基于概率检测组合模型的几何定理证明器

以概率性算法代替传统的确定性算法可快速证明复杂度很高的几何定理,可大幅度提高证明效率.对估算多项式中独立变元次数上界的算法进行了改进,并提出三种统计总体的采集标准,分析两种不同的实例检验方法,结合Schwartz-Zippel定理与统计推断理论,建立概率检测组合模型,并在此基础上采用Maple编程语言实现此快速的几何定理证明器——ProbProver.利用ProbProver证明器可在2秒内证明出代数法较难证明的Five Circles定理.最后给出的多组对比实验进一步表明ProbProver证明器具有明显高效性.     

构造型几何定理及其机器证明系统

Hilbert 机械化定理表明,Pascal 几何中构造型交点定理可以机器证明。1982年,吴文俊教授给出了机械化定理的构造性证法。本文指出,通过添加若干新的构造类型,有更广泛的一类平面几何定理,其机器证明可以按照同样的构造性证法实现,我们称这类定理为构造型几何定理。作者适当调整吴文俊算法的步骤,在 HP1000小型计算机上建立了构造型几何定理的机器证明系统,效率大大提高,从而成功地证明了许多不平凡的几何定理,并且独立发现了相当深入的结果。     

几何代数在定理证明中的消元与化简算法

在符号计算中,最困难的一个地方是中间计算过程的表达式快速膨胀.基于不变量代数的符号几何计算为解决这个困难提供了可能.比如,利用零几何代数证明欧氏几何定理时,就可以给出很短的证明,甚至是单项式证明.中间的证明过程里有很多地方涉及到消元,展开,化简等问题.从程序实现的角度出发,在充分利用零几何代数计算特点的基础上,给出用于机器证明的消元、化简算法.     

关于微分中值定理教学的一点看法

拉格朗日中值定理及柯西中值定理的证明,通常以洛尔定理作为它的预备定理。证明的关键在于构造一个辅助函数。所见到的各种分析课本都是沿用传统的辅助函数,这个函数的引入,主要是借助于几何直观,不妨归类为几何方法,尽管有几何形象,学生接     

正弦定理与余弦定理的关系

一般中学教科书正弦定理与余弦定理都是分别加以证明的。这两个定理之间互有联系。如已证明正弦定理,余弦定理可成为正弦定理的推论。反之,如余弦定理先成立,正弦定理亦可成为余弦定理的推论。因此两者不是独立的。     

平面几何定理的证明教学浅谈

几何课教学的主要内容之一是定理证明的教学。下面从四个方面谈谈定理证明的教学。一、认识定理证明的必要性,明确定理证明的重要性“定理是用推理的方法判断为正确的命题”。也就是说,几何中的定理,只有当它按照逻辑推理被证明之后,才认为成立。对于这点,在初学阶段,学生由于受小学直观几何的影响,对证明的必要性是认识不足的。在教学中,我们应向学生说清楚:定理中所引入的内容、从理论的角度来说,不过是一种猜想,猜想是否成立,必须根据已知定义、公理、定理(正确的命题)用逻辑方法来论证。科学的工作是不能随便的,不能凭感官、不能凭特例来判断的。例如,教     

平面Bzier曲线的凸性定理的一个证明

平面Bzier曲线的凸性定理是计算几何中一个重要的定理.最近,苏步青、刘鼎元在[1,2]中给出了凸性定理的证明. 本文的目的是从Bezier曲线的一阶导矢与二阶导矢的几何作图出发,给出凸性定理的另一个证明.     

建构主义理论下初中数学课堂教学设计

基于建构主义理论,以人教版数学八年级上册中“三角形内角和定理”这一几何证明课为例,引导学生亲身经历探索三角形内角和为180°的过程,了解辅助线在几何证明中的重要性,在探究学习过程中培养学生数学学科核心素养.     

例证法与代数簇的包含关系

1986年,洪加威教授发展吴文俊机器证明理论,提出了一类平面几何定理的例证法,这一方法依赖于 Ritt-吴整序原理和吴文俊教授关于升组不可约分解的构造性理论.我们发现例证法适用于证明所有等式型几何定理,即吴几何中的定理.本文应用吴和洪的方法叙述等式型几何定理的例证法,并考虑代数簇的包含关系.目前的讨论仅停留在理论上,这种方法能否用来证明非平凡的几何定理还有待于进一步研究和尝试.     

