、DF依次交弦PQ于点A、B·则1/MA=1/AB.     

有心圆锥曲线切线的一类性质

文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质:给定二次曲线c:Ax2 Cy2 Dx Ey F=0及定点G(m,n),过定直线l:Amx Cny D·m x2 E·n y2 F=0上任一点M(点M在曲线c的外部,当c为双曲线时,点M不在其渐近线上)引曲线c的两条切线MA,MB,则切点弦AB所在直线恒过定点G,当n=0,E=0时,kAB·kMG     

最长弦与最短弦问题

考查经过圆内一点的最长弦与最短弦,尤其最短弦具有的性质是高中数学中的一类重要问题,在近年来的高考及各类数学考试中该类问题频繁出现.试总结如下:这里先给出一个常用结论:性质1设圆O的半径为R,M为圆内不同于圆心O的一定点,设OM=m(0相似文献   

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

圆内接等腰三角形一个有趣性质——再谈由一道平几习题所想到的

初中《几何》第二册95页18题为: 圆内接三角形ABC中,AB=AC,经过点A的弦与BC和(?)分别相交于点D和E.求证:△ABD∽△AEB. 在证题之后经过再探索,写了《由一道平几习题所想到的》一文,发表在贵刊1990年第7期47页,介绍了等腰三角形四个性质。本文将介绍另一个有趣性质,如图1,在A、D、B三点中,由一点与其它两点所连结的线段有什么关系?点D是AB和BC二弦的交点,由相交弦定理     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

对数学问题1720的研究性学习

<数学通报>(文[1])2008年2期问题1720为: △ABC中,以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆交AB于E,交AC于点F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点,EN交FM于点D,求证:AD⊥BC.     

二次曲线中点弦性质

若二次曲线的弦AB以M为中点,反之,称AB为点M的中点弦. 若两二次曲线相似,且有相同的对称轴,则称两曲线同轴相似(长、短轴或实、虚轴不能换位). 某双曲线的同轴相似双曲线的共轭双曲     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

一道训练学生发散思维的试题

在一次学校月考中,笔者命制了一道试题如下如图,⊙M与x轴交于A、D两点,与y轴正半轴交于B点,C是⊙M上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC.(1)求圆心M的坐标;(2)求四边形ABCD的面积;(3)过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时,求CF的长.图1图2笔者在阅卷和考后试卷评讲过程中,发现学生有许多新