“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

判别式的应用

判别式的应用相当广泛 .为使同学们更系统地掌握其应用 ,这里将它归纳一下 ,供参考 .一、不解方程 ,判定方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 5x(x-2 ) =3的根的情况 .解 :整理原方程 ,得 5x2 -1 0x-3 =0 .∵Δ =( -1 0 ) 2 -4× 5× ( -3 ) >0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式Δ =b2 -4ac时 ,方程一定要化为一般形式 .二、根据方程根的存在情况确定未知数的取值或取值范围例 2　方程 2x2 -5x =m -4无实根 ,求m的取值范围 .解 :整理原方程 ,得 2x2 -5x +4 -m =0 .∵原方程无实根 ,∴Δ <0 ,即 ( -5 ) 2 -4× 2 ( 4 -m) <0 .…     

巧用根的判别式解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac在解题中有广泛应用.巧妙利用根的判别式可化繁为简,找出解题的捷径.下面介绍两种方法,供同学们参考.一、巧用判别式,确定一元二次方程的解法一元二次方程的解法有多种,对某个方程选择何种解法,需要认真分析方程的特点,选准突破口,往往事半功倍.特别是对一些有理系数的一元二次方程是用公式法解简便还是用因式分解法解简便?很多同学常拿不定主意,浪费解题时间.巧用根的判别式可为我们确定有理系数的一元二次方程的解法.那么如何借助判别式来确定方程的解法呢?本文就教材中用配方法解ax2+b…     

初三代数第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .一元二次方程的一般形式是 ,其中二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .2 .4x2 +7=3x( 2x -1 )化为一般形式是 ,其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .3 .方程 5x2 =0的根是 ;方程 2x2 -4=0的根是 ;方程 3 (x -1 ) 2 =9的根是 .4.方程x2 -2x -1 =0有的实数根 ;方程 4x2+4x+1 =0有的实数根 ;方程 3x2 -x +6=0有的实数根 .5 .一元二次方程x2 +3x -1 =0的两根之和为,两根之积为 ,以 5和 -3为根的一元方程是.6.方程 3x2 -3x +1 =0的根的情况是 ,方程-2x2 -x +5 0 =0的根的情况是 .7.在实数范围…     

我解大系数一元二次方程的一点心得

在一元二次方程中,我发现“不解方程,求作一个新方程使各根是原方程各根的k倍的新方程与原方程间的系数有一定的关系.”例如:不解方程x2+11x+12=0,求作一个新方程使其各根分别为原方程各根的3倍.解的结果为x2+33x+108=0,即为x2+3×11x+32×12=0.经反复验证是正确的.证明如下:设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2=-b,x1x2=c.∴kx1+kx2=     

解题·观察·猜想·证明·应用

初中《代数》第三册P119,习题七第6题:利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程2x~2十3x-1=0的各根的①相反数;②倒数;③k倍(为本文之需要,将原题中的“平方”改为“k倍”)。这类题目,同学们一定做了很多。但做完后可曾观察过所求方程和原方程在系数上有何联系,即有无规律可循。下面让我们一起来剖析探讨这个问题: ①、相反数解题按常规解法所求得的新方程为: 2x~2-3x-1==0 (解法略) 现察比较2x~2+3x-1=0和2x~2-3x-1=0。猜想若所求作的方程的两根分别是原方程两根的相反数时,则所求作的方程就是把原方程的一次项系数变号后所得的方程。证明设原方程为ax~2+bx+c=0(a≠0),且两     

求直线方程的八类典型错误

求直线方程是《直线和圆的方程》这章中的基本题型之一 .在求解问题时 ,如果考虑不周全或者忽视特殊情况 ,往往会造成漏解现象 ,下面加以剖析 .1　忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求过 (2 ,1 )且与直线 y =3x - 1夹角为 30°的直线方程 .错解 :设所求斜率为k ,因为直线 y =3x - 1的斜率为k1=3,由 3-k1 +3k =tan30°=33,得k =33.故所求直线方程为 y - 1 =33(x - 2 ) ,即x - 3y +3- 2 =0 .剖析　这里忽略了斜率不存在的情况 .事实上 ,还有一条直线x =2也满足 .例 2　…     

一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

判别式和曲线族的包络

“已知圆方程x~2+y~2-2(2m+1)x-2my+4m~2+4m+1=0(m∈R,),求所有圆的公切线方程。” 这是一道并不太难的解析几何题,有一位同学提出如下独特的解法: 解:把方程按m整理,得4m~2-(4x+2y-4)m+(x~2+y~2-2x+1)=0,由△m=(4x+2y-4)~2-4×4×(x~2+y~2-2x+1)=0化简得y(4x-3y-4)=0,     

对无理函数最值问题的多种解法的探讨

试题 已知函数y=√(3-x)+√x+1的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/4 B.1/2 C.√2/2 D.√3/2此题作为一道选择题,我们容易得出答案为C,但此题同时也是一道典型的形如y=√(ax+b)+√(cx+d)(ac＜0)的求函数最值的题.它是高中数学的一个热点同时也是一个难点.本文研究此题的多种解法,与大家共勉.1 利用二次函数的性质求最值解法1显然y≥0,两边平方的y2 =4+2√(3+2x-x2),移项得y2-4=2√(3+2x-x2).因为x∈[-1,3],所以3+2x-x2 ∈[0,4],.即2√(3+2x-x2)∈[0,4],所以ymax=2√2,ymin=2.解法2由上面变形得到的y2-4=2√(3+2x-x2),两边再平方整理得4x2 -8x+y4-8y2 +4=0.(*)记f(x)=4x2 -8x+y4-8y2 +4,方程(*)在x∈[-1,3]有解.     

