一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

用柯西不等式的变式证明不等式

本文的例1至例4分别是文[1]的例1至例4,文[1]对这类轮换对称不等式的证明的方法是先猜想不等式等号成立的条件是a=b=c,然后利用基本不等式进行构造证明,方法巧妙,但操作较为麻烦,笔者发现这类不等式用柯西不等式的变式很容易证明.下面对这4道例题用柯西不等式的变式给     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0,i=1,2,3,且^3∑i=1xi=1,则1/1＋x^21＋1/1＋x^22＋1/1＋x^23≤27/10.     

凸函数和凹函数的幂平均不等式

文 [1 ]获得了当 α≥ 1时的凸函数的幂平均不等式 (3)、(4 ) [1] .本文指出文 [1 ]中的一个错误 ,并且得到了 α≤ 1时的凹函数的幂平均不等式 .修正和充实了文 [1 ]的定理 .同时讨论了当 α取其它值时不等式的情况 .     

一个命题的推广

<正>文[1]用均值不等式巧妙的证明命题1,文[2]给出了文[1]的一个变式,得到命题2,本文在两篇文章的基础上给出一个进一步的推广.命题1已知正数p,q满足p~3+q~3=2,求证:p+q≤2.命题2已知正数p,q满足p~n+q~n=2,求证:p+q≤2.(n∈N)     

四面体的对棱所成的三角形

文 [1],[2 ]讨论了四面体的对棱构成的三角形 ,文 [3]继续讨论了四面体的二面角所构成的三角形 .之所以做这些工作 ,除了能利用等价变换迅速将三角形的不等式推广到四面体[1,2 ,3] 外 ,还可用来进行四面体间的体积比较[4 ] .本文继续探讨四面体的对棱所构成的三角形 .以下 ,在四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 中 ,Ａｉ 的对面为Ｓｉ(1≤ｉ≤ 4 ) ,Ｓｉ,Ｓｊ 的夹角为θｉｊ(1≤ｉ<ｊ≤ 4 ) ,三组对棱Ａ1Ａ2 ,Ａ3Ａ4 ;Ａ1Ａ3,Ａ2 Ａ4 ;Ａ1Ａ4 ,Ａ2 Ａ3分别记为ａ ,ａ′ ;ｂ ,ｂ′ ;ｃ,ｃ′ .这三组对棱中点间的距离分别为ｍ1,ｍ2 ,ｍ3.外接球半径为Ｒ ,…     

“柯西不等式的应用技巧”的补充

贵刊2014年2月（高中刊）发表了文[1]武增明老师的＂柯西不等式的应用技巧＂一文,武老师总结了四种通用的方法技巧,看后很受启发,感觉意犹未尽,本文结合证明某些三角不等式,利用柯西不等式及某些三角公式再给出第五种通用方法,作为文[1]的补充,供参考.     

一个命题的推广与变式

文[1]用均值不等式巧妙地证明了以下命题,本文则在文[1]的基础上给出以下命题的一个推广和一个变式,供读者参考.命题已知正数p,q满足p~3 q~3=2,求证:p q≤2.推广已知正数p,q满足p~n q~n=2,求证:p q≤2.     

关于一个不等式猜想的新证明

文[1]提出了如下猜想:若x,y为满足x y=1的正数,n为不小于3的整数,则ynx2 y3 xnx3 y2≤2(xn 1x2 y3 yn 1x3 y2)≤2(yn 1x2 y3 xn 1x3 y2).文[2]给出了这个猜想的严谨、详尽的证明.笔者现给出这个猜想的一个新证明,证明所用的方法是证不等式最基本的方法——比较法,相对于文[2]而     

一类对偶代数不等式

文 [1]给出了一个新发现的代数不等式 ,文 [2 ]将文 [1]的结论进行了推广 .笔者通过研究更广泛的情形 ,得到几个更一般的结论 ,发现文 [1] ,文 [2 ]所研究的不等式属一类对偶代数不等式 .引理　设有ｍ组非负数 ,满足以下关系 :ａ1 1 ≤ａ1 2 ≤…≤ａ1ｎ,ａ2 1 ≤ａ2 2 ≤…≤ａ2ｎ,　　……ａｍ 1 ≤ａｍ 2 ≤…≤ａｍｎ.则有　∑ｎｊ =1∏ｍｉ=1 ａｉｊ≥∑ｎｊ=1∏ｍｉ =1 ａ′ｉｊ (1)及　∏ｎｊ =1∑ｍｉ=1 ａｉｊ≤∏ｎｊ=1∑ｍｉ =1 ａ′ｉｊ (2 )其中 {ａ′ｉ1 ,ａ′ｉ2 ,… ,ａ′ｉｎ} ={ａｉ1 ,ａｉ2 ,… ,ａｉｎ} ,ｉ =1,2 ,… ,…     

