非负数的和小于零

题目设α,β为关于x的方程x~2-2ax a 6=0的二实根。求(α-1)~2 (β-1)~2的最小值。解:根据一元二次方程根与系数的关系得:α β=2a,αβ=a 6 ∴ (α-1)~2 (β-1)~2 =(α β)~2-2αβ-2(α β) 2=4a~2-6a-10=4(a一3/4)~2-12(1/4)     

运用拉格朗日恒等式简解三角题

本文就三角中的一些问题 ,介绍运用拉格朗日恒等式来求解 ,可以化难为易 ,简捷明快 .1　拉格朗日恒等式设α1,α2 ,β1,β2 ∈Ｒ ,则　 (α21+α22 ) (β21+ β22 ) - (α1β1+α2 β2 ) 2=(α1β2 -α2 β1) 2 .证　∵左边 =α21β21+α21β22 +α22 β21+α22 β22 - (α21β21+2α1β1α2 β2 +α22 β22 )=α21β22 - 2α1β2 α2 β1+α22 β21=(α1β2 -α2 β1) 2 ,∴左边 =右边 .这个恒等式还可以推广 ,如(α21+α22 +α23) (β21+ β22 + β23) - (α1β1+α2 β2 +α3β3) 2 =(α1β2 -α2 β1) 2 + (α1β3-α3β1) 2 + (α2 β3…     

形数结合到定义

《中学生数学》2007年4月刊高中版(总319期)第22页有一道题是这样的:"例3已知cos(α-β)=-4/5,cos(α β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α β∈((3π)/2,2π),求cos2α,cos2β的值."文章侧重介绍了倍角变换式2α=(α β) (α-β),2β=(α β)-(α-β)的应用,其原文解答如下:     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α β) ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ=12 [ｃｏｓ(α β) ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =- 12 [ｃｏｓ(α β) -ｃｏｓ(α- β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式Ｖ台体 =13 (Ｓ′ Ｓ′Ｓ Ｓ)ｈ其中Ｓ′、Ｓ分别表示上、下底面积 ,ｈ表示高一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )…     

一道美国奥林匹克题的进一步推广

美国第33届数学奥林匹克第5题是:设a,b,c为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.这是一道被广泛关注的问题.文[1]将此题推广为:推广1设ai>0(i=1,2,3,…,3k,k∈N ),证明:∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(i∑3=k1ai)3k.文[2]将此题再推广为:推广2设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,则∏ni=1(aiα β-aiβ n)≥(i∑=n1ainα)n.事实上推广2可进一步推广为:推广3设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,0≤λ≤1,则∏ni=1(aiα β-λαiβ μ)≥(α βα-λβi∑=n1aiαn)n,其中μ=n λ nαβ-nαλβ-1.为了证明推广3,我们先引进著名的加…     

(1∞)型极限的探讨

(1 ∞ )型的极限是一类很重要的未定型的极限。文 [1 ]给出了求 ( 1 ∞ )型极限的一种方法 ,但是未能揭示其极限存在与否的充要条件 ,本文给出了几个充要条件 ,同时也将第二个重要极限进一步做了推广。定理 1　设α、β是同一变化过程中的两个非零无穷小量 ,则有( 1 ) lim( 1 +α) 1β=ec的充要条件是 α=0 ( β) ,其中 c≠ 0为常数( 2 ) lim( 1 +α) 1β=1的充要条件是　　 α=0 ( β)证明　 ( 1 )　lim( 1 +α) 1β=limeln( 1+α)β =elimln( 1+α)β =elimαβ因为　α=0 (β) limαβ=c( c≠ 0常数 ) ,故知　 ( 1 )式成立。下证 ( 2 )…     

一道IMO预选题的推广

第 2 6届 ( 1 985年 )国际数学奥林匹克有如下预选题 .设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R ( n≥ 2 ) ,求证x21x21 x2 x3 x22x22 x3 x4 … x2n-1x2n-1 xnx1 x2nx2n x1x2≤ n - 1 . ( 1 )推而广之 ,我们有定理　若 x1,x2 ,… ,xn ∈ R ( n≥ 2 ) ,α,β∈ R,则xα β1xα β1 xα2 xβ3 xα β2xα β2 xα3 xβ4 … xα βn-1xα βn-1 xαnxβ1 xα βnxα βn xα1xβ2≤ n - 1 . ( 2 )证明　 n =2时 ,不等式 ( 2 )左端为xα β1xα β1 xα2 xβ1 xα β2xα β2 xα1xβ2　 =xα1xα1 xα2 xα2xα2 xα1=1 .故 n =2…     

