一道全国高中数学联赛试题的研究

2004年全国高中联赛第4题：设O点在△ABC内部，且有OA＋2OB＋3OC=0，则△ABC的面积和△AOC面积之比（ ）.     

从一道联赛试题想到的

2004年全国高中数学联赛试题第4题：设O点在△ABC内部且有→↑OA＋→↑2OB＋→↑3OC，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）。     

巧构重心解竞赛题

2004年全国高中数学联赛选择题4为: 设O点在△ABC内部,且有OA十ZOB+ 3OC一O,则△ABC的面积与△AO〔:的面积之 比为(). ,‘、。,~、3,~、八,~、5 又八,乙气廿)万又七,d又U,了 预备知识若OA+OB十OC一。,则O为 △ABC的重心,且△AOB、△BOC、△AOC的 面积相等. 证明取BC中点D, AC中点E,则口刀十OC一 ZOD,从而O八一一ZOD,故 aA,OL)共线,它们都过O 点,从而O、A、D三点共线, 故O在BC边中线AD上. 同理O在AC边中线 △ABC的重心. 由OA~一ZOD,得 图1 BE上,故O为 S△乃/一25△联一普S△ACD 1。 一了。△ABC 同理 故 …     

面积比问题的探究

<正>近日,笔者看到2016年1月北京市朝阳区高三第一学期期末试题第14题:已知点O在△ABC的内部,且有x((OA)|→)+y((OB)|→)+z((OC)|→)=(0|→),记△AOB,△BOC,△AOC的面积分别为S_(△AOB),S_(△BOC),S_(△AOC).若x=y=z=1,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______;若x=2,y=3,z=4,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______.分析第一问中点O为△ABC的重心,所以S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=1:1:1.第二问中由于系     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

也谈重心向量形式的应用

文 [1]利用O是△ABC重心的充要条件是OA+OB +OC =0推出了如下有趣结论 .即文 [1]例 1.在△ABC中任取一点O ,用SA,SB,SC 分别表示△BOC ,△COA ,△AOB的面积 ,则SA·OA +SB·OB +SC·OC =0本文将对该问题作进一步分析 ,并推广到四面体 .为此 ,必须修正文 [1]给出的“定理 2” .即O是△ABC的重心的充要条件是S△AOB=S△BOC=S△COA.文 [1]把上述结论看成是显然成立而未给出证明 .事实上 ,其充分性不成立 .图 1　三角形如图 1,过△ABC各顶点分别作对边的平行线形成△A′B′C′ ,显然有S△AA′B=S△AA′C=S△BA′C…     

新题征展(134)

A题组新编1.(1)设O为△ABC的外心,且3→OA+4→OB+5→OC=0则△ABC的内角C=___.     

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1　O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科　王承宣　 61 5 30 2 )证明　如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

一道调研试题的探究

题目 已知点0在△ABC内部,且有OA＋2OB＋4OC=0,则△AOB与△BOC面积之比为——．（以下简称原题）     

这种证法不全面

文[1]指出了勾股定理的空间推广形式:在空间中,如果OA、OB、OC两两垂直,△AOB、△BOC、△COA、△ABC的面积分别为S1、S2、S3、S,那么有S21+S22+S23=S2.     

三角形的一个性质再探

文[1]从2004年全国高中数学联合竞赛试题第四题出发，通过对问题的进一步探索推广得到下列结论：设点O在△ABC内部，且λ→↑OA＋m→↑OB＋n→↑OC=0,（其中λ，m，n均是正数）。则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1/λm：1/mn：1/nλ，文[2]利用向量的几何意义对上述结论给出了较为简捷的证明。     

三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

一个物理公式的数学拓广与应用

物理学上有个公式1/R=1/R1+1/R2,它表明并联电路的总电阻的倒数等于各并联电阻倒数的和.我们用数学方法证明这个结论:证明如图1,设∠AOC=∠COB=60°,OA=R1,OC=R,OB=R2,因为S△AOB=S△AOC+S△COB,     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

向量的两个简单性质及应用

性质　设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明　 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( …     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …