关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

一类不等式的新证法

对于形如∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≥Ｐ或∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≤Ｐ(Ａｉ ＣＢｉ=Ｑ ,Ｃ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)的一类不等式 ,利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可简捷地给予证明 .定理　设Ａｉ,Ｂｉ∈Ｒ ,λＡｉ μＢｉ=Ｑ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,λ,μ为常数 ) ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,记Ａ =∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ,则当 μ >0时 ,Ａ≥ωｎ ;　当 μ <0时 ,Ａ≤ωｎ .证　因为λＡｉ μＢｉ=Ｑ ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,所以ｎＱ =λ∑ｎｉ=1Ａｉ μ∑ｎｉ=1Ｂｉ=λ∑ｎｉ=1Ａｉ μω∑ｎｉ=1Ａｉ=(λ μω)∑ｎｉ=1Ａｉ,所以　Ｑ =λ …     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

一个分式型不等式定理及其应用的注记

读《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个分式型不等式定理及其应用》一文 (以下简称原文 ) ,发现有以下三处错误应予修正 .1　原文定理 1的修正原文定理 1　若ａｉ、ｂｉ∈Ｒ ,ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,γ≥ 2或γ <0 ,β>0 ,则∑ｎｉ=1ａγｉｂβｉ≥ｎ1 -γ β·∑ｎｉ=1ａｉγ∑ｎｉ=1ｂｉβ(1 )原文证明的不妥之处 :“ ∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≥ｎ- 1 β· ∑ｎｉ=1ｂｉ- β(β≥ 1或 0 <β <1 )” .其实 ,当ｂｉ>0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,β>1时应有∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≤ｎ- 1 β ∑ｎｉ=1ｂｉ- β.(1 )式反例 :在 (1 )式中令ｎ =2 ,ａ1 =1 ,ａ2 =8,…     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

柯西不等式的一个简证

柯西不等式 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .则∑ｎｉ=1ａ2 ｉ ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ ≥ ∑ｎｉ=1ａｉｂｉ2 (1 )证明　记Ａ =∑ｎｉ=1ａ2 ｉ,Ｂ =∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ,Ｃ =∑ｎｉ=1ａｉｂｉ.ＡＢＣ2 1 =∑ｎｉ=1ａ2 ｉＢＣ2 ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉＢ=∑ｎｉ =1ａ2 ｉＢＣ2 ｂ2 ｉＢ≥ ∑ｎｉ =12 ·ａｉｂｉＣ =2 .所以 ＡＢＣ2 1 ≥ 2 ,即ＡＢ≥Ｃ2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800…     

金融计划概率网络模型可行解的存在性

高荣兴在 [1]中提出的具有增益的概率网络金融计划模型可概括为如下多目标规划模型 :Ｍａｘ ∑ｉ,ｋ ,ｈｘ(ｉ)ｋｈ ｒ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ｑ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ,- ∑ｉ,ｋ ,ｈｘ(ｉ)ｋｈ ｐ( (ｋｉ,ｈｉ 1) ) ｑ( (ｋｉ,ｈｉ 1) )( 1)ｓ .ｔ.∑ｍｈ =1ｘ( 0 )ｓｈ =Ｃ(常数 )∑ｍｈ=1ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ａ(ｉ)ｋ,　ｉ=1,… ,ｎ ;ｋ=1,… ,ｍ或ｔ;∑ｍｋ=1ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ｂ(ｉ)ｈ,　ｉ=1,… ,ｎ ;ｈ=1,… ,ｍ或ｔ;0 ≤ｘ(ｉ)ｋｈ ≤ｅ(ｉ)ｋｈ ,　ｉ=0 ,1,… ,ｎ ;ｋ=ｓ或 1,… ,ｍ ;ｈ=1,… ,ｍ或ｔ.其中 ,ｍ为可供选择的资产种类数 ,ｒ为收益函数…     

改进一个不等式的思考过程

设ａｉ≥ 0 ,ｂｉ≥ 0 ,ａｉ+ｂｉ=1 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 .记Ｓｎ =∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1 ,规定当ｉ>ｎ ,ａｉ =ａｉ-ｎ,当ｉ<1 ,ａｉ =ａｉ+ｎ.文 [1 ]证明了命题 1　Ｓｎ ≤ ｎ4ｓｉｎ2 πｎ图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 是边长为 1的正ｎ边形 ,在ＡｉＡｉ+1 上取Ｂｉ,使ＡｉＢｉ =ａｉ,则ＢｉＡｉ+1=ｂｉ.显见 ∑ｎｉ=1Ｓ△ＢｉＡｉ+1 Ｂｉ+1 ≤ＳＡ1 Ａ2 …Ａｎ,也就是12 ｓｉｎ(ｎ- 2 )πｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1　≤ ｎ2 · 14ｓｉｎ2 πｎ·ｓｉｎ2πｎ整理即得 (1 ) .在图 1中作正ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的对角线Ａ1 …     

