一道导数题错解剖析

例题已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2 在x=1处有极值10,求f(2)的值．错解依题意得解得剖析应注意f′(x)=0是可导函数f(x) 在x=x0处有极值的必要不充分条件,因此,解得的a、b并不保证f(x)在x=1处取得极值．事实上,若x=x0是方程f′(x)=0的偶次重根,则     

关于亏函数的亏量和F.Nevanlinna猜想

在亚纯函数值分布论的发展中,有一个有名的 F.Nevanlinna猜想.即:若f(z)是有限级λ的亚纯函数,且∑δ(a,f)=2(a是f的亏值),则 (i)λ是1/2的整数倍; (ii)v(f)≤2λ,其中v(f)是f的亏值个数; (iii)亏量δ(a,f)是1/λ的整数倍.     

智慧窗

一、巧求系数和 若(3尸+7厂+4厂一九一5)5·(3尸一 于4扩十7了一5)一a。+“,J+御xZ+…十“4。 求晰十a:+a、+一+内。的值. 河北乐亭一中(0 63600)搜立志提供 二、巧求值 定义在R上的函数、f(二)满足关系式 f(合+J,+f(合一)- 求f(音)+f(普)+f(普)+ _,7、 十J气一于) 0 的值. 浙江海盐县教研室(314300)沈顺友提供 (答案在本期找) 智慈窗《巧求系数和》参考答案 设f(二)一(3丫+7尹十4了一7二一5)5· (3x,一7J·3+4工2十7x一5) 一a。+al工十aZ尹十…+a;。尸“, 则f(x)二f(一x), :.f(x)为偶函数, al=a3=as=…~a39一0. a。+a:+a;+…+a;。二f(1)…     

一道导数题的求证感悟

题目已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若f(x)无极值点,但其导函数f’(x)有零点,求a的值;(略)(2)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.     

争鸣

问题　　 问题 56 　设集合M ={x| f(x) =0 } ,N ={x| g(x) =0 } ,则方程f(x) ·g(x) =0的解集是(　　 )(A)M∩N .　　　 (B)M∪N .(C)M . (D)N .观点 1　认为选 (B) ,所有教辅书上的答案也是选 (B) ,理由是由f(x)·g(x) =0得f(x) =0或g(x) =0 ,故选 (B) .观点 2　无正确答案 ,理由是如 f(x) =x - 2x + 1,g(x) =x + 1x - 3,则M ={ 2 } ,N ={ - 1} ,f(x)g(x) =0的解集为M ,故选 (A)不正确 ,其它答案也可举出反例 ,所以无正确答案 .两种观点 ,到底谁对 ,谁错 ?　　 问题 57　从装有 4粒大小、形状相同 ,颜色不同的玻璃球的瓶中 ,随意…     

命题“蕴含”和“互相淘汰”法

在正确答案唯一存在的选择题解法中,有如下一种不妥的叙述: 当选择支之间存在“包含”关系时,可将“被包含”的选择支淘汰掉。上述方法被称为“互相淘汰”法。其例为: 例1 若s:n~4a cos~4a=1,则sina cosa的值为 (A) 1; (B) -1 (C) 1或-1。解答案(A)、(B)包含于(C)、若(A)、(B)中至少有一个正确,则(C)必正确。这与正确答案的唯一性相矛盾。故淘汰(A)、(B),正确答案为(C)。笔者认为上述解法不妥。请看下例。例2 函数y=x~(1/2)的反函数的图象是抛物线     

课外练习

高一年级1.已知a ,b为整数 ,且 f(a +b) =f(a)·f(b) ,又f( 1) =1,求 f( 1) +f2 ( 2 ) +f3 ( 3 )+… +f2 0 0 3 ( 2 0 0 3 )的值 .(安徽岳西县城关中学 ( 2 4660 0 )李庆社 )2 .如果函数f(x) ,对于非零实数x1,x2 均有f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 )且f( 1) =3 ,当f( 2 )f( 1) +f( 4 )f( 3 ) +f( 6)f( 5 ) +… +f( 2n)f( 2n -1) =2 0 0 1时求n .(深圳市蛇口中学 ( 5 180 67)　王远征 )3.若函数 f(x) =ax +1x +2 在区间 ( -2 ,+∞ )上是增函数 ,则a的取值范围是 .(北京昌平一中 ( 10 2 2 0 0 )何乃忠张全合 )高二年级1.设A ={x|1相似文献   

综合题新编选登

题 6 9　 已知函数 f(x) =4x -ax2 + 1在区间 [α ,β]上为增函数 ,且 f(α)·f(β) =- 4.1)求 f(β) - f(α)的最小值及取到最小值时a的值 ;2 )求α ,β的值 (用a表示 ) .解　 1) f(x)在 [α ,β]上为增函数 ,且f(α)·f(β) =- 4<0 .∴ f(β) >0 >f(α) .则f(β) - f(α) =f(β) + [- f(α) ]≥ 2 - f(α)·f(β) =4 .“ =”成立时有 f(β) =- f(α) =2 .由 f(β) =2 ,得4 β -aβ2 + 1=2 ,∴ -a =2 (β - 1) 2 ≥ 0知a≤ 0 ;由 f(α) =- 2 ,得4α -aα2 + 1=- 2 ,∴a =2 (α + 1) 2 ≥ 0知a≥ 0 .则 f(β) - f(α)取最小值时a =0 .2 )首…     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

