“Dirichlet判别法的必要条件”的一个应用——Abel判别法的另一证法

在[1]中曾指出,关于常数项级数和广义积分的“Abel判别法可以从Dirichlet判别法推出”。而对于函数项级数和含参变量广义积分,能否从Dirichlet判别法推出Abel判别法呢?     

一种反常积分与正项级数收敛的判别法

介绍一种判别无穷限反常积分与正项级数敛散性的判别法。     

最小发散级数和最大收敛级数不存在理论及其论证

无穷级数是高等数学中的一部分重要内容.在判断无穷级数收敛或发散时,比较原理(比较审敛法或比较判别法)是一个有效的判别法,其基本原理是:     

对阿贝尔判别法的必要条件的探讨

在一般的数学分析的教科书和参考书中,对阿贝尔判别法的必要条件均未论及,故我们特对此问题作如下探讨。 狄里克莱判别法的必要条件是成立的。(参看《数学通报》1983年第七期的“Dirichlet判别法的必要条件”一文)。 关于数项级数中阿贝尔判别法的必要条件。     

对数函数与幂函数的序关系及其应用

给出了对数函数与幂函数的七种序关系,举例说明了这些序关系在判别反常积分和无穷级数敛散性中的应用.实践表明,应用这些序关系能准确地为含有对数函数因子的反常积分和无穷级数找到合适的比较对象,从而能对其敛散性做出正确的判断.     

关于用比较判别法判断无穷级数的敛散性问题

<正> 无穷级数是数学分析的一个重要组成部分,内容十分丰富。研究的问题大致有如下几个方面:敛散性问题;求和、误差估计问题;收敛速度的估计等。无穷级数在应用上也是十分广泛的。如何判断无穷级数的敛散性是很重要的问题,教材中介绍了许多方法可供使用。但是,学生往往对用比较判别法判断无穷级数的敛散性感到困难,本文仅就这方面问题做些讨论。我们先将比较判别法叙述如下:     

应用无穷级数研究某些定积分

我们知道,数列的极限,定积分和无穷级数三者有着紧密的联系,由于定积分是某种和式的极限,而无穷级数的和是其部分和的极限,为此我们可以应用极限的方法研究定积分与无穷级数,反过来,也可以应用级数或者有时应用定积分去确定数列的极限.所以,有时定积分与无穷级数之间也有着一定的关系,即应用定积分的方法可以研究某些级数,也可以应用级数的方法求某些定积分的值.     

利用定积分证明某些不等式

定积分与级数求和有着密切的联系,正项级数敛散性的积分判别法就说明了这一点.本文依据在研究这一判别法过程中所获得的级数和与定积分之间的联系,来证明一些有关级数和(有限项与无限项)的一些不     

关于级数敛散性的导数判别法

<正> 关于无穷级数绝对收敛性的讨论,是一个有意义的问题,毛毓球译《级数绝对收敛的导数判别法》一文给出了一种建立在导数基础上的判别法则,叙述如下: 定理1(导数判别法)设为实     

反常积分敛散性的根值判别法

由于积分与级数在理论上是统一的,因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.设f(x)是[a,+∞)上的非负函数,li mx→+∞xf(x)=ρ,则当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx发散;设f(x)是(a,b]上的非负函数,a为瑕点,xli→ma+(f(x))x-a=ρ,则当ρ1时,反常积分∫abf(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫baf(x)dx发散.     

无穷级数的和数比较判敛法

无穷级数的判敛问题是一个古典分析的课题。现代文献中仍有涉及,但是不太多。形形色色的判敛法大体可分为两类:一类是比较专用的,适用于某一类的级数,如d'Alembert判别法。Gauss判别法;另一类有比较广泛或很广泛的适用范围,如Kummer判别法,Cauchy收敛准则等。前一类判敛法应用起来比较方便,适用范围却较狭窄;而后一类虽然原则上有宽广的适用范围,但往往不便具体应用。本文提出的“和数比较判敛法“适用于较广的范围,在具体应用时也比较灵活、方便;从它可以导出若干别的判敛法和有趣的推论。以下用小写字母a_n,b_n,c_n,d_n记无穷级数的通项,对应的大写字母记其前n项之和,例如: A_n=α_1+α_2+…+α_n,D_n=d_1+d_2+…+d_n等等。记号B_n(?)A_n读作“B_n优于A_n”,且与记法A_n(?)B_n等价,它的含意是     

一类非负函数无穷积分收敛性的刻画

针对无穷积分教学的需要,在利用随机理论的重要概念——失效函数来刻画出非负函数的递减趋于坐标横轴程度的基础上,运用一般推理方法及无穷积分敛散性的比较判别法,得到了一类非负函数的无穷积分敛散性的较为简便而有效的判别方法.     

Stieltjes积分在微积分教学中的应用

初学者在学习微积分时,容易对分部积分法、Abel判别法、Dirichlet判别法、积分第二中值定理等形式相近的内容产生混淆疑惑.Stieltjes积分能对这些内容作统一的处理,并给出十分直观的几何解释.     

正、余弦函数无穷乘积展开式的两个应用

通过对正、余弦函数无穷乘积展开式先取对数,再求导或再积分的方法,可获得两类无穷级数的和以及两类积分的无穷级数表示.     

关于无穷级数求和的研究

本文研究了无穷级数求和的问题.利用拉阿伯法、柯西法和库麦尔法等判别收敛,得到了用其部分和近似级数和的误差界对.     

反常积分敛散性的对数判别法

给出一个判别无穷限反常积分敛散性的对数判别法,并通过实例说明其应用．     

关于无穷级数逐项积分和逐项求导的一个注记

无穷级数的逐项积分或逐项求导一般要求原级数或未导后所成级数是一致收敛的，若此条件不满足，而逐项积分或逐项求导后的级数收敛，则它是否收敛到原级数和的积分或导数呢？这是个有趣的问题，其结论是不一定。下面举例说明之。例1考察级数1°容易验证（1）收敛但非一致收敛：．这说明（1）并非一致收敛到0．2”级数（l）逐项积分后所成级数收敛；3”显然IS（王川X学1，即逐项积分后的级数并非收敛到原级数和的积分。例2考察级数l”容易验证（2）收敛但非一致收敛：说明（2）并非一致收敛到0．2”级数（2）逐项积分后是收敛的：3”显然DS…     

判别P—级数敛散性的新方法

对换P——级数敛散性的讨论,在教科书上[1]、[2],都是用比较判别法或积分判别法,前需要参照物,后则需要微积分作为工具,本给出一种新的差别方法,即利用P——级数的部分和是否有界来判别。这种方法比较简单、直观。     

关于Dirichlet判别法的必要条件

本文研究了 Dirichlet判别法的必要条件 ,建立新的 Dirichlet型判别法 ,并指出 Dirichlet型判别法不可能有完全意义下的充要条件     

无穷区间广义积分的根-比判别法

对无穷区间广义积分的审敛性判别法进行了推广,结合根值判别法和比值判别法,提出了根-比判别法,证明了相关定理.最后通过若干例子验证了根-比判别法的有效性.