求范围的问题要注意“完备”与“纯粹”

“已知ｓｉｎαｃｏｓβ =12 ,求ｃｏｓαｓｉｎβ的取值范围”这个题目 ,文 [1] ,[2 ]中连续出现 .两文中的结论都是正确的 ,而解法却又欠妥当或欠完整 .为便于商榷 ,将文 [1]解法的主要步骤抄录如下 :解　由ｓｉｎαｃｏｓβ =12 ,两边平方得 :ｃｏｓ2 αｃｏｓ2 β =14 ,又ｃｏｓ2 αｓｉｎ2 β=( 1-ｓｉｎ2 α) ( 1-ｃｏｓ2 β) =…≤14 ,∴ - 12 ≤ｃｏｓαｓｉｎβ≤ 12 .题解到此结束 .显然作者认为所求的范围当然就是 [- 12 ,12 ] .一般地说 ,在 (一定的条件下 )求函数 ｆ取值范围的问题中 ,求得的范围Ａ应满足 :(ｉ) (当条件满足时…     

一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…     

Mapping properties of certain oscillatory integrals on modulation spaces

Suppose β1 α1 ≥0,β2 α2 ≥ 0 and(k,j) ∈R2. In this paper, we mainly investigate the mapping properties of the operator T_αβf(x,y,z)=∫_Q~2f(x-t,y-s,z-t~ks~j)e~(-2πit-β1_s-β2)t~(-1-α1)s~(-1-α2)dtds on modulation spaces, where Q~2 = [0,1] x [0,1] is the unit square in two dimensions.     

两个引理及其推广的再推广

文[1]介绍了有关不等式的两个引理及其推广命题1-4.本文将两个引理及其推广命题再作进一步推广.引理1的推广设α,β均为锐角,n∈N ,则1sinn2α sin1n2β≥sinn(2α β)(1)当且仅当α=β时取等号.证sin1n2α sin1n2β≥2sinn2α1sinn2β=12n-1(sinαcosβ.cosαsinβ)n≥(sinαc     

综合题新编选登

题 6 9　 已知函数 f(x) =4x -ax2 + 1在区间 [α ,β]上为增函数 ,且 f(α)·f(β) =- 4.1)求 f(β) - f(α)的最小值及取到最小值时a的值 ;2 )求α ,β的值 (用a表示 ) .解　 1) f(x)在 [α ,β]上为增函数 ,且f(α)·f(β) =- 4<0 .∴ f(β) >0 >f(α) .则f(β) - f(α) =f(β) + [- f(α) ]≥ 2 - f(α)·f(β) =4 .“ =”成立时有 f(β) =- f(α) =2 .由 f(β) =2 ,得4 β -aβ2 + 1=2 ,∴ -a =2 (β - 1) 2 ≥ 0知a≤ 0 ;由 f(α) =- 2 ,得4α -aα2 + 1=- 2 ,∴a =2 (α + 1) 2 ≥ 0知a≥ 0 .则 f(β) - f(α)取最小值时a =0 .2 )首…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

两个三角函数恒等式及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得　　ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5)　　ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式…     

一种经典时空理论(Ⅰ)——基础

尽管广义相对论形式优美,成果辉煌,但在以下几个方面却未尽完善:(1)它不能容纳不对称的总能量-动量张量,这种不对称性已经在电磁理论中被证明是存在的.(2)场方程可以导出线动量平衡定律,却不能导出角动量平衡定律的精确方程.(3)如果没有附加(非物理)的假设,缩并的第二Bianchi恒等式的四度任意性使场方程无法获得唯一解.为了解决这些问题,我们在本文提出,把纤维丛P[M,SU(2)]定律作为四维时空的基本几何结构.于此,结构群SU(2)是特殊二维复酉群的实表示.SU(2)同时使定义在整个M上的度规型dS2=g_αβdxαdxβ和基本二型φ=(1/2₁)a_αβdxα∧dxβ不变.以SU(2)连络定义的爱因斯坦方程利用了时空流形以及把非齐次麦克斯韦方程作为辅助条件.于此,电磁张量与曲率张量的缩并形式是等价的.我们得到的结果是关于16个未知场变量(g_αβ,a_αβ)的16个独立的基本方程.另外,角动量平衡定律恰好是推广的爱因斯坦方程的斜对称部分.这里,自旋角动量张量直接被证明与扭转张量成比例.     