如何证明线段相等

<正>在初中几何中,证明图形中线段相等能较好的训练学生几何思维,也是后面学习线段和差倍分关系的基础.本文将从几何证法方面进行归类解析,供读者参考.数学讲究逻辑思维,每个结论的得出都有它的理由.证明线段等也要有它的理论依据.翻看初中阶段所学定理、性质等,能用来证明线     

HPM视角下“三角形一边的平行线性质定理及推论”教学

笔者以问题串的形式,带领学生探讨平面几何中“三角形一边的平行线性质定理及推论”能否用“出入相补原理”证明.师生发现,一方面,“出入相补原理”可以从特殊到一般证明该定理,另一方面,《几何原本》命题1.43和VI.14可以看作由“出入相补原理”推导出的“容直容横原理”的一般情况,欧氏几何是用“面积比”证明该定理,“容直容横原理”是用积来解决,理论上两者异曲同工,但在计算技巧上,中国传统数学更胜一筹.     

基于特征列方法和Wronskian行列式的曲面定理机器证明

将Chou与Gao的关于微分几何中曲线定理机器证明的方法推广到微分几何曲面定理中. 改进了经典的Wronskian行列式, 它可以用于判断微分域中的有限个元素是否在其常数域上线性相关. 基于Wronskian行列式, 可以用代数语言来描述微分几何曲面理论中的几何表述, 进而用特征列方法来证明这些定理.     

微分中值定理的扩展与证明

1.对拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理,从结论的几何意义出发,各列举几种不同几何意义的辅助函数证明定理。2.把拉格朗日中值定理所示的的平面曲线扩展到空间曲线的类似定理及其证明。3.给出拉格朗日中值定理中“ξ”的唯一性和连续性的充分条件,并加以证明。     

面积与几何证明

面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍.我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章.吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙.所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助.此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理.本文对这个方法也做了简单的介绍.     

“弦切角定理”的教学

笔者在《弦切角》一节公开课教学中采取了与教本(初级中学课本几何第二册)不同的证明方法,受到了二十名听课者的一致肯定,下面是教学实录,仅供同行参考。教学内容:初三几何§7.11弦切角课时安排:共分两课时 (第一课时) 教学目的:1.使学生掌握弦切角的定义并能正确判定弦切角; 2.熟练掌握三种情况下的弦切角的证明方法及推论的证明方法; 3.使学生能利用定理及推论进行简单证明; 4.初步培养学生的运动观点。     

巴斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理的一个推论及其应用

在射影几何中有一对著名的定理——巴斯卡定理和布利安香定理 .综合应用这两个定理可以得到一个有益的推论 .有了它可以证明更多的中学几何命题 .推论　设一个简单四线形外切于一个非退化二次曲线 ,通过任一顶点与不相邻的边上的切点的直线和曲线相交于另一点 ,则连接此点和与该顶点不相邻的另一边上的切点的直线 (有两条 ) ,和连接该顶点的相邻两边上的切点的直线 ,以及通过该顶点的对角线四直线共点 .证明　设外切于非退化二次曲线 k的简单四线形的四边 DA、AB、BC、CD上的切点依次是 P、Q、R、S,AS与 k相交于另一点 S′(图1) .因为…     

直观想象素养导向的立体几何教学研究——以“直线与平面平行”为例

《普通高中数学课程标准(2017版)》提出要发展学生的数学核心素养,但在课堂教学中如何培养核心素养仍是一大难题.本研究以新教材立体几何证明的开篇课“直线与平面平行”为例,通过借助几何直观帮助学生认识引入判定定理的必要性,构建几何直观模型发现和论证判定定理与性质定理,尝试将内隐的直观想象核心素养外显化到具体的教学环节中,借助几何直观使抽象问题形象化,构建数学问题的直观模型使复杂问题简单化,从而落实直观想象素养的培养.     

蝴蝶定理及其推广

蝴蝶定理是初等几何中的近代名题，可称为数学殿堂里的一颗璀璨的珍珠．自1985年杜锡录教授介绍到我国以来，不少数学家、数学教育工作者对此作过研究．本文在给出蝴蝶定理的一个简洁证明的基础上研究其推广形式并加以证明．     

加强一个几何定理及其应用的指导

众所周知,圆幂定理是平面几何学中一个极其重娶的基本定理,它在几何证明积几何计算中有着广泛的应用。现行部编初中数学教材把它隐含在讲过相交弦定理、切割定理后练习题中,见《几何》第二册P_3,练习4:根据下图,运用勾股定理证明:(1)弦     

几何定理机器证明三十年

由于传统的兴趣和多种原因,几何定理的机器证明在自动推理的研究中占有重要的地位.自吴法发表至今30年,几何定理机器证明的研究和实践有了很大的进展.对无序几何命题而言,代数方法、数值方法均能有效地判定其真假,面积法(消点法)、搜索法更能生成其可读的证明.几何不等式机器证明的研究,由于多项式完全判别系统的建立,也有了突破.研究领域已由机器证明扩展为包括几何作图在内的一般几何问题的机器求解,并有了实际的应用.