观察 猜想 验证 反思——从一道课本习题说起

题　设f(x) =x2 - 1x2 +1,求1) f ba ;　2 ) f ab .解　1) f ba =b2a2 - 1b2a2 +1=b2 -a2a2 +b2 ;2 ) f ab =a2b2 - 1a2b2 +1=a2 -b2a2 +b2 .对1) ,2 )的计算结果进行观察,不难发现:f ab +f ba =b2 -a2a2 +b2 +a2 -b2a2 +b2 =0 .由f ab ,f ba 的特点,容易让人联想到f(x) +f 1x 的值有可能为定值,于是进行验证:f(x) +f(1x) =x2 - 1x2 +1+1x2 - 11x2 +1=x2 - 1+1-x2x2 +1=0 (x≠0 ) .通过验证,说明猜想成立,这样就得到了一般性的结论.用此方法可以解决一些高考和竞赛题,下面举例说明.例1　(2 0 0 2年全国高考)己知f(x) =x21+x2 ,求f(1) +f(12 …     

纠正一道课外练习的答案

<正>《中学生数学》2019年4月上高二课外练习第2题,原文给出了错误答案[-3(3~(1/2)),3(3~(1/2))],正确答案应是实数集R.讨论如下:已知函数f(x)=8sinx-tanx的定义域是(-π/2,π/2),求函数f(x)的值域.1直观判断法函数f(x)=8sinx-tanx变形为tanx=8sinx-     

方程思想解题例说

一般说来 ,求某个量的值 ,求函数表达式 ,求函数值域 ,求曲线方程等 ,这些欲求之量 ,就是未知量 .怎样求出这些量 ?通过列方程 (或方程组 )把未知量和已知量联系起来 ,通过解方程将未知量转化为已知量 .1　根据定义构建方程例 1　已知函数 f( x) =( a - b) 2 x3-( a2 - b2 ) x2 ( a - b) x - ( a b) 2 ,试问 :当a、b满足什么条件时 ,f( x)是偶函数 ?解　由于 f ( x)是偶函数 ,∴　 f ( - x) =f ( x) ,即　 ( a - b) 2 ( - x) 3- ( a2 - b2 ) ( - x) 2 　 ( a - b) ( - x) - ( a b) 2　 =( a - b) 2 x3- ( a2 - b2 ) x2 　 ( a - b) …     

对可导函数求最值的一种简单方法

现行高中数学课本上对可导函数求最值的方法介绍如下：设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,那么,求y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值的步骤是：(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个     

2012年高考数学主观题强化训练题(2)

1.设a=(1,2cos x),b=(cos2xsin-sin2x,sin x),x∈R,f(x)=a.b+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,π/2],求f(x)的最大值与最小值及相应的x值.     

具有两个亏值的亚纯函数（Ⅱ）

本文讨论了具有两个亏值的亚纯函数的唯一性问题,改进了F.Gross和本文作者的几个结果。本文主要证明了:设f与g是两个非常数亚纯函数,a,a_1,a_2是三个判别的有穷复数,再设δ(∞,f)=δ(∞,g)=1,E_f({a_1,a_2})=E_g({a_1,a_2})。(1)如果2a≠a_1+a_2,且δ(a,f)+δ(a,g)>5/3,则f≡gr或(f-a)(g-a)≡(a_1-a)(a_2-a);(2)如果2a=a_1+a_2,且δ(a,f)+δ(a,g)>1,则f≡g或f+g≡2a或(f-a)(g-a)≡(a_1-a)·(a_2-a)。     

关于几乎处处可微函数的一个问题

设f(x)是定义在[a,b]上的绝对连续函数,M[a,b]是可测集.众所周知,如果 mf(M)=0 (m表示Lebesgue测度),则f′(x)在M中几乎处处等于0(例如参见文献[17]).Varberg推广了上述结果,在[2]中他证明了f(x)绝对连续的条件可用f(x)连续且具有有界变差的条件来代替.在[2]之末,Varberg发问:f(x)连续性的条件是否可以除去?如果答案是肯定的,那末f(x)具有有界变差的条件是否可用f′(x)几乎处处存在的条件来代替?     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

具有极值亏量和的亚纯函数

设w=f(z)是一个下级为μ的亚纯函数,z=g(w)是f(z)的反函数。记g(w)的判别直接超越奇点个数为l,f(z)的亏值个数为p,其中l′个亏值同时是g(w)的直接超越奇点。文中证明了如下结果: 假设f(z)的亏量总和 △(f)=δ(a,f),δ(a,f)>0等于2,则有p-l′+l≤2μ。     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

你会区别这些函数问题吗?

有些函数问题,形式相似,但实质却不同,常有同学张冠李戴,造成误解,下面列出几组典型问题,进行对比、辨析.1.区分“A B”与“B A”.例1已知函数f(x)=log2(x2-2ax 3)(a∈R).1)若f(x)的值域为[0, ∞),求a的值.2)若f(x)的值非负,求a的取值范围.解1)设u=x2-2ax 3,则u=(x-a)2 3-a2≥3