问题探究反思——一堂研究课的探索与实践

1从误解开始在一堂数形结合的研究课上,我在黑板上写了这样两道题目:方程lgx=sinx和2x=x2根的个数分别是多少?由于这二个方程都是超越方程,不可能直接求解,学生很容易想到利用图形来解决这两个问题,于是,二位同学在黑板上作了如下解答:题1令y1=lgx,y2=sinx.则这两个函数图象的交点的横坐标即是方程的解.因此这两条曲线的交点的个数即为方程根的个数.如图1所示:方程(1)有1个解.图1图2题2令y1=2x,y2=x2,如图2,方程(2)有两个解.这二位同学的解答受到大部分同学的肯定,但也有少数同学提出了不同意见.我说这两道题的解答确实有问题.课堂上反对声…     

高次方程(或方程组)的巧解

<正>一、利用分解因式去解题例1 (上海市竞赛题)已知关于x的方程x~4+2x~3+(3+k)x~2+(2+k)x+2k=0有实数根,若所有实根的积为-2,则所有实根的平方和为______.简析将方程左边分解因式,可将高次方程转化为一元二次方程.     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

一道初中数学竞赛题的简解

20 0 0年 4月 2日举行的全国初中数学联赛 (更名为数学活动创新能力评估 )试题二试( C卷 )第三题除了评分标答的解法外 ,还可用下面的方法来解答 .题　求所有的正整数 a、b、c,使得关于 x的方程 :　 x2 - 3ax 2 b =0 ,x2 - 3bx 2 c =0 ,x2 - 3cx 2 a =0的所有的根是正整数 .解　设方程 x2 - 3ax 2 b =0的两正整数根为 x1、x2 ,方程 x2 - 3bx 2 c=0的两正整数根为 x3 、x4 ,方程 x2 - 3cx 2 a =0的两正整数根为 x5、x6,由根与系数的关系 ,得　　 x1 x2 =3a,x1x2 =2 b,　　 x3 x4 =3b,x3 x4 =2 c,　　 x5 x6=3c,x5x6=2 a.由 …     

再谈“一元二次方程求根公式的推导”

贵刊 2 0 0 3年 5月下载文“一元二次方程求根公式的推导”读后受益匪浅 .该文介绍了国外数学家的三种推导方法 ,笔者经过深入研究 ,得出另一种全新的推导方法 .对于方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当c =0时 ,方程的解是明显的 ,此时方程至少有一个零根 ;当c≠ 0时 ,方程无零根 ,即x≠ 0 .在方程两边同除以x得ax +b + cx =0 ,即ax + cx=-b ,设ax =-b2 +t,cx=-b2 -t,二式相乘得ac =b24-t2 ,t2 =b2 -4ac4.当b2 -4ac≥ 0时 ,t=± b2 -4ac2 ,将此代回所设 ,得ax =-b2 ± b2 -4ac2 =-b±b2 -4ac2 ,所以　x =-b±b2 -4ac2a .再谈“一元二次方程求根…     

轮换方程组的求解

一次数奥课上 ,我与同学们一道解方程组x1 +x2 x3=2 ,x2 +x1 x3=2 ,x3+x1 x2 =2 ,利用常规解法及整体代换x1 x2 x3=p两种解法 ,获解 (1,1,1)、(-2 ,-2 ,-2 ) .继而有一同学类比此题提出在R内解以下方程组x1 +x2 x3x4 =2 ,x2 +x1 x3x4 =2 ,x3+x1 x2 x4 =2 ,x4 +x1 x2 x3=2 ,我们利用整体代换x1 x2 x3x4 =p ,也求出了它的全部解 (1,1,1,1)、(3 ,-1,-1,-1)、(-1,3 ,-1,-1)、(-1,-1,3 ,-1)、(-1,-1,-1,3 ) ,共五组 .立即 ,又有同学提出在R内解类似方程组x1 +x2 x3x4 x5=2 ,x2 +x1 x3x4 x5=2 ,x3+x1 x2 x4 x5=2 ,x4 +x1 x2 x3x5=2 ,x5+x1 x2 x3x…     

(-1)~(k 1)=1(k∈Z)

解方程 sin5x=sin4x。解法一:因为与a有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x=kπ (-1)~ka,k∈Z},所以原方程可以化成 5x=kπ (-1)4x (k∈Z) 解之得:x=kπ/5 (-1)~(k 1) 所以原方程的解集是{x|2= 解法二:原方程等价为sin4x=sin5x,m同解法一得:4x=kπ (-1)~k5x 解之得:x=kπ/4 (-1)~(k 1)5(k∈z)     

“反个劲儿”思维解题

在一些数学题中 ,若按常规思路去解答 ,非常复杂 ,有时甚至难以奏效 .采用“反个劲儿”的思维方法求解 ,既省时 ,又简捷 ,常有别开生面之效 .　　 1.不先开方先平方例　计算 3 + 5 + 3 -5的值 .分析　此题常规解法是将原式中两个根式的被开方式先配方后再开方 ,但配方较难 ,采用先求原式平方 ,再求开方值 ,显然简便 .解　设x =3 + 5 + 3 -5 (x >0 ) ,∵　x2 =(3 + 5 + 3 -5 ) 2=6+ 2 (3 + 5 ) (3 -5 )=6+ 2 4=10 ,∴　x =10 .　　 2 .不用正向用逆向例　若a是关于x的方程x2 +bx +a =0的根 ,且a≠ 0 ,求a +b的值 .分析　此题常规解法是将关于…     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。