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题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

IMO42-2的推广

第 4 2届 ( 2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第 2题为 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥ 1 . ( 1 )推而广之 ,我们发现以下定理　若 a,b,c∈ R ,λ≥ 8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥ 31 λ. ( 2 )证明　令 x =bca2 ,y =cab2 ,z =abc2 ,则 x,y,z∈ R ,且 xyz =1 .于是 ,不等式 ( 2 )等价于11 λx 11 λy 11 λz≥31 λ( 3) 　 1 λ[( 1 λy) ( 1 λz) ( 1 λz) ( 1 λx) ( 1 λx) ( 1 λy) ]≥ 3( 1 λx) ( 1 λy) ( 1 λz) 　 ( 1 λ) [3 2λ( x y z) λ2 ( yz zx …     

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题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义如图1,设l是过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)上的一点P(x0,y0)的切线,l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,与x轴交于点Q,则称△OMN为双曲线的渐近三角形.2渐近三角形的性质图1性质1|OM|·|ON|=a2 b2证明切线l的方程为b2x0x-a2y0y=a2b2.与方程y=abx联立,解得M点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可得N点的坐标为(bx0a 2bay0,bx-0 aba2y0).从而|OM|·|ON|=(bx0a-2bay0)2 (bx0a-b2ay0)2·(bx0a 2bay0)2 (bx-0 aba2y0)2=|abbx0a-2a y0b|2·|abbx0a 2a y0b|2=a2b2(a2 b2)a2b2=a2 b2.由中点坐标公式可知,P是线段MN的…     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

用辅助函数法解题

引入辅助函数以帮助解题是数学上的重要方法,引入辅助函数后,可以运用函数的增减性,定义域、值域、最值、连续、可导,可微、可积来帮助解题。现举几例加以说明: 例1 求证(|a+b|)/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 分析:由于0≤|a+b|≤|a|+|b|、把|a+b|,(|a|+|b|)作为一个变量的两个不同的值,设x_1=|a+b|、x_2=|a|+|b|。原不等式化为x_1/(1+x_2)≤x_2/(1+x_2),因此只要证明函数f(x)=x/(1+x)在x≥0是增函数即可,用研究函数的增减性来代替不等式的证明。     

三角形垂心的一个性质

文 [1 ]用解析法发现了三角形外心的一个性质 ,用此法还不难发现三角形垂心的如下性质 :定理　若点 D在△ ABC的边 AB上 ,且∠ CDB =α,O为 C在 AB边所在直线上的射影 H1、H2 、H分别为△ ADC、△ DBC、△ ABC的垂心 ,则( 1 ) | H1H2 | =| AB| . | cotα| ;( 2 ) | H1H | =| OA| . | cot B cotα| ;( 3) | H2 H | =| OB| . | cot A - cotα| .证明　 ( 1 )建如图 1所示的平面直角坐标系 ,设 A( a,0 ) ,D( d,0 ) ,B( b,0 ) ,C( 0 ,c) .过 D点且与 AC垂直的直线方程为y =ac( x - d) .令　 x =0 ,可得y =- adc,故　 H1( 0…     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题:问题1求函数y=∑ni=1Fi|x-Fi|的最小值,其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列,它由F0=0,F1=1,Fn 2=Fn 1 Fn(n∈N)确定.引理1当且仅当x∈[a,b]时,函数y=|x-a| |x-b|(a,b,x∈R,a相似文献   

对一道课本习题的探讨所得

高中平面解析几何必修课本的几种版本的总复习题都有这样的一道题 :证明 :等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 .教参给其提供了两种解法 ,这里再介绍两种解法 .解法 1　设等轴双曲线方程为 x2 - y2 =a2 ,则离心率 e =2 ,P( x,y)为其上任一点 ,F1、F2 为左右焦点 ,O为坐标原点 ,| PF1| =r1,| PF2 | =r2 ,由双曲线的焦半径知 :r1.r2 =| a ex| .| a - ex|　 =| a2 - ex2 | =| a2 - 2 x2 |　 =| x2 - y2 - 2 x2 | =| - x2 - y2 |　 =x2 y2 =| OP| 2 .图 1解法 2　如图 1 ,由高中解几课本 P6例 2 (或叫三…     

