sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ的几何简证

ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ的几何简证２２５２１１江苏省江都市大桥中学党庆寿本文给出恒等式ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｎｉβ的一个几何简证．如图１，△ＡＢＣ为Ｒｔ△，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ在线段ＢＣ的延长线上．...     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定；它们之间一定存在着某种必然的内在联系；事实上，我们有如下的定理；图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角，∠ＡＯＢ＝φ，∠ＡＯＣ＝θ１，∠ＢＯＣ＝θ２，二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α，则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα；略证：如图１，ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ，则∠ＡＣＢ＝α；令ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ；在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ＝ａｓｉｎθ１，ＯＣ＝ａｃｏｓθ１；同理，Ｂ…     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

一个错误命题的反例构造

１９６６年第２期《数学通报》上刊有一篇题为《有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形吗？》（以下简称为《四边形》）的文章,作为数学教师当然知道这是个错误命题,但是文章始终未给出反例的作法．图１其实这个问题并不难解决,下面我们从这个命题的条件分析起．如图１,四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ＝∠Ｃ＝α,ＡＤ＝ＢＣ＝ａ,ＡＢ＝ｂ,ＤＣ＝ｃ,ＢＤ＝ｅ,由余弦定理得　　ｅ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓα,　　ｅ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓα．∴　ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓα　＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓα,ｂ２－ｃ…     

一个体积命题的推广与应用举例

命题：如果一个斜三棱柱的一个顶点上的三条棱长分别为ａ、ｂ、ｃ,这三条棱两两所成的角分别为α、β、γ,那么这个斜三棱柱的体积为ａｂｃｓｉｎα＋β＋γ２ｓｉｎα＋β－γ２ｓｉｎβ＋γ－α２ｓｉｎγ＋α－β２．证明：如图１,设斜三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１,ＡＢ＝ａ,ＡＣ＝ｂ,ＡＡ１＝ｃ,∠ＢＡＣ＝α,∠Ａ１ＡＢ＝β,∠Ａ１ＡＣ＝γ．１Ｃ１ＢＣ′１ＡＡ′Ａ图１ＣＢＢ′在侧棱Ａ１Ａ上任取一点Ａ′,在侧面Ａ１Ｂ内作Ａ′Ｂ′⊥Ｂ１Ｂ于点Ｂ′,在侧面Ａ１Ｃ内作Ａ′Ｃ′⊥Ｃ１Ｃ于点Ｃ′,连结Ｃ′Ｂ′,则截面Ａ′Ｂ…     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１００１已知ΔＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ．试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．证明容易知道在ΔＡＢＣ中成立：（其中ａ，ｂ，ｃ是ΔＡＢＣ的三边长）ａ＝ｂ...     

Wilkins 不等式的推广

书［１］［２］收录了Ｗｉｌｋｉｎｓ的三个奇特结果：对任意△ＡＢＣ（其内角Ａ，Ｂ，Ｃ）有Ⅰ．ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ２≤２９３．仅当Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ１３３时取等号；Ⅱ．ｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ≤１５４（２１３－５）·２１３＋２２，仅当Ａ＝Ｂ＝ａ...     

数学问题解答

１９９８年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１３６设Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α（即α为勃罗卡角），则∠Ｂ＝∠Ｃ的充分必要条件为ｓｉｎα＝ｓｉｎＡ５－４ｃｏｓＡ证明必要性的证明参见《数学通报》１９９８年第２期问题１１１...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

数形结合(续完)

数形结合（续完）晨旭例２５（１９８６年理科）当ｘ∈［－１，０］时，下面关系式正确的是（）（Ａ）π－ａｒｃｃｏｓ（－ｘ）＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｂ）π－ａｒｃｓｉｎ（－ｘ）＝ａｒｃｃｏｓ１－ｘ２．（Ｃ）π－ａｒｃｏｓｘ＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｄ）π...     

asinα bcosα=(a~2 b~2)~1/2sin(α φ)的应用

ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）的应用夏中全（重庆市武隆县中学４０８５００）高中代数上册第１９５页给出了公式：ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）①其中辅助角φ所在的象限由ａ，ｂ的符号确定，φ的值通常由ｔｇφ＝ｂａ确定...     

用(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2解三角题

高中《代数》（必修）下册第１５页第６题可改述为：（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｂｄ）２○＊当且仅当ａ／ｃ＝ｂ／ｄ时取等号．灵活巧妙地运用○＊式，可使某些三角问题简捷获解．例１已知Ａ，Ｂ都是锐角，且ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝３／２，...     

解直角三角形教与学研究

第一课　正弦和余弦（一）一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′…