解答数学题中的逻辑问题

数学是培养逻辑思维的,但在解答数学题 时又得注意其中蕴含的逻辑问题. 例1　(选择题)在△ABC中,a、b、c分别表 示△ABC的内角A、B、C所对的边,若 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则 △ABC是(　　) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (C)等腰三角形或直角三角形 见到此题,一般会先进行繁复的三角变换, 其实不必———因为四个选项是互相包容的:(A) 对(B)一定对,(C)对(B)也一定对,而(B)对 (D)一定也对,所以,作为单项选择题,只可能选 (D),根本不需要对条件进行演绎! 例2　已知α∈0,π2,β∈π2,…     

谈数学问题的转化

在数学中,问题的转化求解是解决问题的基本思想,是一种解决问题的简单而又实用的思想方法.转化的关键往往是抓住构成问题的基本要素和基本结构形式等.为便于说明问题,在此,我们选用两道比较经典的问题来阐述.例1如图1,△ABC和△ADE是两个图1不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转.试证:不论旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使△BMD为等腰直角三角形.(1987年全国高中数学联合竞赛试题)求解此题,易见M为CE之中点(可取特殊位置确定).至今各种资料提供此题的解法有多种多样:平几法、解几法、复数法,其中利…     

sin(A+60°)为何大于零?

题 在△ABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b=1,c=2,且S△ABC等于以a为边长的正三角形的面积,求sin(A 60°)的值.     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

例说构造辅助图形解平面几何题

初中平面几何中 ,正方形与圆是比较完美的几何图形 ,它们具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形或圆 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文例谈构造正方形与圆帮助解题的思维策略 .一、构造辅助正方形构造辅助正方形一般是以题目中出现的直角为基础 .例 1　如图 1 .在等腰直角△ABC中 ,AB =1 ,∠A =90° ,点E为腰AC的中点 ,点F在底边上 ,且FE⊥BE ,求△CEF的面积 .解 :以等腰直角△ABC为基础 ,作正方形ABGC(如图 1 ) .延长EF交CG于H .因FE⊥BE ,易证Rt△AEB∽Rt…     

巧解一例

<正>如图△ABC是等腰直角三角形,其中∠A=90°,且DB⊥BC,∠BCD=30°,现将△ABC沿边BC折起,使得二面角A—BC—D大小为30°,则异面直线BC与AD所成的角为().(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°拼图解法取两个内角为45°的直角三角板一块,两个内角为60°、30°的直角三角板两块.如图,把三角板30°的顶点放在BC边上,同时让三角板所在平面垂直BC边所在直线,使拼图满足题目条件,取出三角板,再把三角板     

一道三角函数题的多解探究

<正>题目在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边长,且满足btanB=ctanC.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)若BD是边AC的中线,且BD=3^(1/2),求△ABC面积的最大值.这道题(1)的结论是b=c,△ABC为等腰三角形,本文主要探究(2)的解法.1通法通解立足基础分析面积公式S=1/2bcsinA是我们处理三角形面积问题的基本公式,用m表示可变量,计算出sinA,最终将面积表达为关于m的函数,研究该函数的最大值即可.     

好题共欣赏 基础不能忘

2012年高考江西卷理科第17题是一道三角题,该题容易入手,从不同的角度出发均能轻松地加以解决,很好地体现了"考查基础知识的同时,注重考查能力"的命题原则,有效地考查了考生的数学基础知识和基本技能.以下是该题的多种不同解法.题目:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A=π4,bsinπ4+△△C-csinπ4+△△B=a.(1)求证:B-C=π2;(2)若a=2%姨,求△ABC的面积.(1)证法1:由bsinπ4+-△C-csinπ4+-△B=a,应用正弦定理得:sinBsinπ4+-△C-sinCsinπ4+-△B=sinA.     