数量积在解析几何中的应用举例

平面向量的数量积在处理长度、角度、垂直等问题时有独到之处。本文举例如下。例1 已知点(x,y)满足(x-3)2 (y 2)2=25,求6x-8y的最值。解构造向量利用a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|解题。设a=x-3,b=y 2,则a2 b2=25,6x-8y=6a-8b 34,     

Whc80部分的初步解决

对于函数 yi( x) =aix2 bix ci　 ( a1a2≠ 0 ,i =1 ,2 ) :研究两个二次函数迭加即y0 ( x) =y1( x) λy2 ( x)是否不变号 (定正或定负 )的判定性质时 ,杨之先生在文[1 ]Whc80中提出 :有无 y0 ( x)定号的简易判别或论证方法 ?多个函数迭加问题有无本质的区别 ?本文着手解决这个问题 .定理　对二次函数　 f1( x) =a1x2 b1x c1,　 f2 ( x) =a2 x2 b2 x c2 ,( ai,bi,ci ∈ R,i =1 ,2 ,a1a2 ≠ 0 ) ,存在λ使 f0 ( x) =f1( x) λf2 ( x)不变号 (定正或定负 ) ,当且仅当下列条件之一成立 :i)Δ1<0 ;　 ii)Δ2 <0 ;iii)Δ1=0 ,p =b1…     

争鸣

问　题　　问题 34　 在许多资料上 ,常看到关于方程ax=|logax| ( 0   

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P(x,y)到直线Ax By C=0距离为d=|Ax By C|/A~2 B~2,当P(x,y)在函数y=f(x)上时,该公式变为d=|Ax Bf(x) C|/A~2 B~2,本文通过引进函数y=f(x),借助该公式解决一些与函数相关的问题.1.求函数单调性例1求f(x)=|x 2-1-x2|的单调区间及单调性.分析把函数f(x)作为点线间距离,借助图象,看x变大时,该距离如何变?图1例1图解函数的定义域是-1≤x≤1,令y=1-x2,即x2 y2=1,y≥0.如图1,所以f(x)=|x 2-y|=|x 2-y|2×2,几何意义:半圆上动点M(x,y)到定直线l:x-y 2=0的距离的2倍.由图1知使OB⊥l时,B到l的距离最小,显然OB:y=-x,由x2 y2=1,(y≥0),y=-x,…     

反比例函数系数K与图形的面积

<正>同学们都知道,反比例函数系数k的几何意义为:如图1,过反比例函数y=k/x(k≠0)图像上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N,则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,三角形PON(或三角形POM)的面积S=|k|/2.那么它能帮助我们解决哪些常见的问题呢.     

求三角函数周期的一种方法

在三角函数中,求周期是一个重要内容,也是一个难点。在常见的一些题目中,如求y=|sinx| |cosx|,y=(1-sinx)~(1/2) (1 sinx)~(1/2)的周期等一类,学生做起来总觉得不顺手,掌握比较困难,为了使这类问题易于解决,不妨试用“不变量函数方幂法”。什么叫“不变量函数方幂法”呢? 定义若函数y=f(x)在定义域A上恒非负,或者恒非正,则称函数y=f(x)为A上的不变量函数。定理若函数y=f(x)是定义在A上的不变量函数,且y=f~a(x)也是A上的不变量函数(a为非零有理数),则函数y=f(x)与y=     

某些二阶系统正解的存在性

考察如下边值问题正解的存在性x″(t) λa(t) f (x(t) ,y(t) ) =0y″(t) λb(t) g(x(t) ,y(t) ) =0x(0 ) =x(1 ) =y(0 ) =y(1 ) =0其中 f ,g:R × R R ;a,b:[0 ,1 ] R .所有的函数都被假定是连续的 ,此外 f ,g满足某些增长性条件 .本文得到了一些正解的存在性结果 .     

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题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …