Rainstorm statistics conditional on soil moisture index: Temporal and spatial characteristics

Soil moisture is the primary hydrological state variable that controls and it is controlled by land surface processes. Assessment of feedback mechanisms between land surface and the atmosphere must involve soil moisture. The Midwestern region of the United States is used as a case example in the preliminary investigations on the hypothesis that the structure and development of storm events are influenced by soil moisture conditions. In particular we deal with the antecedent soil moisture condition influence on storm precipitation amounts and interstorm durations. The analysis based on observations indicates that when the soil moisture is low, the ensuing interstorm duration and drying period is anomalously long. We also show that storm precipitation amounts are larger when the antecedent soil moisture is anomalously high. This finding supports the hypotheses that the Summer 1993 floods over Midwestern United States were partially forced by moist antecedent conditions.

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Sommario L'umidità del suolo è la variabile idrological di stato primaria che controlla ed è a sua volta controllata dai processi sulla superficie del terreno. La quantificazione dei meccanismi di retroazione fra superficie del terreno ed atmosfera deve comprendere l'umidità del suolo. La regione centro-occidentale degli Stati Uniti è usata come esempio in uno studio preliminare sull'ipotesi che la struttura e lo sviluppo di eventi di precipitazione siano influenzati dalle condizioni di umidità del suolo. In particolare, viene considerata l'influenza delle condizioni antecedenti di umidità del suolo sulle quantità di precipitazione e gli intervallamenti dei vari eventi. Le analisi basate sulle osservazioni indicano, che quando l'umidità del suolo è bassa, il periodo secco di attesa della pioggia successiva è più lungo del normale. Viene anche mostrato che le quantità di precipitazione sono maggiori quando l'umidità del suolo nel periodo antecedente è più alta del normale. Questo risultato supporta l'ipotesi secondo la quale le alluvioni dell' estate del 1993 negli Stati Uniti centro-occidentali furono parzialmente causate dalle condizioni antecedenti di umidità del suolo.

     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

Soil moisture profiles from multifrequency radar data at basin scale

Multifrequency radar data are used to investigate the possibility offered by microwave remote sensing in estimating soil moisture on bare soil fields. Surface soil moisture values obtained from the inversion of a theoretical scattering model for the MAC-Europe '91 airborne campaign are compared with sampled ground measures of soil moisture for the Virginiolo experimental catchment (Tuscany, Italy). The radar signal penetration depth is then analysed for the examined fields comparing soil moisture values measured at two different depths and simulated values retrieved from the inverted radar data at different frequencies. The experienced soil moisture exfiltration profiles are detected by the radar signal in L and P band.

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Sommario Misure a microonde attive (radar) in multifrequenza e valori misurati di umidità del suolo sono stati utilizzati per analizzare la profondità di penetrazione del segnale radar e la relativa possibilità di stimare il profilo di umidità verticale. Un modello teorico di scattering è stato utilizzato per ricavare dai dati radar relativi alle bande di frequenze C (5.3 GHz), L (1,25 GHz), e P (0.44 GHz) i valori di costante dielettrica del suolo ed il corrispondente contenuto d'acqua. I dati analizzati, relativi al bacino sperimentale del Virginiolo (Toscana), sono stati acquisiti durante la campagna di misura MAC-Europe '91. La penetrazione del segnale radar nel suolo è stata analizzata confrontando i valori ottenuti dall'inversione del segnale radar alle diverse frequenze. La stima da sensore remoto del contenuto idrico alle due profondità esaminate ha evidenziato la potenzialità applicativa della metodologia implementata per la determinazione dei profili di exfiltrazione nel suolo.

     

Unilateral transmission joints with friction elastic rings

Summary Frictional couplings, transmitting torque in only one direction, are studied in order to find the maximum value of the transmissible torque. For this purpose, the elastic equilibrium configuration of the helical spring interposed between driver and driven shafts is analyzed, and relations between the geometrical and dynamical parameters are found. The results are obtained through numerical calculations and tabulated for different values of the influencing physical factors.