形如(a~2)/(b~2)=c/d平几题的一种证法

大家都知道,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由此,对于证明形如a2/b2=c/d的平几题,我们可用凑相似三角形的方法分两步来处理:1°.找两个相似三角形△ABC和△A’B’C’,使a、b是它们的对应边,则有a2/b2=S△ABC/S△A’B’C’;     

相似三角形及其应用(上)

<正>定义:如图1,△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且(AB)/(A′B′)=(BC)/(B′C′)=(CA)/(C′A′),则称△ABC与△A′B′C′相似,简记作△ABC∽△A′B′C′.一、相似三角形的判定1.两角对应相等的两三角形相似;2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;3.三边对应成比例,两三角形相似;4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;     

多角度赏析一道高三模拟题

<正>题目(2014届连云港、扬州、泰州、南通四市三模14题)在△ABC中,BC=2^(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为___.本题表面上看是考查学生解三角形的相关知识即两个基本定理—正弦、余弦定理的正确运用,但仔细研究不难发现,     

一道几何题的简解及拓广

《中学生数学》2010年第10期(下)登载的"关于中点的一道题的五种解法"一文(下图1称文[1]),介绍的一道平几模拟题是:已知:等腰直角△ABC和等腰直角△ADE如图1放置,AE在AB边上,其中∠ABC=∠AED=90°,AB=CB,DE=AE,M为CD的中点,连结EM和BM.请你判断EM和BM的关系,并说明理由.     

关注模型思想,破解中考题

<正>近现代法国哲学家、数学家笛卡尔说过:"我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解其它问题".范例就是"模型".下面以一道中考题为例,揭示其中隐藏的数学模型,供同学们参考.一、试题呈现(2012年陕西中考副题)如图1,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形     

一个三角形面积不等式的推广

文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有　　　　　△≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1　预备知识引理 1[2 ] 　设△ ABC的三边长及     

初三学生作业中的几种典型错误

本刊1984年第10期刊出过《初中学生作业中的典型错误剖析》。此文补充数例,同样剖析如下,以供参考。一、半途而废: 例1 已知△ABC三顶点的坐标分别为A(3,0)、B(6,4)、C(-1,3)求三角形各边的长,并判断△ABC是等腰三角形,等边三角形,还是直角三角形?(代数课本P41(?)8(4)) 误解由两点间的距离公式得AB=5;BC=5~(1/2);AC=5 ∵AB=AC。∴△ABC是等腰三角形。剖析学生显然认为等腰、等边、直角三角形三者是互相独立的,结论必是三者之一也只能是三者之一,忽视了还可能是既等腰又直角的三角形,而此题结论恰好正是等腰直角三角形。     

新题征展(64)

A　题组新编1 .已知平面上不同的四点 A、B、C、D.( 1 )若 ( DB+ DC- 2 DA) .( AB - AC)= 0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 2 )若 DB.DC+ CD .DC+ DA .BC=0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 3)若　 ( DA - DB) .( BD + DC) .( | DB - DA| 2 - | DC - DB| 2 ) =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 4 )若 ( DA - DB) 2 =( DB - DC) 2 ,且DA .DB+ DB.DC- DA .DC- | DB| 2 =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( A)直角三角形或等腰三角形( B)等腰直角三角形( C)等腰三角形但不一定是直角三角形( D)直角三角形但不一定是等腰三角形2 .( 1 )已知 A…     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

新题征展(49)

A 题组新编 1.在△ABC中,∠C=2∠B. (1)则(sin3B)/(sinB)等于( ). (A) (a)/(b) (B) (b)/(a) (C) (a)/(c) (D) (c)/(a) (2)则边c等于( ). (A) 2bsinC (B) 2bcosB (C) 2bsinB (D) 2bcosC (3)求证:c2-b2=ab. (4)已知△ABC三边组成一个公差为1的等差数列(且最大角是最小角的2倍)求三条边长.     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

一道复习题的引伸

求解有关直线方程的问题时,关于方程的取舍,是解析几何的一个难点,对于初学者来说尤其如此,为此,在进行解几第一章的复习时,针对第56页的第一题“已知△ABC 的顶点是 A(2,3)、B(5,3)、C(2.7),求∠A 的平分线长及所在直线的方程。”有意作了引伸,收到较好的效果。此题中因有 A、C 两点的横坐标相等及 A、B 两点的纵坐标相等,所以它是一个两边分别平行于坐标轴且以 A 为直角顶点的直角