一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…     

2006年高考数学四川卷

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B=A.|x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2相似文献   

九年级数学(华东师大版)第一学期期中自测题

A组一、选择题1.下列各式中,正确的是().A.(12)-3=8B.a3÷a2=a5C.a2+a3=a5D.(-2a3)-3=6a-92.若分式x2+x-6x2-4的值等于零,则x的值是().A.2或-3B.3或-2C.2D.-33.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于().A.45°B.90°C.135°D.270°4.将方程2-x2-4x+1=3x+1去分母并化简后,得到的方程是().A.x2-5=0B.x2-3=0C.x2-2x-5=0D.x2-2x-3=05.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足是E.如果AB=10,CD=6,那么AE的长为().A.1B.3C.9D.1或96.若x2-9=0,则x2-5x+6x-3的值为().A.1B.-5C.0D.1或-57.如图,四边形ABCD内…     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

九年级数学(北师大版)第一学期期中自测题

一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列命题正确的是().A.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合B.等腰三角形只有两边相等C.等腰三角形底边上的中线上的任一点到两腰的距离相等D.有一个角为45°的等腰三角形是直角三角形2.等边三角形的高为2,则它的面积是().A.2B.4C.43D.4333.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元.如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为().A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000D.200+200×3x=10004.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个…     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

简解一道CMO试题

2001年中国数学奥林匹克(CMO)第一题给定a,2～(1/2)相似文献   

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

课外练习

磷矜苦翻匆 求y eosZx+6eosx+10 3+eosx (0《x(的的值域. (湖南省常德英语实验学校(415000)李晓渊) 2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,。(b护 一B,_ l,卜K一r.石J 八 inC 湍 都是109石x一109。(4x一4)=o的根, 散 试判断△ABC的形状. (浙江省永康市第一中学(321300)陈成楼) 3.己知凸四边形ABCD的边长分别为AB一2,BC一 6,CD~DA~4.求四边形ABCD的最大面积,并指 出何时四边形ABCD的面积最大. (浙江省湖州市双林中学(313012)李建潮) 礴霎跳鬓犷一服粼伽尹,饭 麟 脆芭组荃】 1.已知正方体ABCD一A,B‘C‘D‘中,棱长为1,求直…     

关于空间四边形两条对角线所成的角

【问题的提出】我们知道,如果任意一个平面四边形ABCD的两条对角线AC、BD的夹角为θ(θ°<θ≤90°),那么cosθ=|(AB~2+CD~2)-(BC~2+DA)~2/2AC·BD|*(运用余弦定理即可证得,证明从略) 如果将“平面四边形”改为“空间四边形”这个公式是否仍然成立?回答是肯定的。即:已知空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD(异面直线)所成的角是θ(θ°≤90°)那么cosθ=|(AB~2+CD~2)-(BC~2+DA~2)/2AC·BD|(*)     

巧用对偶式解三角题

在三角运算求解与证明中 ,有些三角函数式隐含着对称的结构和意义 ,在解答这些题目时 ,若能挖掘出潜在的对称性 ,充分利用对称性原理 ,通过构造一组对偶式来解题 ,能达到一种曲径求捷的解题效果 .例 1　求sin1 0°sin30°sin50°sin70°.解　利用对称思想 ,构造一组对偶式 (积式配偶 ) .设A =sin1 0°sin30°sin50°sin70° ,　B =cos1 0°cos30°cos50°cos70°,则A·B =11 6 sin2 0°sin6 0°sin1 0 0°sin1 4 0°=11 6 cos1 0°cos30°cos50°cos70°=11 6 B .∵B≠ 0 ,∴A =11 6 .即sin1 0°sin30°sin50°sin70° =11 6 .例 2　求si…     

2005年高考数学全国卷Ⅱ

一、选择题 (l)函数f(x)一J。inx+Cosxl的最小正周期是 (B)y二一丫(x+z)“(x)一l) (C)夕二丫(x+1)“(x)o) (D)y二一了(x十1)3(x)0) (A,晋(B,晋(C,二(D,27r (4)已知函数y~tan二 数,则 (A)0<。蕊1 (C)。)1 在(一要,要)内是减函 、“I (2)正方体ABCD一AIB,Cl DI中,P、Q、R分 别是AB、AD、B,Cl的中点.那么,正方体 的过尸、Q、R的截面图形是 (A)三角形(B)四边形 (C)五边形(D)六边形 (3)函数y一之/刃~一1(x成0)的反函数是 (A)y一了(x+1)“(x)一1) (B)一1(。<0 (D)。(一1 (5)设·、。、·、、。R,若黯为实数,则 (A)bc+ad共0 (C)b…     

