A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.

     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

Phase transitions and hysteresis in nonlocal and order-parameter models

The paper describes two types of regularization to the basic quasistatic double-well potential problem in one space dimension. One model features a spatially nonlocal term while the other incorporates the use of an order parameter. Some basic existence and regularity results for these modified models are derived and some numerical calculations that show hysteresis and motion of phase boundaries are presented.

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Sommario Il lavoro descrive due tipi di regolarizzazione del problema quasistatico per un potenziale con due minimi in una dimensione. Un modello evidenzia caratteri di non località spaziale, mentre l'altro conduce ad una teoria con parametro d'ordine. Si derivano alcuni risultati di esistenza e regolarità e si presentano alcuni studi numerici che mostrano l'isteresi e il moto delle frontiere tra le fasi.

     

On the role of the adjoint problem in dissipative,nonconservative problems of elastic stability

Summary The asymptotic stability of linear isotropic Kelvin-Voigt solids subjected to external damping and noncon-servative surface tractions which are linear functions of displacements and displacement gradients is considered. The boundary value problem that is adjoint to the original system is derived, and a variational principle from which these two boundary value problems may be generated is stated. The variational principle serves as a basis for an approximate method (similar to the Ritz method) for solving nonconservative stability problems in which the effects of internal and external damping are present. The method is applied to determine the value of the critical load intensity Q_cr in a cantilever and a clamped-simply supported beam subjected to a linearly distributed tangential load as well as to internal and external damping forces. Plots of the variation of Q_cr with the two damping parameters are given, and it is shown the nature of the boundary conditions can have a significant effect on the manner in which Q_cr varies as a function of the damping parameters.

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Sommario Si considera la stabilità asintotica di solidi isotropi e lineari di Kelvin e Voigt sollecitati da forze smorzanti proporzionali alla velocità e carichi superficiali non conservativi, i quali sono funzioni lineari di spostamenti e derivate di spostamenti. Si deduce il problema ai limiti che è aggiunto al sistema originario di equazioni di campo, e si imposta un principio variazionale dal quale si generano questi due problemi ai limiti. Il principio variazionale serve come base per un procedimento approssimato (simile al metodo di Ritz) per risolvere problemi non conservativi di stabilità elastica nei quali sono presenti gli effetti di smorzamento interno ed esterno. Si applica questo procedimento per constatare il valore critico del parametro dell'intensità del carico, Q_cr, in una mensola e una trave con un estremo incastrato e l'altro incernierato, caricate da una distribuzione continua di forze di modulo che varia linearmente con la coordinata di posizione e retta d'azione solidale con la deformata del l'asse della trave. Si mostrano grafici dell'andamento di Q_cr con i due parametri di smorzamento, e si nota che il tipo di vincolo alle estremità della trave può avere un effetto significante sulla maniera in cui Q_cr varia come una funzione dei parametri di smorzamento.

     

The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Finite-scale microstructures and metastability in one-dimensional elasticity

This paper addresses the non-uniqueness pointed out by Ericksen in his classical analysis of the equilibrium of a one-dimensional elastic bar with non-convex energy [1]. Following some previous work in this area, we suitably regularize the problem in order to investigate this degenerancy. Our approach gives an explicit framework for the the study of the rich variety offinite-scale equilibrium microstructures for the bar in a hard loading device, and their stability properties. In this way we clarify the role of interfacial energy in creating finitescale microstructures, by considering the combined effect of the oscillation-inducing and oscillation-inhibiting terms in the energy functional.

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Sommario Il lavoro riguarda la non unicità messa in luce da J.L. Ericksen nella sua analisi dell'equilibrio di barre elastiche con energia non convessa. Seguendo le linee di precedenti lavori, per investigare questa degenerazione si ricorre ad una regolarizzazione del problema e si dà un esplicito quadro di riferimento per lo studio della ricca varietà delle microstrutture di scala finita e della loro stabilità. Si chiarisce in particolare il ruolo dell'energia di interfaccia nella creazione di microstrutture di scala finita considerando l'effetto combinato di termini inibitori e favorevoli all'insorgere di oscillazioni nel funzionale energia.

