一道趣题的通俗解法

<正>在一些数学资料中常出现类似于这样的趣题:"森林之王狮子命令100个小动物站成一排,按序报数,凡报奇数的动物出列.剩下的动物再按序报数,报奇数的仍然出列……如此反复,最后留下的一个动物作为狮子的美餐.问:最后留下的一个动物在第一次报数时报的     

解排列组合题的十二个策略

由于排列、组合应用题条件千变万化,应用形式广泛,具有条件隐晦、思维抽象且数值较大、不易验证等特点.因而在解题时要做到排、组分清,加乘辨明,避免重漏,多解验证. 一、特殊要求优先考虑 例1用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有() A.24个 B.30人 C.40个 D.60个 解析:因为是三位偶数,则个位必须是特殊元素2或4,要优先考虑,有两类情况;其他两位从剩下的四个数中选排,故有2·A24 =24个,即应选A. 例2从10人中选4人排成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾,有多少种站法?     

“或”与“且”一样

题:7人站成一排,其中甲不在排头或不在排尾的排法共有多少种? 解:因甲不在排头或不在排尾,故只能在中间五个位置之一。第一步先排甲有P(1/5)种,第二步再将剩余的六个位置排除甲外的6人有P_6~d种,据乘法原理所求排法种数为P_5~1P_6~6=3600注意:甲不在排头且不在排尾的排法,也是P_6~1P_6~6种,这岂不是“或”与“且”一样吗?     

也谈“装错信封问题”

颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文 (见《数学通报》2 0 0 0年第 6期ｐ .3 5 ) ,给出了该经典问题的一个模型和求解公式 :编号为 1 ,2 ,… ,ｎ的ｎ个元素排成一列 ,若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同 ,则称这个排列为ｎ个不同元素的一个错排 .记ｎ个不同元素的错排总数为ｆ(ｎ) ,则ｆ(ｎ) =ｎ !1 - 11 ! 12 !- 13 ! … (- 1 ) ｎ 1ｎ !.(1 )本文从另一角度对这个问题进行一点讨论 .1　一个简单的递推公式ｎ个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成 :第一步 ,“错排”1号元素 (将 1号元素排在第 2至第ｎ个位置之…     

新题征展(56)

A　题组新编图 11 .如图 1 ,在由二项式系数构成的杨辉三角形中 :( 1 )在从上往下的 n( n∈N* )行数中非 1的数字之和为;( 2 )在斜线 AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形数列 :1 ,2 ,3 ,3 ,6,4 ,1 0 ,… ,记其前 n项和为 Sn,则 S1 6=;( 3 )第行中从左向右第 1 4与第 1 5个数的比为 2∶ 3 ;( 4)在第行中出现三个相邻的数它们的比是 3∶ 4∶ 5 .2 .( 1 ) 4名男学生、3名女学生排成一排 ,3名女学生中恰有 2名相邻的排法有多少种 ?( 2 )一条连椅有 7个座位 ,4人就坐 ,3个空座位中恰有 2个连在一起的坐法有多少种 ?( 3 )在 7枪连续射击中 ,命中…     

排列組合应用問題教学中的一点体会

在高中代数中,排列、組合是同学感到較难接受的課題。其主要原因是:(1)排列、組合和前面所学的內容在性貭和方法上都截然不同;(2)比較抽象;(3)答数一般都較大,难于检驗。这里,我提出个人在排列、組合应用問題教学中的一些体会。 (一) 如果对同一題目能給出多种不相同的解法,这不但能丰富同学考虑問題的思路和提高其解題的技能、技巧,而且能激起同学积极思考,取得良好的教学效果。例1.用0到9这10个数字可以組成多少个沒有重复数字的三位数?(課本中的例5) 解題之前,可在黑板上記下符号×△△,用以表示3个位置,根据題意可知数字0不能排在位置×上。解法1.从0以外的9个数字中,每次取出1个排在位置×上有A_9~1种方法,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上有A_9~2种方法,故可組成A_9~1A_9~2个沒有重复数字的三位数。解法2.从这10个数字中每次取出3个排在这3个位置上,有A_10~3种排法,其中数字0排在位置×上,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上的排法有A_9~2种,故可組成A_(10)~3-A_9~3个沒有重复数字的三位数。解法3.从0以外的9个数字中,每次取出3个     

