随机图中[k,k+1]-因子的存在性

设G=G(n,p)是一个随机图,其顶点数为n,任两个顶点之间有边相关联的概率为p=p(n),k是一个正整数满足knp-2(nplogn)~(1/2).图G的—个支撑子图F称作是图G的—个[k,k+1卜因子,如果对任一个x∈V(G),都有k≤dF(x)≤k+1.我们证明任意满足p≥n~(-2/3)的随机图G(n,p)几乎一定包含[k,k+1]-因子.     

关于稀疏图彩虹连通数的注记

一个边染色图G称为彩虹连通图如果图G中任意两个点有一条边染不同颜色的路相连.连通图G的彩虹连通数是使图G彩虹连通需要的最小颜色数,记为rc(G).我们依据Caro和Chakrabortyet等人的思想,研究了稀疏图的彩虹连通数,并得到了一些推广性的结果.我们证明了对于k≥2且G是一个阶为n有最小度δ(G)≥n/2-1+log_k n或最小度和σ_2(G)≥n-2+2log_k n的非完全图,那么rc(G)≤k.我们也研究了非完全偶图中rc(G)≤k的邻域条件,以及直径为2的图中rc(G)≤k的最小度条件.     

图K_(2n)\E(F_4)(n≥12)的点可区别边染色

对简单图G(V,E),设f是从E(G)到{1,2,…,k}的映射,k为自然数,如果.f满足:1)对任意的uv,uw∈E(G),v≠w,有.f(uv)≠f(uw);2)对任意的u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v).则称f为图G的k-点可区别边染色法,而最小的k被称为点可区别边色数(其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)}.研究了图K_(2n)\E(F_4)(n≥12)的点可区别边色数.     

循环图C_(2n)(1,(2n+1)/3)的匹配可扩性

称图G是k-偶匹配可扩的,是指G的每一个基数不大于k(1≤k≤(|V(G)|-2)/2)的偶匹配M都可以扩充为G的一个完美匹配.根据循环图的性质研究了图C_(2n)(1,(2n+1)/3)的匹配可扩性,证明了对于任意的n(n≥4),C_(2n)(1,(2n+1)/3)是3-偶匹配可扩的.     

关于交叉数为2的联图

确定图的交叉数是NP-完全问题.Kuratowski定理刻画了平面图的结构特征,而对于交叉数为k(k≥1)的非平面图G的结构特征刻画,目前相关结果甚少.对于交叉数为1的联图G_1∨G_2,我们已经刻画出因子图G_1和G_2满足的充要条件.本文刻画了当△(G_2)≠3且cr(G_1∨G_2)=2时因子图G_1和G_2须满足的充要条件.     

偶数阶W(4,n)的κ-边优美的图标号

设k是一个非负整数,G是一个p点q边图.如果将G的边用k,k+1,k+2,…,k+q-1进行标号,而顶点标号模p运算后各不相同,那么称图G是后一边优美的.记EGI(G)是所有满足G是k-边优美的k的集合,称EGI(G)是G的边优美指标集.主要是研究n为偶数时W(4,n)的边优美指标集.     

Some results associated with the longest run in a strongly ergodic Markov chain

This paper discusses the asymptotic behaviors of the longest run on a countable state Markov chain.Let {Xa} a∈Z + be a stationary strongly ergodic reversible Markov chain on countablestate space S = {1,2,...}.Let TS be an arbitrary finite subset of S.Denote by Ln the length of the longest run of consecutive i's for i∈T,that occurs in the sequence X1,...,Xn.In this paper,we obtain a limit law and a week version of an Erds-Rényi type law for Ln.A large deviation result of Ln is also discussed.     

关于图的点可区别边染色猜想的一点注

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别的是指任意两点的点及其关联边所染色集合不同,所用最少颜色数被称为G的点可区别边色数,张忠辅教授提出一个猜想即对每一个正整数k≥3,总存在一个最大度为△(G)=k≥3的图G,图G一定有一个子图H,使得G的点可区别的边色数不超过子图的.本文证明了对于最大度△≤6时,猜想正确.     

包装{(p,p-1),(p,p)}图对和 Slater 问题

设 G 是一个简单无向图.V(G),E(G)分别表示 G 的顶点集和边集.(?)表示 G 的补图.我们以 S_(?) 表示 n 1阶星图 k_(1,n-1).称 G 是(p,p—k)图,如果|E(G)|=|V(G)|—k.称|V(G)|为图 G 的阶.设 G_1,G_2是同阶图,(?)_1是 V(G_1)到 V(G_2)的一个双射,(?)_2是 V(G_2)上的一个置换,我们用(?)_2(?)_1表示 V(G_1)到 V(G_2)的双射,其作用为     

关于图的点可区别边染色的一个猜想

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别的是指任意两个不同点的点及其关联边所染色集合不同,所用最少染色数被称为G的点可区别边色数,张忠辅教授提出一猜想即对每一个正整数k≥3,总存在一个最大度为△(G)=k≥3的图G,,满足图G一定有一个子图H,且母图的点可区别的边色数小于子图的.本文证明了对于最大度小于9时,此猜想正确.     

图的全控制数和匹配数的可比较性

设tγ(G)为G的全控制数.证明了:(1)对广义θ-图G,tγ(G)≤α(G) 1;(2)对任意k-正则无爪图G,k≥3,有tγ(G)≤α(G).这里α(G)表示G的匹配数.作为结果(2)的推论,对k-正则无爪图(k≥3),证明了Favaron猜想是成立的.即对最小度不小于3的简单图,有tγ(G)≤12 V(G).此外,举例说明了当图的最小度不超过2时,对一般图而言,匹配数与全控制数不可比较.     