     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Thermodynamic theory for porous piezoelectric materials

In the context of a temperature rate-dependent formulation of thermodynamics for porous piezoelectric materials, we derive the basic equations of the linear theory by discussing restrictions on constitutive equations with the help of an antropy production inequality proposed by Green and Laws. Some basic theorems concerning reciprocity and uniqueness are also established.

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Sommario Nell'ambito di una teoria della termoelasticità generalizzata si stabiliscono le equazioni di base per mezzi piezoelecttrici porosi. Si studiano, inoitre, alcuni teoremi di reciprocità e unicità.

     

Dynamics and wave propagation in dilatant granular materials

The equations of motion for dilatant granular material are obtained from a Hamiltonian variational principle of local type in the conservative case. The propagation of nonlinear waves in a region with uniform state is studied by means of an asymptotic approach that has already appeared useful in an investigation on wave propagation in bubbly liquids and in fluid mixtures. When the grains are assumed to be incompressible, it is shown that the material behaves as a continuum with latent microstructure.

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Sommario Si ricavano le equazioni di moto per i materiali granulari dilatanti da un principio variazionale Hamiltoniano di tipo locale nel caso conservativo. Si studia la propagazione delle onde non lineari in una regione di stato costante per mezzo di un approccio asintotico già rivelatosi utile nello studio della propagazione di onde nei liquidi con bolle e nelle miscele di fluidi. Quando si supponga che i granuli siano incomprimibili, si dimostra che il materiale si comporta come un continuo con microstruttura latente.

     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

A large displacement formulation for anisotropic beam analysis

Summary The displacement of a beam can be conveniently resolved into a roto-translational section displacement and a section warping. The correct second order approximation of the strain is deduced accounting for large displacements and thus for large rotations. On the basis of displacement method, both linear and nonlinear formulations are given: the first one leads to the elastic section properties and to the correct characterization of section warping; the second one leads to the so-called geometric section stiffness, accounting for prestress. Both formulations are general with respect to elastic material properties, thus allowing to deal with aniso-tropic and unhomogeneous cross-sections. Elastic and geometric section rigidities here proposed can then be easily used in second order problems on beam frames: either initial buckling eigenvalue analyses, either large displacement incremental analyses.

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Sommario E' conveniente scomporre lo spostamento di un punto di una trave in una rototraslazione della sezione cui appartiene e in uno spostamento che deforma la sezione (in-gobbamento). Si deduce la corretta approssimazione al second'ordine della deformazione per grandi spostamenti e quindi grandi rotazioni. Vengono presentate sia la formulazione lineare che quella non lineare, basate sul metodo degli spostamenti: dalla prima si ottengono le caratteristiche elastiche della sezione e la corretta caratterizzazione dell'ingob-bamento; dalla seconda la cosiddetta rigidezza geometrica della sezione che tiene conto dello stato di presforzo. Entrambe le formulazioni sono generali per quanto riguarda le proprietà del materiale elastico, potendosi così considerare anche sezioni anisotrope e non omogenee. Le caratteristiche di rigidezza elastica e geometrica della sezione possono quindi facilmente essere usate in problemi del second'ordine su strutture a travi: sia analisi agli autovalori della stabilità, sia analisi incrementali con grandi spostamenti.

     

Dislocation theory as a physical field theory

Dislocations are the elementary carriers in many situations of plastic flow. Since they can be seen, counted and typified, e.g. in the electron microscope, and since their presence changes the state of the (elastoplastic) medium, the dislocations have the status of a physical state quantity. In spite of this a continuum theory of elastoplasticity can be built up which does not use the concept of dislocation. However, disregarding the dislocations implies approximation, and this approximation is not always good, in spite of the smallness of the dislocation diameter (order atomic distance). It is discussed how a field theory of dislocations can be developed which takes full account of the dislocational degrees of freedom.