初三几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共24分)1.sin54°,cos35°,cos40°,tan50°从小到大的排列顺序是.2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,且tanA>1,那么∠A的取值范围是.3.如图,矩形ABCD中(AD>AB),AB=a,∠BDA=Q,作AE交BD于E,使AE=AB.试用a和Q表示AD=,BE=.4.已知tanA-cotA=2,那么tan2A+cot2A的值是.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD则sin∠ACD=,tanA=.6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A的平分线交BC于点D,AD=43,则BC=.7.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,上底CD=3,下底AB=7,BC=42,则底角B=,梯形ABCD的面积=.8.甲…     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

四边形中的趣味竞赛题(下)

<正>例9在任意给定的凸四边形ABCD中,边AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G和H.求证:四边形ABCD的面积≤EG×HF≤1/2(AB+CD)×1/2(AD+BC).证明如图11所示,HE∥DB∥GF,又EF∥HG,所以EFGH为平行四边形.S_(ABCD)=S_(EFGH)+S_(△AEH)+S_(△DGH)+S_(△CGF)+S_(△BEF),而S_(△AEH)+S_(△CGF)=1/4(S_(△ABD0)+S_(△CBD))=1/4S_(ABCD).同理可证S_(△DGH)+S_(△BEF)=1/4S_(ABCD),所以S_(ABCD)=S_(EFGH)+1/2S_(ABCD),     

2004年中考数学模拟试题(3)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列各数中 ,是负数的是 (　 ) .A . -( -1 )　　　　B .( -2 ) 2C .( -1 ) 2 　D . -|-2 |2 .下列运算中正确的是 (　 ) .A .|-a|=a　　B .a2 ·a3 =a6C . a2 =aD . -( -a) 3 =a33 .已知角α的余角是 3 2°7′,则角α等于 (　 ) .A .1 44°5 3′　B .5 7°5 3′C .5 7°3′　D .1 44°3′4.如图 ,AB是⊙O的直径 ,AC是弦 ,CD切⊙O于C ,交AB的延长线于D ,若弧BC的度数为 40°,则∠D的度数为 (　 ) .A .5 0°　　　B .40°C .3 0°　　　D .2 0°5 .抛物线y=-x2 +4x-2的顶点坐标是 (…     

四边形内角和定理的证明

凸四边形内角和定理证明的基本思路是利用化归法,将四边形转化为三角形,然后利用三角形内角和为180°,达到证明的目的,而这种证明思路正是研究四边形,乃至多边形的基本方法.现列举几种不同证法如下. 四边形内角和定理:四边形的内角和为360°. 已知:四边形ABCD, 求证:∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 注:为书写简便,记三角形内角和为∑,     

椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法

如图,已知椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A、B、C、D是椭圆上四点,求四边形ABCD面积的最大值.我们的习惯思维是连结对角线AC或BD,将四边形ABCD的面积转化为两个三角形面积之和,从而建立四边形ABCD面积的目标函数,再求面积的最大值.但是,因为涉及     

巧解几道三角函数式的求值题

1.巧用解析几何知识例1求(sin70°-sin170°)/(cos70°-cos170°)的值.解如图1,在单位圆x2+y2=1上取点A(cos70°,sin70°)和B(cos170°,sin170°),设AB的中点为M,则OM⊥AB,∠MOx=70°+(170°-70°)÷2=120°,∴kOM=tan120°=-3~(1/2),原式=kAB=-(kOM)/1=3~(1/2)=3~(1/2)/3.     

数学问题解答

20 0 3年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 42 1　锐角△ABC中 ,求证 :cos(A -B) ·cos(B -C)·cos(C-A)≥ 8cosA·cosB·cosC .(安徽省南陵县工山二中　邹守文　2 42 41 8)证明　在三角形中有恒等式 :tanA·tanB·tanC =tanA+tanB+tanC .所以cos(B-C)cosA =sinBsinC+cosBcosCsinBsinC-cosBcosC=tanBtanC+1tanBtanC-1=tanAtanBtanC +tanAtanAtanBtanC -tanA=2tanA+tanB+tanCtanB+tanC同理cos(C-A)cosB =tanA+2tanB +tanCtanA+tanCcos(A -B)cosC =tanA +tanB+2tanCtanA +tanB令　x =2tanA+tanB+tanC ,　y =t…