An existence and uniqueness theorem in linear elastodynamics

Summary Laplace transform with respect to time is applied to the boundary-initial-value problem of linear elastodynamics in order to produce a simpler elliptic boundary-value problem. Existence and uniqueness of the weak solution of the latter problem are proved.

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Sommario Si studiano le questioni di esistenza e unicità per il problema al contorno di tipo ellittico che risulta dalla trasformazione secondo Laplace rispetto al tempo del problema nei valori iniziali e al contorno della elastodinamica lineare.

     

Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

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Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

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This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

On the extremal properties of the solution in dynamics of rigid-viscoplastic bodies allowing for large displacement effects

Summary This paper discusses the dynamics of rigid-viscoplastic bodies, bearing in mind large displacement effects. The extremal properties of the incremental solution of the dynamic problem are demonstrated. It is shown that the true instantaneous acceleration field minimizes some quadratic functionals in a class of functions constrained by linear equations and inequalities.It is also shown that, by idealizing the body as an assemblage of finite elements, the above principles reduce the problem to the solution of a classical quadratic programming problem that can be solved by several well-known efficient algorithms. Thus a general purpose finite element program for the dynamic analysis of rigid-viscoplastic structures can be derived by using the concepts shown in this paper.

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Sommario Viene discusso il problema della dinamica delle strutture rigido plastiche nel campo dei grandi spostamenti. Vengono dimostrate le proprietà estremali della soluzione incrementale dimostrando che il campo di accelerazioni minimizza alcuni funzionali quadratici in una classe di funzioni vincolata dal rispetto di opportune condizioni di eguaglianza e disegnaglianza lineare. Discretizzando il corpo col metodo degli elementi finiti, i suddetti principi riportano il problema nel campo della programmazione quadratica e consentono quindi di utilizzare i ben noti ed efficienti algoritmi numerici di soluzione dei detti problemi. Si sottolinea quindi come, avvalendosi dei concetti esposti in questo lavoro, si possa pervenire a programmi di calcolo numerico del tutto generali per la soluzione del problema in questione.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

Wave scattering from biased elastic dielectrics

The scattering of harmonic transverse waves is studied in a layered solid half-space which is prestressed and electrically biased. Electromechanic modes propagating normally to the stratification planes are analyzed using a wave-splitting method and a sufficient condition is derived for the existence of the solution. The invariant imbedding technique is employed to obtain a differential equation for the reflectivity matrix. This equation is exploited to formulate the inverse problem whose solution is presented in an iterative form. A useful result is then established about the convergence of the series so determined.

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Sommario Si studia la propagazione di onde armoniche trasversali in un semispazio occupato da un dielettrico elastico stratificato, soggetto a prestress ed elettricamente polarizzato. Si analizzano in particolare i modi elettromeccanici che si propagano normalmente ai piani di stratificazione facendo uso del metodo di wave-splitting e ottenendo una condizione sufficiente per l'esistenza della soluzione. Si riformula poi il problema mediante una equazione di Riccati per la matrice dei coefficienti di riflessione al fine di presentare una soluzione iterativa per il problema inverso. Si dimostra un utile risultato sulla convergenza di questa soluzione.

     

The Kuhn-Tucker relations as variationality testing conditions for unilaterally-constrained extremum problems

Summary To each unilaterally constrained quadratic extremum operational problem may be associated an integrability or variationality condition which follows from the corresponding Lagrangian functional. The variationality test for the admissible solution is satisfied if, and only if, the corresponding Kuhn-Tucker relations are met.If such is the case, the posed problem allows for a variational formulation with respect to the only admissible solutions.

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Sommario Si dimostra che a ciascun problema operazionale quadratico di minimo, a vincoli unilateri o bilateri, può associarsi una condizione di integrabilità derivabile dalla corrispondente lagrangiana.Il test di integrabilità della soluzione ammissibile è soddisfatta se e solo se, in condizioni di continuità e differenziabilità della lagrangiana, sono soddisfatte le condizioni di Kuhn-Tucker. Se questo è il caso, il posto problema ammette formulazione variazionale rispetto alle sole soluzioni ammissibili dell'associata formulazione programmatica primale-duale.

     

Some extremum theorems for the elastoplastic boundary value problem in the presence of large displacements

Summary The incremental boundary value problem for elastoplastic work-hardening continua, is discussed in the presence of large displacements but small strains, and allowing for distributed dislocations.Associated flow laws are assumed, as is the occurrence of interaction between yielding modes in singular points of the yield surface.Four extremum theorems are proved which reduce the problem to the optimization, under linear constraints, of convex quadratic forms (of a non linear form for the third theorem).Finally some results are specialized to small displacements and perfectly plastic (non hardening) cases.