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Sommario Sono studiati accoppiamenti per attrito atti a trasmettere coppie torcenti in una sola direzione; per tali accoppiamenti si determina il valor massimo della coppia trasmissibile.A tale scopo, viene analizzata la configurazione di equilibrio elastico della molla elicoidale interposta tra gli alberi motore e condotto, e sono ottenute le relazioni che collegano parametri geometrici e dinamici.I risultati sono ottenuti attraverso calcoli numerici, e sono tabulati per differenti valori dei fattori fisici influenti sul funzionamento del giunto.

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This research was presented at the Euromech 22 Colloquium on Mechanisms, held at Newcastle (U.K.) in September, 1970.     

The displacements solution for steady-state longitudinal vibrations of segment-wise inhomogeneous elastic rods

Summary The Laplace Integral Transform is used to construct the displacements, solution for steady-state vibrations of an inhomogeneous elastic rod made up of n, (n2) homogeneous elastic segments of the same cross section. The method consists in determining the displacements function of the inhomogeneous rod for zero initial conditions and for displacements type superimposed boundary conditions, with the residues calculated for the poles of the Laplace images of the ends boundary conditions. The correctitude of the constructed solution is then proved and several examples are given to illustrate the method (harmonic end excitations are included).

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Sommario Si usa la trasformata integrale di Laplace per costruire gli spostamenti soluzione del problema delle vibrazioni stazionarie di una barra elastica non omogenea fatta di n, (n2) segmenti elastici omogenei di uguale sezione. Il metodo consiste nel determinare la funzione per gli spostamenti della barra non omogenea in corrispondenza di condizioni iniziali nulle e per sovrapposte condizioni al contorno del tipo spostamento, coi residui calcolati per i poli delle immagini di Laplace delle condizioni al contorno agli estremi. Si dimostra poi la correttezza della soluzione costruita e si danno diversi esempi per illustrare il metodo (comprese le armoniche e le eccitazioni).

     

Elastic wave interaction with a cracked quarter-plane

Summary The elastodynamic interaction between explosively generated body and surface wave and an edge crack in a quarter-plane is investigated. Dynamic photoelasticity was employed to obtain full-field information for data analysis. Measurements of the stress distribution along the free boundaries of the quarter-plane and along the crack walls have been made. Stress intensity distributions at both, the corner and the flaw tip and surface stress distributions for the diffracted and reflected Rayleigh-waves were obtained in the region near the cracked corner.

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Sommario Si studia l’interazione elastodinamica tra onde di volume e di superficie ed una fessura su un bordo in un quarto di piano. Si è fatto uso della fotoelasticità dinamica per ottenere un’informazione completa sull’analisi dei dati. Si sono effettuate misure della distribuzione di sforzo lungo i contorni liberi del quarto di piano ed i contorni della fenditura. Si sono ottenute le distribuzioni d’intensità di sforzo sia nell’angolo che nell’estremità difettosa e le distribuzioni superficiali di sforzo per le onde di Rayleigh diffratte e riflesse nella regione dell’angolo crepato.

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A large displacement formulation for anisotropic beam analysis

Summary The displacement of a beam can be conveniently resolved into a roto-translational section displacement and a section warping. The correct second order approximation of the strain is deduced accounting for large displacements and thus for large rotations. On the basis of displacement method, both linear and nonlinear formulations are given: the first one leads to the elastic section properties and to the correct characterization of section warping; the second one leads to the so-called geometric section stiffness, accounting for prestress. Both formulations are general with respect to elastic material properties, thus allowing to deal with aniso-tropic and unhomogeneous cross-sections. Elastic and geometric section rigidities here proposed can then be easily used in second order problems on beam frames: either initial buckling eigenvalue analyses, either large displacement incremental analyses.

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Sommario E' conveniente scomporre lo spostamento di un punto di una trave in una rototraslazione della sezione cui appartiene e in uno spostamento che deforma la sezione (in-gobbamento). Si deduce la corretta approssimazione al second'ordine della deformazione per grandi spostamenti e quindi grandi rotazioni. Vengono presentate sia la formulazione lineare che quella non lineare, basate sul metodo degli spostamenti: dalla prima si ottengono le caratteristiche elastiche della sezione e la corretta caratterizzazione dell'ingob-bamento; dalla seconda la cosiddetta rigidezza geometrica della sezione che tiene conto dello stato di presforzo. Entrambe le formulazioni sono generali per quanto riguarda le proprietà del materiale elastico, potendosi così considerare anche sezioni anisotrope e non omogenee. Le caratteristiche di rigidezza elastica e geometrica della sezione possono quindi facilmente essere usate in problemi del second'ordine su strutture a travi: sia analisi agli autovalori della stabilità, sia analisi incrementali con grandi spostamenti.

