一道高考题的另解与推广

文[1]利用圆锥曲线的定义解决了2010年高考全国卷I理第16题,读后很受启发．本文给出此题的另解,并将焦点一般化,给出与椭圆焦点、焦半径比、直线斜率有关的一类试题的推广．     

圆锥曲线离心率的统一性质及其应用

<正>在教学中,笔者发现圆锥曲线过焦点的弦所在直线的斜率k,以及焦点内分弦的两个焦半径所成的比值λ,与圆锥曲线的离心率e有一个关联的性质,此性质能让我们快速、高效地解决一类关于圆锥曲线的离心率问题,供大家学习参考.性质1设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、     

圆锥曲线“准点”的又一个性质

圆锥曲线准线和对称轴的交点叫做准点.文[2]在文[1]的基础上推出了几个十分新颖的性质,其中定理1是:F是横向型圆锥曲线焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率是k的直线交圆锥曲线于A,B两点,e是圆锥曲线的离心率,若     

圆锥曲线的焦点弦问题探究

圆锥曲线的焦点弦问题是近几年高考的热点之一,往往涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量共线）、焦半径和焦点弦长等有关知识.本文以2014年高考全国卷II文理第20题为载体,利用圆锥曲线的统一定义求解本题的第（Ⅱ）问,推导出两个重要性质,并例举历届高考试题加以应用,供同行参考.     

圆锥曲线又一统一性质的再推广

文[1]介绍了圆锥曲线的一个统一性质：经过圆锥曲线通径PQ的一个端点作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M、N,则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线.文[2]放弃了弦PQ过焦点这一限制条件,将之推广为：性质经过圆锥曲线任意一条与对称轴垂     

圆锥曲线动弦的“保值性”

圆锥曲线的许多性质不仅优美而且和谐.文[1]得到了圆锥曲线中关于动弦的性质1.性质1过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA、PB,当这两弦的斜率之积、斜率之和或者倾斜角之和三者中有一个为定值时,动弦AB所在直线过定点或有定向.     

例说高考解析几何试题常用的求解途径

众所周知 ,解答解析几何问题过程的繁简程度 ,往往受制于解题途径的选择 ,笔者在近几年高考阅卷中发现 ,有不少考生因选择解题方法不当 ,而导致解答过程繁杂、计算量大 ,甚至半途而废 .本文笔者根据自己体会 ,结合近年来高考试题 ,就解答解析几何试题常用的求解途径例释如下 ,供参考 .1　运用定义或焦半径公式　处理解析几何中与圆锥曲线的焦点或准线有关的问题时 ,逆用圆锥曲线定义或运用焦半径公式 ,往往会出奇制胜 ,得到独特的解法 .例 1　 (1998年全国高考题 )如图 ,直线ｌ1和ｌ2 相交于Ｍ ,ｌ1⊥ｌ2 ,点Ｎ∈ｌ1,以Ａ ,Ｂ为端点的曲线段…     

介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式

我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过点P的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时,经常需要计算焦半径的长,且"工程量"往往较大;如何简化其计算过程,缩短解题长度是大家共同的心愿.本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计算公式,供大家参考.     

巧用椭圆的焦半径公式解题

<正>我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过P点的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题,需要计算焦半径的长,往往计算量很大,如何简化运算过程,缩短解题长度是我们的想法,本文试图从椭圆焦半径的角度来解答高考题.     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线焦点弦三角形面积公式及其最值

<正>圆锥曲线焦点三角形面积的计算往往采用韦达定理,尤其是最值问题,求导计算量大,一直为多数学生所诟病,本文另辟蹊径,巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点三角形面积公式,并结合均值不等式或对号函数推论对其最值进行研究,供广大师生们阅读.1圆锥曲线焦半径公式与焦点弦公式设直线l过焦点F且交圆锥曲线于A,B两点,不妨设| AF |> |BF|,     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

也谈直线方程x=my＋n的简单运用

文[1]指出：设直线方程x=my＋n是为避免讨论直线斜率的存在性及复杂的运算．笔者认为这只是表面现象,而其数学本质在于直线方程与圆锥曲线方程消元的选择,以达到化二维距离为一维距离的目的．先看例1的两种解法．     

解析几何中距离问题的优化策略

纵观近十年的高考解几综合题 ,不难发现与两点间距离有关的问题频频出现 ,常考常新 .由于这类问题综合程度大 ,对考生提出了较高的能力要求 ,致使许多人望而生畏 ,中途却步 .究其原因 ,关键在于他们不善于把题中的信息进行迁移 ,不会把问题进行转化 ,而只会使用两点距离公式 ,导致运算量大 ,求解过程繁杂冗长 ,迫于无奈而舍弃 .本文给出有关距离问题的若干优化策略 .1　运用定义或焦半径公式遇到圆锥曲线上的点到焦点的距离这类问题 ,逆用圆锥曲线的定义或直接运用焦半径公式 ,往往会获得独具特色的简捷解法 .例 1　 ( 1999年全国联赛试题 )…     

对一道重庆预赛试题的深入探究

题目(2018年全国高中数学联赛重庆赛区预赛第9题)设椭圆C的左,右顶点为A(-a,0),B(a,0),过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BQ的斜率分别为k₁,k₂.试证:k₁/k₂为定值,并求此定值(用a的函数表示)在文[1]中,代银老师将结论推广到一般的圆锥曲线,在文[2]中,刘南山老师将焦点F变为在x轴上的任意点.     

关于圆锥曲线焦半径的两类公式

圆锥曲线上一点与其焦点的连线叫做焦半径．与它有关的问题是各类考试的热点之一,故在圆锥曲线学习中,值得我们总结与研究,为此,本文介绍两类焦半径公式．     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系。受文[1]启发。笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法。现介绍如下：     

圆锥曲线“准点”的几个性质

定义圆锥曲线准线与其对称轴的交点叫做准点,经过准点的直线被圆锥曲线截得的弦叫做准点弦。 准点（准点弦）和焦点（焦点弦）一样，具有许多性质，文[1]介绍了与准点弦有关的几个有趣结论。在它们的启示下，笔者对准点作了深入的研究，又得到了与准点有关的几个性质，现论述如下，供读者参考。     

圆锥曲线的一组有趣性质

文[1]、文[2]研究了圆锥曲线的弦对一些特殊定点张直角的问题,笔者最近对这一问题作了一些探究,得到了一组优美的结论,现介绍如下.定理1已知直线l:mx ny=1,及椭圆:ax22 by22=1.设l交椭圆于P,Q两点.直线OP与OQ的斜率之积为定值λ(O为坐标原点),则1m2-nλ2=a12-bλ2.证设点P(x1,y