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Sommario In molte situazioni le dislocazioni sono i portatori puntiformi del flusso plastico. Poiché esse possono essere viste, contate e classificate, per esempio mediante il microscopio elettronico, e poiché la loro presenza cambia lo stato del mezzo (elastoplastico), le dislocazioni svolgono il ruolo di una variabile di stato. Nonostante ciò, si può formulare una teoria dell'elastoplasticità che non usa il concetto di dislocazione. Tuttavia, il trascurare le dislocazioni comporta un'approssimazione, e tale approssimazione non è sempre buona nonostante la piccolezza delle dislocazioni (dell'ordine della distanza interatomica). Si discute come si possasviluppare una teoria di campo delle dislocazione che tenga conto completo del loro grado di mobilità.

     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

On the derivation of the acoustic matrix for isotropic linearly elastic shells

In this paper, we obtain the modes and velocities of acceleration waves on a thin hyperelastic shell in terms of the second fundamental form, which represents the geometrical properties of the shell, and of seven elastic moduli derived from the velocities in a plate of the same material. Some examples are studied, and approximations obtained in the case of a shallow shell.

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Sommario In questo lavoro si ottengono i modi e le velocità delle onde di accelerazione in una volta sottile iperelastica, con riferimento alla seconda forma fondamentale che rappresenta le proprietà geometriche della volta e a sette moduli elastici derivati dalle velocità in una piastra dello stesso materiale. Si studiano alcuni esempi e si presentano soluzioni approssimate nel caso di una volta ribassata.

     

Natural frequencies of a non homogeneous isotropic elastic infinite plate of variable thickness resting on elastic foundation

Summary The dynamic free response of a nonhomogeneous isotropic elastic infinite plate of parabolically varying thickness resting on an elastic foundation has been studied. The frequencies, deflections and moments corresponding to the first five modes of vibration have been computed for the two combinations of boundary conditions, clamped-clamped (C-C) and clamped-simply supported (C-SS) and various values of taper constant, nonhomogeneity parameter and foundation modulus by applying the method of Frobenius for the solution of the governing differential equation of motion.

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Sommario Si sono studiate le oscillazioni libere di una piastra elastica infinita, non omogenea, isotropa, di spessore parabolicamente variabile, poggiata su un suolo elastico. Applicando il metodo di Frobenius per la soluzione della equazione differenziale del moto si sono calcolate le frequenze, le deformate ed i momenti corrispondenti ai primi cinque modi di vibrazione per due combinazioni di condizioni al contorno, incastro-incastro ed incastro-appoggio e diversi valori della rastremazione, del parametro di non omogeneità e del modulo del suolo.

     

Objective constitutive relations in elasticity and viscoelasticity

Summary The compatibility between the objectivity principle and affine constitutive equations for the elastic Cauchy and Piola-Kirchhoff stress tensors with non-zero residual stress is examined. It is found that the Cauchy stress is allowed to be only a constant tensor, proportional to the identity tensor, while the Piola-Kirchhoff stress may be a linear function on the deformation gradient thus generalizing previous results by Fosdick and Serrin. The same conclusions are arrived at also by starting from viscoelasticity. Finally, in the case of Maxwell-like materials, the solutions to the objective evolution equations are shown to be objective functionals.

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Sommario Si esamina la compatibilità tra il principio di obiettività ed equazioni costitutive affini per i tensori di stress elastici di Cauchy a Piola-Kirchhoff con stress residuo non nullo. Generalizzando risultati di Fosdick e Serrin si prova che il tensore di Cauchy può essere soltanto un tensore costante, proporzionale al tensore identità, mentre il tensore di Piola-Kirchhoff può essere una funzione lineare del gradiente di deformazione. Alle stesse conclusioni si perviene anche partendo dal funzionale della viscoelasticità. Infine si mostra che, per materiali tipo Maxwell, le soluzioni di equazioni di evoluzione obiettive sono funzionali obiettivi.