     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Transverse vibrations of cylindrical helical springs

Summary In this paper we have calculated the natural frequencies of the transverse vibrations of cylindrical helical springs, with respect to the variation in slenderness and relative compression. The calculation was made by considering the spring as a constant-section beam, and by applying Timoshenko theory to the latter. The theoretical section of this paper is an extension of Haringx's work on the same subject, not so much because it studies natural modes higher than the first (a problem which was treated by Haringx), but rather because its more general approach to the transverse vibrations phenomenon raises problems of results' interpretation that this Author did not face. The calculated values of natural frequencies and the corresponding deflection curves have been compared with experimentally determined values. In the course of experimentation Thickness-shear modes were visualized, which Timoshenko theory takes into account, but which, as far as beams are concerned, are not detectable.

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Sommario Sono state calcolate le frequenze naturali delle vibrazioni laterali delle molle ad elica cilindrica con estremi incastrati, al variare della snellezza e del precarico. Il calcolo è stato effettuato assimilando la molla ad una trave a sezione costante, ed applicando a questa la teoria di Timoshenko.La parte teorica del presente studio è una estensione del lavoro di Haringx sullo stesso argomento, non tanto perché in esso sono stati considerati modi di vibrare superiori al primo (problema questo trattato dall'Haringx), quanto per il fatto che una visione più generale del fenomeno delle vibrazioni laterali pone problemi di interpretazione dei risultati, non affrontati da questo Autore.I valori calcolati delle frequenze naturali e le corrispondenti linee elastiche sono stati confrontati con quelli determinati sperimentalmente. Nel corso della sperimentazione è stato possibile visualizzare modi di vibrare caratteristici (Thickness-shear modes) previsti dalla teoria di Timoshenko, ma non osservabili nel caso delle travi.

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Research sponsored by the National Research Committee (C.N.R.). Paper presented during the: Incontro di studio «Metodi classici e moderni per lo studio delle vibrazioni di sistemi dinamici», Università di Padova, maggio 1976.     

A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

On the problem of the elastic plate on one-sided foundation

Summary Solution existence, uniqueness and regularity are analyzed for the elastic plate on unilateral elastic foundation problem. Some results are also given for the one-sided rigid foundation case.

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Sommario Si studiano l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni del problema della piastra elastica su fondazione elastica unilaterale. Sono anche dati alcuni risultati per il caso di fondazione rigida unilaterale.

     

Unilateral contact between a plate and an elastic foundation

Summary The unilateral frictionless contact between a plate and an elastic subgrade is examined. The foundation is modeled as an elastic half-space or as a Winkler subgrade. The variational formulations more convenient to get approximate solutions are presented. Furthermore the results of a numerical investigation relative to an axisymmetric circular plate are given.

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Sommario Si analizza il problema di contatto unilaterale senza attrito tra una piastra e una fondazione elastica. Per la fondazione si esaminano i modelli di semispazio elastico e di suolo alla Winkler.Vengono presentate le formulazioni variazionali più convenienti ai fini dell'approssimazione delle soluzioni col metodo degli elementi finiti e si illustrano alcuni risultati di un'indagine numerica per il caso di piastra circolare con carico assialsimmetrico.

     

Vortex breakdown: Transition between bubble- and spiral-type breakdown

Depending on volume flux, flow visualizations in a water tunnel showed bubble-, spiral-type breakdown, and periodic transition between both. The initiation and development of bubble-type breakdown can be explained by a nonlinear feedback model. A growing asymmetry of the circumferential vorticity distribution leads to the transition to spiral-type. These conjectures are supported by experiments in which an artificially generated vortex ring induced initiation of bubble- and transition to spiral-type breakdown. To simulate vortex breakdown Navier-Stokes equations for three-dimensional, unsteady, and incompressible flows were solved. A comparison between experimental and numerical flow visualizations showed a good agreement.