列表格,算两次——介绍sum from m=1 to n (m~k)的一种算法

高中数学第三册(选修Ⅱ)数学归纳法一节,要求证明下列恒等式:12 22 … n2=16n(n 1)(2n 1);13 23 … n3=14n2(n 1)2.有同学问,这类等式是如何得到的?14 24 … n4=?.一般地当k∈N 时,1k 2k … nk是否可以求得?这是一类很有趣的问题,计算方法也很多.本文介绍一种简便算法,供大家参     

一堂作业评讲课

针对排列与组合这节教学内容的特点,我们除进行常规讲练外,还开设作业评讲课。教师把从学生作业中收集到的典型错误解答用投影仪依次投影到屏幕上,请全班学生逐一考虑每一解答是否正确?如不正确,试分析错误原因,并考虑如何修正错误解答一般尽可能让解答者回答上述问题,教师适当地点拨、归纳。 1.三名男生和三名女生站成一排,任何两名男生不相邻,任何两名女生也不相邻,共有多少种排法? 解:先让3名男生站成一排,再让3     

对《新题征展(103)》第5题的研究

笔者发表于<新题征展(103)>[1]的第5题是一道数学趣题: 　　我们知道,n!=1×2×3×...×n.现在从m=1!×2!×3!×...×100!中的100个因数中去掉一个因数,使剩下的积为完全平方数,问应去掉哪一个因数呢?(找出一种方式即可)……     

有趣的数表与数阵问题(中)

<正>下面再讲几个数阵问题,它们的难度较大,这更能激发我们的探知欲,提升我们的数学思维能力.例5下表给出一个"等差数阵":其中每行、每列都是等差数列,a_(ij)表示位于第i行第j列的数.(1)写出a_(45)的值;(2)写出a_(ij)的计算公式;(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2 N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.     

排列中部分元素定序问题的处理方法

请看下面三道题目: 题1 三名男生与四名女生站成一排,若男生要按从高到矮的顺序排列(设三名男生身高各不相同),共有多少种不同的排法? 题2一张节目单中原有6个节目.若保持这些节目的相对顺序不变,再添加3个节目,则不同的添加方法有多少种?     

对有趣的“方中排圆”问题的补注

《中学生数学》2012年第2(下)期刊载了郑泉水老师的文章:"有趣的‘方中排圆’问题",文中提出的问题是:在一个边长为10cm×10cm的正方形中,排列直径为1cm的小圆,使所有的小圆都相切,问最多能排列多少个?郑老师给出的结论是:最多能排106个,共排11排,其中第1-3排每排排10个,第4排9个,第5排10个,第6排9个,第7排10个,第8排9个,第9排10个,第10排9个,第11排10个.笔者读了此文深受启发,同时也产生了对     

在高中新课程数学教学中培养学生合情推理能力的探索

1问题的提出(2009年福建高考数学理科第15题)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;     

漫画趣题

选自《超时空数学之旅》漫画趣题答案第一题有三种排法 :第一节第二节第三节第四节( 1 )数学语文外语体育( 2 )数学外语语文体育( 3 )外语数学语文体育第二题甲桶有水 5升 .第 1次倒水后 ,两桶中的水一样多 ,都是1 0× 12 =5(升 ) ;第 2次 ,从乙桶倒出的水是 5×13 升 ,这时甲桶内有水 5× ( 1 +13 )升 ;第 3次 ,甲桶倒入乙桶的水是 5× ( 1 +13 )× 14=5×43 ×14=5× 13 升 ,恰好等于第 2次乙桶倒入甲桶的水 .这说明 ,经过 2、3两次 ,两只桶里的水又一样多了 .这中间的规律是 :从第 2次起 ,乙桶倒入甲桶的水 ,总是和下一次从甲桶倒回乙桶…     

