对一道高中赛题的平几证法的探究和引伸

一九八七年全国高中数学联赛第二试第二题为下面的:命题1 △ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,AB=BC,AD=DE,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,     

谈数学问题的转化

在数学中,问题的转化求解是解决问题的基本思想,是一种解决问题的简单而又实用的思想方法.转化的关键往往是抓住构成问题的基本要素和基本结构形式等.为便于说明问题,在此,我们选用两道比较经典的问题来阐述.例1如图1,△ABC和△ADE是两个图1不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转.试证:不论旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使△BMD为等腰直角三角形.(1987年全国高中数学联合竞赛试题)求解此题,易见M为CE之中点(可取特殊位置确定).至今各种资料提供此题的解法有多种多样:平几法、解几法、复数法,其中利…     

一道竞赛试题的另证与推广

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题第四大题是这样的:如图1,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,其中∠BAC=∠DAE=90°,点M是线段BE的中点,求证:AM⊥DC.     

一道初中数学竞赛题的另证

<正>2018年全国初中数学联赛第二试(B)第12题:如图1,点E在四边形ABCD的边AB上,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,AB=AC,DE=DC.(1)证明:AD∥BC;(2)设AC与DE交于点P,如果∠ACE=30°,求(DP)/(PE).本题是这次竞赛的第二试(B)组倒数第二题,是平面几何的压轴题,命题者认为有一定难度,从试卷参考解答过程也可以看出来.经过笔者探究,发现本题不但能另证还能简证并     

数学问題解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来,本期问题答案将在下期发表。欢迎读者提供适合中学数学水平的问题及其解答,来稿请寄北京师范大学数学通报编辑部问题解答栏。 1982年7月号问题解答(解答由问题提供入给出) 181.设△ABC为任意三角形,分别以BC、BA为一直角边,皆以B为直角顶点,同向△ABC的内侧作等腰直角三角形PBC与QBA。试证 PA⊥QC 证明:考虑∠B(?)90°的情况(∠B=90°时命题显然成立。) 如图所示,由题意知PB=BC,∠PBC=90°,QB=BA,∠QBA=90°,则∠CBQ=90°-∠ABC或     

新题征展(127)

A题组新编 1.如图1,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE. (1)求证:平面ABC⊥平面ACD; (2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比. 2.一个四棱锥的直观图和三视图分别如图2,图3所示,E为PD中点.     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

一道中考题的“前思后想”

<正>1试题及解析(2014年武汉中考题)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为____.分析问题中要求的边BD和已知边和角度很难直接建立联系,此时我们可以考虑将图形进行变换,把BD放在△ABD中,依托等腰直角三角形ABC,将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACM,此时△ADM也为等腰直角三角形,CM所在△CDM为直角三角形,且     

2020年全国高中数学联赛一试A卷压轴题的解法探究

2020年全国高中数学联赛一试(A卷)压轴题(第11题)为:在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C在双曲线xy=1上,满足△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积的最小值.分析1注意到题中有三个未知量(A,B,C的横坐标a,b,c)以及两个等量关系(等腰、直角),所以最自然的想法就是利用两个方程进行消元,将三变量问题转化为单变量问题.不妨设A是直角顶点,考虑到A的特殊性,最终应该是将面积转化为关于a的函数,注意到B和C的地位对称性.     

初三学生作业中的几种典型错误

本刊1984年第10期刊出过《初中学生作业中的典型错误剖析》。此文补充数例,同样剖析如下,以供参考。一、半途而废: 例1 已知△ABC三顶点的坐标分别为A(3,0)、B(6,4)、C(-1,3)求三角形各边的长,并判断△ABC是等腰三角形,等边三角形,还是直角三角形?(代数课本P41(?)8(4)) 误解由两点间的距离公式得AB=5;BC=5~(1/2);AC=5 ∵AB=AC。∴△ABC是等腰三角形。剖析学生显然认为等腰、等边、直角三角形三者是互相独立的,结论必是三者之一也只能是三者之一,忽视了还可能是既等腰又直角的三角形,而此题结论恰好正是等腰直角三角形。     

一道中点试题的解法探究

<正>中点是初中几何最常见的概念之一,中点与其他知识有着紧密的联系.由中点可以产生很多的联想,比如中线、中位线,等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线等等,这些联想往往都是解题的突破口,下面让我们一起来看一道有关中点证明的题目.1试题呈现如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD     