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Sommario Si discute della soluzione incrementale del problema elastoplastico con incrudimento nel campo dei grandi spostamenti (ma con piccole deformazioni intrinseche), ed in presenza di distorsioni distribuite.Si assumono leggi costitutive del tipo associato, ammettendo la possibilità di interazione tra i modi plastici in corrispondenza dei punti singolari della superficie di snervamento.Si dimostrano quattro proprietà di minimo della soluzione; esse riconducono il problema alla ottimizzazione di funzionali convessi (quadratici tranne che nel caso del terzo teorema) vincolata da equazioni e diseguaglianze lineari.Si specializzano infine alcuni risultati al caso dei piccoli spostamenti e della elastoplasticità senza incrudimento.

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This study forms part of a research programme supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R., Gruppo Plasticità).     

Uniqueness in boundary/initial value problems for a thermoviscoelastic solid of integral type

A general boundary/initial value problem for a linear thermoviscoelastic solid of integral typs is posed, and a uniqueness theorem is proved which holds for both bounded and unbounded domains. In the latter case we do not impose conditions on the behaviour of the unknown fields at infinity. Mild definiteness hypotheses on the initial values of the relaxation functions are assumed throughout.

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Sommario Dopo aver formulato un problema ai limiti generale per solidi lineari termoviscoelastici di tipo integrale, si stabilisce un teorema di unicità della soluzione valido per domini limitati e per domini illimitati. In questo secondo caso non viene imposta alcuna condizione sul comportamento all'infinito delle variabili di campo; si suppongono verificate solamente certe deboli condizioni di segno sui valori iniziali di alcune funzioni di rilassamento.

     

A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.

     

Minimal cost in elasto-plastic structures

Summary From a general point of view, the problem of the optimization with respect to bending plastic collapse is studied for mono and bidimensional structures, subjected to fixed or variable loads. The conditions of existence and uniqueness of the solutions and those for the dual problem formulation are found. The mathematical properties enable us to point out some physical aspects of the problem. Some remarks on the beam and plate cases follow. At last the possible numerical applications are mentioned, pointing out their formal aspects.

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Sommario Si affronta da un punto di vista generale il problema dell'ottimizzazione nei confronti del collasso plastico a flessione di strutture mono e bidimensionali soggette a carichi fissi e variabili. Si trovano le condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione e per la formulazione del problema duale. Le proprietà matematiche così discusse permettono di mettere in luce alcuni aspetti fisici del problema. Seguono alcune osservazioni sui casi della trave e della piastra. Si accenna infine alle possibili applicazioni numeriche mettendo in luce i relativi aspetti formali.

     

The constrained elastic beam

Summary The theory of variational inequalities is applied to the problem of equilibrium of a constrained elastic beam. Existence, unicity and regularity of solutions are discussed.

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Sommario La teoria delle disequazioni variazionali è applicata al problema dell'equilibrio della trave elastica soggetta a vincoli. Si trattano le questioni di esistenza, unicità e regolarità della soluzione.

     

The dynamical problem of an elastic plate resting on a two-parameter foundation which does not react in tension

Summary This paper analyzes the dynamic problem of an elastic plate which is unilaterally constrained by a two-parameter foundation of Pasternak of Hetényi type. It is assumed that no friction exists at the area of contact. A regularizing technique has been used both in formulating the problem and in the subsequent discussion. Some results of existence and uniqueness of the solution are given. In the application example described, a finite element approach is used to numerically analyze an axisymmetric circular plate. From the numerical results obtained, it can be observed how the solution is influenced by the principal parameters involved.

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Sommario Il lavoro esamina il problema dinamico di una piastra elastica vincolata unilatepalmente su una fondazione a due parametri del tipo Hetényi o Pasternak. Il contatto è supposto privo di attrito. Il problema viene formulato e discusso mediante una tecnica di regolarizzazione: se ne forniscono alcuni risultati relativí all'esistenza ed unicità della soluzione. In particolare si analizza dal punto di vista numerico mediante discretizzazione agli elementi finiti il caso di una piastra circolare assialsimmetrica. I risultati numerici mostrano l'influenza sulla soluzione dei principali parametri da cui essa dipende.

     

Continuation of the solution of a free boundary problem in cylindrical symmetry

Summary We perform an a priori analysis of the behavior of the solution to a Stefan type free boundary problem in cylindrical symmetry, in arbitrarily large time intervals; a nonlinear flux condition is prescribed on the fixed boundary, for t>0.Next we find some relations between the occurrence of each possible case and the behavior of the initial datum, assuming that the flux is null on the fixed boundary for t>0.

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Sommario Si esegue un'analisi a priori del comportamento, in intervalli di tempo arbitrariamente grandi, della soluzione di un problema a frontiera libera del tipo di Stefan in simmetria cilindrica; sulla frontiera fissa, per t>0, è stabilita una condizione di flusso non lineare.Si trovano quindi relazioni tra i vari casi possibili e il comportamento del dato iniziale, sotto l'ulteriore ipotesi che il flusso sulla frontiera fissa, per t>0, sia nullo.

     

Uniquencess for the penny-shaped crack equilibrium problem in linear elasticity

Two uniqueness theorems for the equilibrium problem of an elastic body containing a circular crack (penny-shaped crack) are proved.