矩阵对角化方法的再探讨

引言文 [1 ]— [3]对矩阵对角化方法的简化问题进行了讨论 ,给出了简便易行的判定和求法 .区别于传统的方法 ,文 [1 ]和 [2 ]把问题归结为矩阵的乘法运算 ,文 [3]则在特殊情形下把问题归结为求特征值与特征向量同步求解 .后者收到了判定和求解一体化的效果 .这种同步操作的思想已在文 [4]和 [5]中见到 ,但均未做到一步成功 .本文对此作进一步探讨 ,一方面改进了 [4]和 [5]的方法 ,使同步求解一步到位 ;另一方面较容易地得到矩阵对角化的十分简单的判定方法 ,以致于判定和求解都是从最终的λ—矩阵中“读”出来的 .其主要依据是以下两个定…     

一道最大值问题的延伸

题目设x,y,z为正数,求xy+2yz/x2+y2+z2的最大值.文[1]中潘继军老师巧用均值不等式解答了上面这个式子的最大值,并给出了3个变式和两个引理,读后很受启发.从教学的角度来讲,笔者认为文[1]中的变式还远远不够,文[1]的三个变式属于同一类型,解答方法有一定的局限性.本文用参数均值不等式的方法来解答这个题目的各种变     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…     

一道习题的研究性学习再探

文[1]对题目:已知,p＞0,q＞0,且p3+q3=2.求证:p+g≤2.从研究学习出发,用高中数学各章节知识,采用了12种方法进行证明.读后很受启发,笔者在高中2005级和高中2006级教学实践中,借用"他山之石,可以攻玉",在两个理科班进行实践,让学生对该题进行解法探讨,也几乎收到与文[1]作者刘老师那样较好的教学效果.好多学生还得到了如下两种简单而重要的直接证明方法——比较法和分析法:     

试用数学思想方法讨论研究逻辑问题——中学数学教学中若干有争议的逻辑问题辨析

文[1]、文[2]和文[3]等文章确实指出了我们在教学中经常遇到的一些有争议的逻辑问题,而且指出并纠正了一部分逻辑思维方法上的严重错误.……     

关于根式和下确界的三个不等式

文 [1 ]、[2 ]都对根式和下界不等式的证法进行过探讨 ,文 [3 ]利用高阶导数等高等数学知识进行了研究 .本文运用中学数学方法 ,给出证明根式和下界不等式的更为一般的公式 ,使曾在众多书刊中出现的若干不等式均为其特例 ,简捷解决有关根式和下确界问题 .引理　设 0≤ x≤λ≤ a,r≥ 1 ,n≥ 2 ,n∈ N,则 n ar - xr≥ n ar - xt;其中等号成立当且仅当 x =0或λ.其中t=1λ(n ar - n ar -λr) .证明　当 x =0时 ,式中等号成立 ,下设x >0 ,　 f (x) =n ar - n ar - xrx ,∵　 0 相似文献   

也谈一道三角题的证明

已知α,β∈（0,π/2）,且sina（α＋β）=sin^2α＋sin^2β.求证：α＋β=π/2. 其中文[1]、[2]、[3]利用两边夹或构造方法加以证明，笔者给出另一直接证明方法．     

高维正弦定理的再改进及其应用

本文借助于Cayley-Mensger行列式定义了n维欧氏空间E~n中单形A顶角A_k(1≤k≤n+1)的正弦值,由此得到了新的正弦定理。这一定理大大地改进了文[1]和[2]中所给出的正弦定理,并且弥补了文[1]与[2]中的好多不足之处,在第3节中,还给出了新上弦定理的应用(即性质定理2)。     

一个不等式的再质疑与另证

文[2]指出了文[1]的错误,并给出了证明,但文[2]的证明仍然是错误的.原因如下:因为m∑i=1xi=1,xi>0,i∈N ,1≤i≤m,m,n≥2且m,n∈N ,所以nn-1n 1=n1-2n 1≥13>12.因此,当x∈nn-1n 1,1时,xi(i∈N ,1≤i≤m)中只有一个在nn-1n 1,1内,不妨设为xi∈nn-1n 1,1,其余的xi(i∈N ,2≤i≤m     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…