勾股趣题的解法

1997年安徽省初中数学联赛试题中有这样一道富有探索性、挑战性的生动趣题,引起我们的广泛兴趣.现将我们的研究心得介绍于后.题目如图1,在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n,则以x、m、n为边长的三角形的形     

八年级数学(华东师大版)第一学期期中自测题

A组一、选择题(每小题2分,共20分)1.下面每个图中两个三角形的位置的变化可以通过平移得到的是().2.小明和同学玩牌,摸到四张牌时,有事出去一趟,他把牌正面向上,如图1那样放置,回来时变成图2的样子了,小明说有人动他的牌,你知道他是根据哪张牌判断的吗?().如图:点D是等边三角形ABC的BC边上一点,△ABC经旋转成为△ACD′,下列说法正确的是().A.绕A点顺时针旋转60°B.绕A点顺时针旋转360°C.绕A点逆时针旋转60°D.绕A点逆时针旋转90°4.如图:将△ABC沿M→N方向平移到△EFD位置,则图中平行四边形有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个5.四…     

一道平面几何习题的简捷证法

初中《几何》第二册复习参考题六的第4题,教参给出的证明显得有些繁琐,笔者有一简捷证法,现介绍如下:△ABC 中,角平分线 AD、BE 交于点 I.求证:     

2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答

题目(重庆市初中数学竞赛)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:BD=CD.分析由题设中的已知条件,△ABC为等腰直角三角形.易求得∠BAD=15°,∠ACD=75°,∠DCB=15°.要证明BD=CD,即要证明∠DBC=15°,或证明点D在BC的中垂线上.     

要深刻理解限制习题证法的意图

课本上的习题,大多数是经过严格筛选的.内涵丰富,在培养学生能力方面有着不寻常的作用,尤其被限制了证法的刁题.除具有一般习题的功能.还具有特殊效应.因此,在充分发掘习题的潜在功能的同时,要深刻理解限制习题证法的意图.下面,仅就《几何》第二册39页11题谈谈这个问题. 题:设AD、BE和CF是△ABC的三条高.求证:AD·BC=BE·CA=CF·AB(用比例线段证明). (分△ABC是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况)     

一道数学竞赛题的推广

1986年全国初中数学竞赛试题第三题:“设P、 Q为线段BC上两定点,且Bp=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP =∠CAQ时,△ABC是什么图形?试证明你的结论。”此题结论是当∠BAP=∠CAQ时△ABC为等腰三角形。下面我们采用辅助圆证法,并加以推广。     

由一道竞赛题谈起

2007年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题出了这样一道题: 若平面上有点A(1,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的内心坐标( ) 此三角形为等腰直角三角形,解法上可以利用向量知识求两个角的平分线,再求交点;也可以利用到角公式求两个角的平分线,再求交点;或者利用角平分线定理及定比分点坐标公式获解.     

一道几何题的简解及拓广

《中学生数学》2010年第10期(下)登载的"关于中点的一道题的五种解法"一文(下图1称文[1]),介绍的一道平几模拟题是:已知:等腰直角△ABC和等腰直角△ADE如图1放置,AE在AB边上,其中∠ABC=∠AED=90°,AB=CB,DE=AE,M为CD的中点,连结EM和BM.请你判断EM和BM的关系,并说明理由.     

初三几何第一学期期中自测题

A组题一、填空题1 .在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,a =3 ,b =4,那么sinA = ,cotB =.2 .已知sinA =32 ,且∠B =90° -∠A ;则cosB =.3 .化简 :tan47°·tan46°·tan45°·tan44°·tan43°=.4.在Rt△ABC中 ,如果已知a ,∠B ,写出解△ABC求未知元素的过程是 .5 .已知菱形的两条对角线长分别为 8和 83 ,则它的较大内角为 .6.在Rt△ABC中 ,∠C =90°,cosA =32 ,AB =8cm ,则△ABC的面积cm2 .7.渔轮向东追逐鱼群 ,上午8点在一座灯塔的西南 1 0 0海里 ,下午 4点驶抵此灯塔的东南线上 ,则渔轮航行的速度为 .8.如图一所示 ,在距建筑物8米 ,…