     

Limit analysis and design of structures having elements with random distribution of yield stresses,with associated and non-associated flow laws

Summary A generic structure is considered, made up of elements with rigid perfectly plastic standard material and random plasticity constant, however distributed around the average value. The limit load of structures having elements of average plasticity constant is shown to be greater than or equal to the average value of the limit loads of all the feasible structures, thus generalising a theorem [1] formulated for framed structures.The minimum volume of structures having elements of average plasticity constant is then shown to be less than or equal to the average value of the minimum volumes of all the feasible structures. Then the earlier theorems are extended to take in non standard materials.

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Sommario Si considera una generica struttura composta da elementi di materiale rigido-plastico standard a costante di plasticità aleatoria e comunque distribuita attorno al valor medio.Si dimostra che il carico di collasso della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è maggiore o uguale al valor medio dei carichi limite di tutte le strutture possibili, generalizzando un teorema [1] formulato per le travature reticolari. Si dimostra poi che il minimo volume della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è minore o uguale al valor medio dei minimi volumi di tutte le strutture possibili. Si estendono quindi i teoremi precedenti al caso di materiali non standard.

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This work has been sponsored by C.N.R. (the Italian Council of Research).     

Estimating the domain of attraction of a stable equilibrium state for certain delayed differential systems of order two

Summary We discuss the influence exerted on the stability of an equilibrium state of a second order differential-difference system by the delays existing in the coupling terms of the two system equations. On certain hypotheses an asymptotic stability condition is determined which is independent of the magnitude of delays but dependent on the magnitude of coupling. A simple method for constructing regions belonging to the domain of attraction of the considered equilibrium state is developed. Several alternative constructions and applications are discussed in detail.

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Sommario Viene discussa l'influenza che sulla stabilità ai uno stato di equilibrio di un sistema differenziale alle differenze di secondo ordine banno i ritardi incorporati nei termini di accoppiamento fra le due equazioni del sistema. Si mostra come sotto opportune ipotesi si possa determinare una condizione di stabilità asintotica che non dipende dall'entità dei ritardi, mentre dipende da quella degli accoppiamenti, e si propone un metodo semplice e flessibile per costruire regioni contenute nel dominio di attrazione dello stato di equilibrio considerato. Si discutono in dettaglio numerose costruzioni alternative ed applicazioni.

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On leave of absence from CYFRONET, Institute of Nuclear Research, Swierk k/Otwocha, Poland.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

The problem of the rotating plate

Summary The problem of determining stresses and displacements in a homogeneous rectangular plate rotating at constant angular speed about the barycentric axis, perpendicular to the plane of the plate, is considered. It is shown that this problem, if one assumes that the material is linear elastic with Poisson's ratio v, exhibits the same mathematical difficulties as the well-known problem of the rectangular plate subjected to parabolically-distributed tensile stress at two opposite sides.At difference from other methods employed in the past, a kind of solution based on biharmonic polynomials is proposed. This solution satisfies one boundary-condition exactly. The remaining three are satisfied in the mean. An evaluation of the error is performed.

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Sommario Dal punto di vista della teoria dell'elasticità infinitesima si studia il problema della determinazione della tensione e della deformazione di una lamina rettangolare omogenea rotante con velocità angolare costante attorno all'asse baricentrico perpendicolare al piano della lamina stessa. Si dimostra che questo problema, se si vuole tenere conto del fattore di Poisson v, presenta le stesse difficoltà del ben noto problema della lamina rettangolare soggetta a forze con andamento parabolico su due lati opposti. In alternativa ai metodi già utilizzati in passato in casi come questo, si propone un tipo di soluzione basata su polinomi biarmonici che soddisfano esattamente solo una delle quattro condizioni al contorno. Le rimanenti tre sono soddisfatte in media. Si effettua una stima dell'errore.