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Sommario La visualizzazione del flusso in una galleria idrodinamica mostra, a seconda della portata volumetrica, una rottura delle linee vorticose di tipo a bolle, a spirale oppure una transizione periodica tra queste due. L'inizio ed il successivo sviluppo del fenomeno di rottura a bolla può venire spiegato attraverso un modello non lineare. Successivamente, all'aumentare dell'asimmetria nel profilo della vorticità circonferenziale, si ha la transizione alla rottura a spirale. Queste ipotesi vengono confermate dagli esperimenti in cui l'insorgere di ciascun tipo di rottura viene indotto attraverso un anello vorticoso generato artificalmente. Per analizzare il fenomeno della rottura delle linee vorticose sono state risolte le equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile, tridimensionale, non stazionario. I risultati numerici ottenuti si sono mostrati in buon accordo con le visualizzazioni sperimentali.

     

On the role of the adjoint problem in dissipative,nonconservative problems of elastic stability

Summary The asymptotic stability of linear isotropic Kelvin-Voigt solids subjected to external damping and noncon-servative surface tractions which are linear functions of displacements and displacement gradients is considered. The boundary value problem that is adjoint to the original system is derived, and a variational principle from which these two boundary value problems may be generated is stated. The variational principle serves as a basis for an approximate method (similar to the Ritz method) for solving nonconservative stability problems in which the effects of internal and external damping are present. The method is applied to determine the value of the critical load intensity Q_cr in a cantilever and a clamped-simply supported beam subjected to a linearly distributed tangential load as well as to internal and external damping forces. Plots of the variation of Q_cr with the two damping parameters are given, and it is shown the nature of the boundary conditions can have a significant effect on the manner in which Q_cr varies as a function of the damping parameters.

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Sommario Si considera la stabilità asintotica di solidi isotropi e lineari di Kelvin e Voigt sollecitati da forze smorzanti proporzionali alla velocità e carichi superficiali non conservativi, i quali sono funzioni lineari di spostamenti e derivate di spostamenti. Si deduce il problema ai limiti che è aggiunto al sistema originario di equazioni di campo, e si imposta un principio variazionale dal quale si generano questi due problemi ai limiti. Il principio variazionale serve come base per un procedimento approssimato (simile al metodo di Ritz) per risolvere problemi non conservativi di stabilità elastica nei quali sono presenti gli effetti di smorzamento interno ed esterno. Si applica questo procedimento per constatare il valore critico del parametro dell'intensità del carico, Q_cr, in una mensola e una trave con un estremo incastrato e l'altro incernierato, caricate da una distribuzione continua di forze di modulo che varia linearmente con la coordinata di posizione e retta d'azione solidale con la deformata del l'asse della trave. Si mostrano grafici dell'andamento di Q_cr con i due parametri di smorzamento, e si nota che il tipo di vincolo alle estremità della trave può avere un effetto significante sulla maniera in cui Q_cr varia come una funzione dei parametri di smorzamento.

     

Stability,buckling, and postbuckling of elastic structures

Summary This paper is the continuation of a research on the stability and postbuckling behaviour of elastic structures; in the first Part [n. 4, Vol. X, 1975 of this Journal], the potential energy of elastic tridimensional bodies has been defined in a suitable configuration space, and its properties of regularity have been studied. According to the program given in the previous Paper, we examine now the potential energy functional for some monodimensional and bidimensional structural models. Then the Part II of this research is developed so that the Liapunov stability of the equilibrium configuration of continuous elastic structures is analyzed by means of suitable energy criteria.

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Sommario Questo lavoro costituisce il proseguimento di uno studio sulle stabilità e comportamento postcritico delle strutture elastiche; nel precedente lavoro, pubblicato sul n. 4, vol. X, 1975 di questa rivista, è stato esaminato il problema della definizione dell'energia potenziale di un corpo elastico tridimensionale in un opportuno spazio funzionale delle configurazioni, e sono state esaminate le proprietà di regolarità di questo funzionale. Proseguendo il programma formulato nel lavoro precedente, viene ora innanzitutto completato lo studio del funzionale energia potenziale con riferimento a modelli strutturali mono e bidimensionali. Viene poi sviluppata la Parte II e cioè l'analisi della stabilità secondo Liapunov di una configurazione di equilibrio attraverso opportune formulazioni dei criteri dell'energia.