对“关于圆锥曲线的又一组定理”一文中错误的订正

文 [1 ]中给出如下的结论 :引理 1　对于任意的正整数ｑ ,∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) ≡ 0引理 2∑ｎ-1ｋ=0ｃｏｓｒ( +2ｋπｎ ) =0 ,　　　ｒ:奇数ｎ2 ｒＣｒｒ2 ,　　ｒ:偶数定理 4　设圆锥曲线的焦点Ｆ ,若Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 是圆锥曲线上的ｎ个点 ,且∠Ａ1 ＦＡ2 =∠Ａ2 ＦＡ3=… =∠ＡｎＦＡ1 ,则对于 ｍ ∈Ｎ ,1ＦＡ1 ｍ +1ＦＡ2 ｍ +… +1ＦＡｎ ｍ 为定值 .笔者认为 ,上述三个结论都不严密 ,现分析如下 :1　对于引理 1 ,作者显然忽视了ｑ是ｎ的倍数的情形 .因为若ｑ =ｔｎ ,则 ∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) =∑ｎ-1ｋ=…     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

解数列问题的几种模式

读过《优美的级数公式》(《中学生数学》2 0 0 0年 1 2月上 )和《用组合数巧解数列题》(《中学生数学》2 0 0 1年 1 2月上 )等文后很受启发 ,进而归纳出几种讨论数列问题的模式 :模式一　欲证∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .若假设其成立的话 ,则Ａｎ =∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ =0 ,对新数列{Ａｎ} ,Ａｎ=∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ.若能证出Ａｎ +1 -Ａｎ=0 ,对一切ｎ成立 ,且Ａ1 =0 ,则Ａｎ =Ａｎ-1 =Ａｎ -2 =… =Ａ1 =0 ,从而∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .例 1　求证 :1·2·3…ｋ + 2·3… (ｋ + 1 ) +… +ｎ(ｎ + 1 )… (ｎ +ｋ -1 ) =1ｋ + 1 ｎ(ｎ + 1 )…     

均值不等式的加强及逆向

本文给出关于平均值Ａｎ,Ｇｎ 的两个新的不等式及其等价形式 ,它们可看作均值不等式Ａｎ≥Ｇｎ 的加强及逆向 ,有着许多有趣的应用 .定理　设ｘｉ∈ [ａ ,ｂ] ,0 <ａ <ｂ ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,则有1ｎ ｎｉ=1 (ｘｉ-2ａ) 2 ≥ [( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ -2ａ] 2 (1)1ｎ ｎｉ=1 (2ｂ -ｘｉ) 2 ≤ [2ｂ -( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ] 2 (2 )即　 14ａ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ]　≥ 1ｎ ｎｉ=1 ｘｉ-( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ (3)　≥ 14ｂ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ] (4)以上各式取等号的条件均为ｘ1 =ｘ2 =… =ｘｎ.证　易知 (3) …     

条件最值（不等式）问题的一种解（证）法

求条件最值及证明条件不等式问题 ,情形复杂 ,解法灵活 ,技巧性强 ,是学习的难点之一 .本文运用平均值不等式及柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式推导出几个条件不等式 ,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用 ,供大家参考 .1　若ａｉ,ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,且 ｎｉ=1ａｉｘｉ=ｋ ,则1) ｎｉ =1ｘｉ≥ 1ｋ ( ｎｉ=1ａｉ) 2 (ｎ∈Ｎ) ( 1)2 ) ｎｉ =1ａｎ≤ｋ ｎｉ=1ｘｉ(ｎ∈Ｎ) ( 2 )证　 1)∵ ｎｉ =1ａｉｘｉ=ｋ ,　∴ ｎｉ=1ｘｉ =1ｋ· ｎｉ =1ｘｉ· ｎｉ =1ａｉｘｉ≥ 1ｋ( ｎｉ=1ｘｉ·ａｉｘｉ) 2 =…     