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Sommario Si dimostrano due teoremi di unicità per il problema al contorno associato all'equilibrio di un corpo elastico tridimensionale contenente una fessura circolare.

     

Nonasymptotic solution for antiplane cracks

The nonasymptotic stress and displacement fields, in other words, those valid for points far from the crack tip, are determined for cracks under antiplane strain condition. The solution of the problem is obtained by using the Mellin transform and the calculus of residues. Finally, the stress distribution along the crack plane is compared with that provided by the classic asymptotic solution.

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Sommario Per fessure in condizione di deformazione antipiana si calcolano i campi di spostamento e di tensione non asintotici, validi cioè anche per punti distanti dall'apice della fessura. La soluzione del problema è ottenuta impiegando la trasformata di Mellin e la teoria dei residui. Infine, la distribuzione di tensione lungo il piano della fessura viene confrontata con quella fornita dalla soluzione classica asintotica.

     

On uniqueness for the displacement problem in the dynamical theory of elasticity

By means of a weighted form of Garding's inequality, we prove a uniqueness theorem for the initial boundary value problem of finite elastodynamics in unbounded domains.

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Sommario Mediante un'opportuna forma pesata della disuguaglianza di Garding, che ricaviamo preliminarmente, dimostriamo un teorema di unicità per il problema degli spostamenti in elastodinamica non lineare relativo a corpi occupanti regioni non limitate dello spazio.

     

Buckling of a cylindrical shell subject to a wrench

We examine the axisymmetric buckling of a generalized Kirchhoff cylindrical shell under an axial wrench. If the shell is non-linear elastic, we provide a boundary value problem amenable to the bifurcation theory of Poincaré. Using this theory we prove a non-uniqueness theorem and obtain the critical loads and critical states. In the hyperelastic case, by exploiting the variational character of the problem, a global existence and non-uniqueness theorem is also proved.

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Sommario Viene esaminato un problema di buckling per un guscio cilindrico, del tipo di Kirchhoff generalizzato, sotto un carico ai bordi di trazione-torsione. Nel caso elastico non lineare, si perviene ad un problema ai valori al contorno, cui si può applicare la teoria delle biforcazioni di Poincaré. In tal modo si dimostra un teorema di non unicità della soluzione e si ottengono i punti di biforcazione e i carichi critici. Nel caso iperclastico, facendo ricorso all'aspetto variazionale del problema, viene dimostrato un teorema globale di esistenza e non unicità della soluzione.

     

Stefan — like problems with space — dependent latent heat

Summary A wide class of one-dimensional heat conduction problems with phase change is considered on the assumption that the latent heat is a given function of the position of the separation plane between the two phases: L=[s(t)].Some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution in a given time-interval are given. This work permits the generalization of some previous results and the investigation of some cases of particular interest.

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Sommario Si studia una vasta classe di problemi di conduzione unidimensionale del calore in presenza di cambiamento di fase, nel caso in cui il calore latente sia funzione della posizione del fronte di separazione tra le due fasi: L=[s(t)].Si trovano delle condizioni sufficienti per l'esistenza e la unicità della soluzione del problema in un certo intervallo di tempo; si mostra infine che la trattazione permette di generalizzare risultati già noti e di estendere lo studio a casi di particolare interesse.

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Work performed within the Research Group (Grant. no. 115.2210) of the C.N.R.     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

On the global solutions to two-phase nonequilibrium problems

In this paper, we consider a Stefan-like problem with a kinetic condition on the free boundary, i.e. a two-phase nonequilibrium problem in one dimension, and prove that it has a unique classical and global solution under some conditions. We also investigate the travelling wave solutions.

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Sommario In questo lavoro si considera un problema tipo Stefan con una condizione cinetica sul bordo libero, cioc' un problema di non equilibrio a due fasi in una dimensione. Si dimostra che, sotto opportune condizioni, il problema ammette una unica soluzione globale di tipo classico. Sono altresi' analizate soluzioni ad onde viaggianti.

     

On three dimensional transient wave motions on a running stream

Summary This paper considers the three-dimensional transient wave motions in a fluid produced by a moving oscillatory disturbance of frequency acting on the free surface of the fluid. The problem is treated as an initial value problem and is solved by the joint Laplace-Fourier transform method combined with the asymptotic treatment for the double Fourier inversion integrals. The explicit representation of the steady state as well as the transient solution of the problem is presented. It is shown that the ultimate steady is set up in the limit. A brief discussion on the principal behaviour of the wave motions is made.

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Sommario Si considerano i moti ondosi transitori tridimensionali prodotti in un fluido da una eccitazione oscillatoria, in movimento, di frequenza che agisce sulla superficie libera. Il problema è trattato come problema di valori iniziali e viene risolto con il metodo della trasformata congiunta di Laplace-Fourier combinata con il trattamento asintotico per gli integrali doppi di inversione di Fourier. Si espone la rappresentazione in forma esplicita della soluzione di regime e di quella transitoria. Si dimostra che la condizione finale di regime viene stabilita nel passaggio al limite. Si esegue una breve discussione del principale comportamento del moto ondoso.