     

Flexural instabilities of elastic rods

In the framework of Antman's theory of elastic rods, it is shown that the behavior of a rod subject to end couples is ruled by a non-linear ordinary differential equation whose solutions describe the instability phenomena observed in severe bending tests of tubes, such as ovalization and necking of the cross section.

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Sommario Nell'ambito della teoria di Antman per le travi elastiche, si mostra che il comportamento di una trave soggetta a coppie concentrate agli estremi è regolato da un'equazione differenziale ordinaria non lineare, le cui soluzioni descrivono fenomeni di instabilità osservati nelle prove di grande flessione di tubi, quali l'ovalizzazione e la strizione della sezione trasversale.

     

Generalized wavefront expansion properties and limitations

Summary The properties of an asymptotic method for the study of the propagation of weak shock waves in hyperbolic systems are examined in detail in the simple case of the single nonlinear wave equation in one space dimension. The general features of the method are briefly recalled and a comparison between the results obtained by this method and the exact solutions obtained by the shockfitting technique is made. Under appropriate regularity assumptions the method provides an approximation of the exact solution of the desired order for short times.

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Sommario Le proprietà di un metodo asintotico per lo studio della propagazione di onde d'urto deboli in sistemi iperbolici sono esaminate in dettaglio nel semplice caso della singola equazione d'onda non lineare in una dimensione spaziale. Sono richiamate brevemente le caratteristiche generali del metodo e viene fatto un confronto fra i risultati ottenuti con questo metodo e le soluzioni esatte ottenute con la tecnica dello shock-fitting, Sotto opportune ipotesi di regolarità il metodo fomisce una approssimazione della soluzione esatta, all'ordine desiderato per piccoli tempi.

     

Temperature waves in rigid materials with memory

Summary The problem of finite speed of propagation of temperature in rigid heat conductors is analysed within the framework of the thermodynamics of materials with memory. The constitutive relations are expressed by functionals depending on the histories of temperature and temperature gradient and also, explicitly, on the present value of the temperature. The condition that ensure the possibility of wave propagation for temperature are derived.

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Sommario Si esamina il problema della propagazione della temperatura con velocità finita nei conduttori di calore rigidi nel contesto della termodinamica dei materiali con memoria. Le relazioni costitutive sono espresse da funzionali dipendenti dalle storie della temperatura e del gradiente di temperatura ed anche, esplicitamente, dal valore attuale della temperatura. Si deducono le condizioni che assicurano la possibilità di propagazione ondosa per la temperatura.

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This work was partially supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R., Italy.     

Objective constitutive relations in elasticity and viscoelasticity

Summary The compatibility between the objectivity principle and affine constitutive equations for the elastic Cauchy and Piola-Kirchhoff stress tensors with non-zero residual stress is examined. It is found that the Cauchy stress is allowed to be only a constant tensor, proportional to the identity tensor, while the Piola-Kirchhoff stress may be a linear function on the deformation gradient thus generalizing previous results by Fosdick and Serrin. The same conclusions are arrived at also by starting from viscoelasticity. Finally, in the case of Maxwell-like materials, the solutions to the objective evolution equations are shown to be objective functionals.

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Sommario Si esamina la compatibilità tra il principio di obiettività ed equazioni costitutive affini per i tensori di stress elastici di Cauchy a Piola-Kirchhoff con stress residuo non nullo. Generalizzando risultati di Fosdick e Serrin si prova che il tensore di Cauchy può essere soltanto un tensore costante, proporzionale al tensore identità, mentre il tensore di Piola-Kirchhoff può essere una funzione lineare del gradiente di deformazione. Alle stesse conclusioni si perviene anche partendo dal funzionale della viscoelasticità. Infine si mostra che, per materiali tipo Maxwell, le soluzioni di equazioni di evoluzione obiettive sono funzionali obiettivi.

     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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