再谈利用高斯求和算法解竞赛题

本刊 2 0 0 0年第 3期上梁林老师的文章“高斯算法在解题中的应用”是一篇好文章 ,读了很受启发 .下面再举几例 ,以说明这一算法在解赛题时的应用 .例 1　把 1 0 0个苹果分给若干个人 ,每人至少分 1个 ,且每人分的数目各不相同 ,那么至多有人 .( 1 998年全国初中数学联赛试题)解由题意 ,设有ｎ人 ,分苹果数分别为 1 ,2 ,… ,ｎ .1 + 2 + 3 +… +ｎ =ｎ(ｎ + 1 )2 ≤ 1 0 0 .∴　ｎ≤ 1 3 ,因此至多有 1 3人 .例 2　计算 1 990 2 - 1 9892 + 1 9882 - 1 9872 +… +2 2 - 1 2 . (第三届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题 )解　原式　 =( 1 990 +…     

排列组合中的插入法

在排列组合中 ,插入法是解决不相邻问题的特定方法 .但当约束条件不同时 ,问题又会呈现出不同的特点 ,往往容易引起混淆 .　　一、插入元素与非插入元素均顺序不定例 1　 1 0个人站成一排 ,其中甲、乙、丙三人两两不相邻且不站两端 ,问有多少种不同的站法 ?分析　除甲、乙、丙外的七个人有Ｐ77种站法 ,七个人之间有 6个空档 ,插入甲、乙、丙有Ｐ36 种方法 ,所以所求的站法数有 :Ｐ77·Ｐ36 =1 0 0 80 0种 .　　二、插入元素顺序不定 ,非插入元素顺序例 2　一排有 1 0个具有编号的座位 ,3个人来坐 ,都不坐两头且两人之间至少有一个空位 ,问有…     

場站布局的一个数学問題

設某煤矿区有n个矿井,年产量分别为a_1,a_2,…,a_n(万吨),欲在这个矿区选定一个集煤站,使各井的煤运到此处集結后再运往鉄路編組站,要求确定集煤站的最佳位置。先考虑这个問題的数学表示。假設Q为集煤站的最佳位置。将編組站看做是第(n 1)号矿井,設各矿井到Q的距离分别为,r_1,r_2,…,r_n,r_(n 1)(公里)。于是問題可这样提出:在平面上找一点Q,使函数     

关于排列、组合应用题的十四种解法

排列组合的应用问题具有内容独特、解答时易重易漏、得数不易检验等特点 .下面从不同角度给出几种常见解法 ,供大家参考 .1　元素受限法　优先考虑 (先排 )受限特殊元素、后排非受限元素的方法 .例 1　从 0— 9十个数字中 ,可以组成多少个没有重复数字的四位数 ?解　先考虑受限元素“0” .①不含有数字“0” ,有A49个 .②含有数字“0” ,则先排 0不能在首位 ,有 3种方法 ,再在非“0”的另外 9个数中选 3个排列 ,有A3 9种方法 ,故共有A49+3A3 9=4 5 36个 .2位置受限法　从特殊受限位置入手先排 ,再排非受限位置 .例 2　从 8人中选 3人站成…     

2004年高考湖北卷的一道题的来龙去脉

2004年高考湖北卷数学第11题(以下简称"＇04题");已知平面α与平面β所成的二面角为80°,P为α,β外一定点,过P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题(以下简称为＇93题):已知异面直a与b所成的角是50°,P为空间     

关于一个排队问题的议论

本文讨论数学竞赛一个题目的解法。接着谈到它的推广及应用背景,并指出这一问题的内涵,引至目前尚未彻底解决的一个重要问题——阿达玛猜想。一、北京市一九八八年中学生(高中一年级)数学竞赛第五题: 男女同学数名(都有足够数量)按如下要求排成8×8的方阵队形,第一行与第一列都站的是男同学,其它位置排法要求: 1°任何两行(两列之中,同列(同行)对应