几类特殊Corona图的b-染色数与b-连续性研究

在一个图G的正常k染色中,如果每一个颜色类中都至少存在一个顶点,使得其在其它的k-1个颜色类中都至少有一个邻居,则称这样的正常k染色为b-染色.一个图G的b-染色数是最大的正整数k,使得用k种颜色能够对G进行b-染色,用b(G)来表示.如果对于任意的正整数k:χ(G)≤k≤b(G),用k种颜色可以对图G进行b-染色,则称图G是b-连续的.设G1与G2为任意图,称图G=G_1·G_2为图G_1与G_2的Corona图,其中G包含G_1的一个拷贝,包含G_2的|V(G_1)|个拷贝,且G_1的第i个顶点与G_2的第i个拷贝的所有顶点都邻接.研究了路图与路图、星形图以及轮图所构成的Corona图P_n·P_m、P_n·K_(1,m)以及P_n·W_(m+1)的m-度,b-染色数与b-连续性.     

包含圈的一些Ramsey数

用两种颜色,比如红和蓝,给完全图K_n的边着色.把着红色和蓝色的边集分别记为E_1和E_2,把K_n的边集分别是E_1和E_2的生成子图分别记为R和B,那么称R和B是K_n的一个分解,记为K_n=R⊕B.图G_1和G_2的Ramsey数,记为r(G_1,G_2),是使得K_n的任意一个分解K_n=R⊕B有R(?)G_1或B(?)G_2的最小正整数n.这里符号G(?)H表示图G包含子图H.此外,用C_n表示长为n的圈,GVH表示图G和H的联图.K_n表示n个相互独立的点,B_n指联图K_2     

具有大的奇围长的符号图的圆环染色（英文）

图G的一个圆环r-染色(r≥2)是将G的每个顶点v对应到一个周长为r的圆上的点的一个映射f,使得对于G中任意的边xy,f(x)和f(y)在圆上的距离不小于1.G的圆环色数χ_c(G)是G存在圆环r-染色的最小实数r.符号图的圆环染色和图的圆环染色基本相同,不同的是对于负边xy,我们要求f(x)和f(y)的对点在圆上的距离不小于1.符号图(G,σ)的圆环色数是使得(G,σ)在圆环r-染色的最小实数r.本文证明:对于任意正整数k和实数ε> 0,存在整数g使得对于任意树宽至多为k的符号图(G,σ),如果(G,-σ)的负围长至少是g,那么(G,σ)的圆环染色数至多是2+ε.     

广义分数可扩图

研究一类广义分数可扩图即分数(n,k,d)-图的性质.图G是分数(n,k,d)-图即删去G的任意n个顶点后的剩余子图G′含有k-对集,且G′的任意k-对集都可扩充成G′的分数亏格-d对集.得到了分数(n,k,d)-图分别添加边和顶点的一系列递推关系.     

几类图的拉普拉斯特征值的前三项和的上界

设G是一个顶点集为V(G),边集为E(G))的简单图.S_k(G)表示图G的拉普拉斯特征值的前k项部分和.Brouwer et al.给出如下猜想:S_k(G)≤e(G)+((k+1)/2),1≤k≤n.证明了当k=3时,对边数不少于n~2/4-n/4的图及有完美匹配或有6-匹配的图,猜想是正确的.     

一类二分图的k-匹配数

设G是一个具有二分类(X_1,X_2)的简单偶图,|X_1|=|X_2|=n,如果对于给定的c>0,|M(S)|≥(1+c)|S|对任意满足|S|≤n/2的S(?)X_i(i=1,2)都成立,其中N(S)是S的邻集,则称G是(n,c)-扩张图.给出了(n,c)-扩张图的k-匹配数与完美匹配数之比的顺从界.     

若干并图的优美标号

证明了,对任意大于1的自然数m,n,p,非连通图(■ V ■)∪K_(n,p)是优美图;当k≤p,m=kn+3或m=kn+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(n,p)是优美图;当p≥2,m=3k+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(3,p)是优美图;对任意正整数n,p,非连通图(P_1 V P_(2n+2))∪_(n,p)是优美图.     

随机图的广义3-连通度

图的广义连通度的概念是由Chartrand等人引入的.令S表示图G的一个非空顶点集,κ(S)表示图G中连结S的内部不交树的最大数目.那么,对任意一个满足2≤r≤n的整数r,定义G的广义r-连通度为所有κ(S)中的最小值,其中S取遍G的顶点集合的r-元子集.显然,κ_2(G)=κ(G),即为图G的顶点连通度.所以广义连通度是经典连通度的一个自然推广.本文研究了随机图的广义3-连通度,证明了对任一给定的整数k,k≥1,p=(log n+(k+1)log long n-log lon logn)/n是关于性质κ_3(G(n,p))≥k的紧阈值函数.我们得到的结果可以看作是Bollobas和Thomason给出的关于经典连通度结果的推广.     

The Erds-Sós Conjecture for Graphs Whose Complements Contain No C_4

Erds and Sós conjectured in 1963 (see [1],Problem 12 in 247) that every graph G on n verticeswith size e(G)>1/2n(k-1) contains every tree T of size k.In this paper,we prove the conjecture for graphswhose complements contain no cycles of length 4.