分母含组合数的两类幂和的递推求解

文 [1 ]用递推的方法求解了两类幂和∑ｎｋ =1Ｃｋｎｋｍ 与∑ｎｋ =1Ｃｋｎ+ｋｋｍ,本文用类似方法求解另两类有趣的幂和 ∑ｎｋ=1(-1 ) ｋｋｎ/Ｃｋｎ 与 ∑ｎｋ=1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ.定理 1　记Ｓｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1(-1 ) ｋｋｍ/Ｃｋｎ(ｍ ,ｎ∈Ｎ) ,则Ｓｍ(ｎ) =(ｎ+1 ) ∑ｍｉ=0(-1 ) ｉ+1ＣｉｍＳｍ-ｉ- 1(ｎ+1 ) (1定理 2　设Ｔｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ,(ｍ ,ｎ ∈Ｎ) ,则∑ｍｉ=1(-1 ) ｉ(Ｃｉｍ-ｎＣｉ- 1ｍ )Ｔｍ-ｉ(ｎ) =(-1 ) ｍ+1+((-1 ) ｍ-ｎｍ) /Ｃｎ2ｎ (2 )分母含组合数的两类幂和的递推求解@郑德印$淮北煤炭师范学院…     

一类条件不等式的“根”

在教学中 ,笔者常见如下题组 :已知ｘ1∈Ｒ+ (ｉ=1 ,2 ,3) ,且ｘ1+ｘ2 +ｘ3 =1 ,求证 :①ｘ21+ 2ｘ22 + 3ｘ23 ≥ 61 1 ｘ ;②ｘ1+ｘ2 +ｘ3 ≤ 3;③ 1ｘ1+ 4ｘ2 + 9ｘ3 ≥ 36 .( 1 990日本ＩＭＯ选拔赛题 )该类不等式的“根”是什么呢 ?通过研究 ,笔者发现下面结论 .命题　已知ｘｉ,ａｉ∈Ｒ+ (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)且∑ｎｉ=1ｘｉ=ｋ ,ｍ是有理数 ,则1 )当ｍ >1或ｍ <0时 ,∑ｎｉ=1ａｉｘｍｉ ≥ｋｍ(∑ｎｉ=1ａ 11-ｍｉ ) 1-ｍ.2 )当 0 <ｍ <1时 ,∑ｎｉ=1ａｉｘｍｉ ≤ｋｍ(∑ｎｉ=1ａ 11-ｍｉ ) 1-ｍ.证　 1 )当ｍ >1时 ,因为ｍ是有理数 ,可…     

解无理方程的一种方法

定理　设 0≤ｆｉ≤ｇｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｆ1 ｇ22 - ｆ22 ｆ2 ｇ23 - ｆ23 … ｆｎ ｇ21 - ｆ21 =12 ∑ｎｉ=1ｇ2 ｉ ( 1) ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 ｎ ｆ21 =ｇ21( 2 )证　由不等式ＡＢ≤ Ａ2 Ｂ22 得ｆ1 ｇ22 -ｆ22 ｆ2 ｇ23 -ｆ23 … ｆｎ ｇ21 -ｆ21≤ 12 {[ｆ21 ( ｇ22 - ｆ22 ) ] [ｆ22 ( ｇ23 - ｆ23) ] … [ｆ2 ｎ (ｇ21 -ｆ21 ) ] =12 ∑ｎｉ =1ｇ2 ｉ,当且仅当ｆ21 =ｇ22 - ｆ22 ,ｆ22 =ｇ23 -ｆ23 ,…　…　…ｆ2 ｎ=ｇ21 - ｆ21 ,　即ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 …     

一个猜想的推广

文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ ,α>0 ,则有 :∑ ｂα+1ｉａαｉ≥ (∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理　设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑ａαｉｂβｉ ≤ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑ａαｉｂβｉ ≥ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β.证明　首先有Ｊｅｎｓｅｎ不等式 (见文 [2 ])设ａｉ ∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,…ｎ.则1ｎ∑ａαｉ ≥ (1ｎ∑ ａｉ)α　 (α …     

一个不等式的改进与其"孪生"不等式

文 [1 ]给出了不等式 .已知ａ>13 ,ｂ>13 ,ａｂ=29,求证 :ａ+ｂ <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ａｉ>1ｎ(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ-1 ;ｎ ≥ 3 ) ,∏ｎ - 1ｉ =1ａｉ=2ｎｎ- 1,求证 :∑ｎ - 1ｉ =1ａｉ <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1　已知ａｉ>ｐ>0 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ =1ａｉ≤ｐｎ- 1ｑ,(ｑ >ｐ) ,则∑ｎｉ =1ａｉ<(ｎ-1 )ｐ +ｑ. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2　已知 0 <ａｉ<ｐ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ=1ａｉ≤ｐｎ- 1…     

与四面体内点有关的一类不等式

笔者在文［１］对于初等对称函数Ｅｋ（ｘ）＝Ｅｋ（ｘ１,…,ｘｎ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｋ≤ｎΠｋｊ＝１ｘｉｊ,ｋ＝１,２,…,ｎ建立了定理１设ｘｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝１,则对于ｋ＝１,２,…,ｎ,有０≤Ｅｋ（１－ｘ）－Ｅｋ（ｘ）≤...     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．