如何求解“给值求角”问题

“给值求角”问题的求解分为两步走 ,缺一不可 :1 )根据题设条件 ,求角的某个三角函数值 ;2 )讨论角的范围 ,必要时 ,还需根据已知三角函数值缩小角的范围 ,从而确定角的大小 .例 1　已知tan(α - β) =12 ,tanβ =- 17,且α ,β∈ ( 0 ,π) ,求 2α - β的值 .分析 :已知条件启发我们应求该角的正切值 ,并用拆角“手段”将角 2α - β分拆成2 (α - β) + β .讨论时应尽可能缩小角的范围 .解　∵tan( 2α- β) =tan[2 (α- β) + β]=tan2 (α- β) +tanβ1 -tan2 (α- β)tanβ.又　∵tan2 (α - β) =2tan(α - β)1 -tan2 (α - β) =4…     

新题征展(21)

A　题组新编1 .( 1 )关于 x的方程 3sin 2 x cos 2 x =k在区间 [0 ,π2 ]上有两个相异实数根α、β,则 k的取值范围是 (　　 ) .( A) [- 1 ,2 ]　　 ( B) [- 1 ,2 )( C) ( 1 ,2 ) ( D) [1 ,2 )( 2 )关于 x的方程 3sin 2 x cos 2 x =k在区间 [0 ,π2 ]上有两个相异实数根α、β,那么α β的值等于 (　　 ) .( A) π2 　　 ( B) π3( C) π6 ( D)不是常数( 3)若关于 x的方程 sin x cos x - k=0在 [0 ,2π]上有相异两实根α、β,且α β =5π2 .则 k的取值范围是 .(熊昌进供题 )2 .( 1 ) F1、F2 是双曲线的两个焦点 ,如果P为双曲线…     

对一道例题的再思考

文[1 ]中王佩其老师分析了例1因为没有挖掘隐含条件而致错.其实,该题我们也可以这样巧妙地求解:构造三角形,通过三角形的性质达到问题解决.例1　(文[1 ]例1 )已知锐角α,β,γ满足sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,求α- β的值.解　由题意可得sinα+sin(π+ β) +sin(π-γ) =0 ,cosα+cos(π+ β) +cos(π-γ) =0 ,设A(sinα,cosα) ,B(sin(π+ β) ,cos(π+ β) ) ,C(sin(π-γ) ,cos(π-γ) )是△ABC三个顶点的坐标,则易知原点O ( 0 ,0 )是△ABC的重心.又因为△ABC的三个顶点到原点的距离都等于1 ,所以O ( 0 ,0 )还是△ABC…     

两个代数不等式

本文旨在建立两个新的代数不等式 ,并给出它的一个应用 .引理　若x ,y为正数 ,n为正整数 ,则 xn + yn2≥ x + y2n.证略 .定理 1　若a ,b ,c为不大于 1的正数 ,n为正整数 ,则1n1+a+ 1n 1+b+ 1n1+c≤ 3n1+ 3 abc.证　令α ,β为不大于 1的正数 ,则　 11+α+ 11+ β=2 +α + β1+α + β +αβ= 1+ 1-αβ1+α + β +αβ≤ 1+ 1-αβ1+ 2αβ+αβ= 21+αβ,∴ 1n1+α+ 1n1+ β=n 11+α+n 11+ β≤ 2n 1211+α+ 11+ β≤ 2 11+αβ=21+αβ,∴ 1n1+a+ 1n1+b+ 1n1+c+ 1n1+ 3 abc≤ 21n1+ab+ 1n1+c 3 abc≤ 4n1+ 4abc 3 abc=4n1+ 3 abc,∴　 1n1…