对一道高考解析几何题的深度探析

题目(2013江西高考文-20)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.     

伴随圆锥曲线的一个统一性质

按照文[1]的定义,我们把双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)称为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的伴随双曲线,同样地,把x2/a2+y2/b2=1(α＞b＞0)称为双曲线x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的伴随椭圆.通过研究笔者发现了它们一个有趣的统一性质.     

一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

探究2016年高考北京卷圆锥曲线试题的命题背景

2016年高考落下了帷幕,各地试题异彩纷呈.笔者探究了2016年高考北京卷理科第19题,研究其试题背景及其命题手法,并尝试进行新题命制. 1试题呈现 题1(2016北京理-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(31/2)/2,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

一个圆锥曲线有趣的结论

命题:过椭圆x2/a2+y2/b2=1,a＞b＞0的长轴上一点D(k,0)作弦AB,椭圆的长轴的延长线上一点N(q,0).问当k,q满足什么关系时能使∠ANO=∠BNO.……     

“设且求”寻求一类解析几何题求解新途径

1 困惑 2012年江苏高考第19题: 如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.     

一个不易发现的瑕疵及修正——2010重庆高考文科压轴题特征图形的辨析

文[1]把2010重庆高考文科压轴题,理科第20题作为研究性学习案例,得到了相伴二次曲线的六条性质(我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)称为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的相伴二次曲线).这些性质反映了相伴二次曲线的基本属性,作者得到上述性质后,提出其结论可能不止这些.笔者深受启发,联想数学通报1853号问题,得到了相伴二次曲线的又一对偶性质.     

对一道高考圆锥曲线问题的探究

题目:设椭圆C: x2/a2+y2/b2=1(a》b》0)过点M(√2,1),且左焦点为F1(-√2,0)     

圆锥曲线一个有趣的关系式

性质1 如图1,Ox轴上方是椭圆x2/a2+y2+b2=1(a＞b＞0)的上半部分,Ox轴下方是矩形ABCD,其中矩形的长AB等于椭圆的长轴长、矩形的宽等于椭圆的短轴长.在椭圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F,则AE2+BF2＜AB2.……     

一类解几问题的拓广

文[1]对下列问题进行了探讨,即 　　问题1设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),椭圆内有一定点P(m,0),过该点作直线交椭圆A,B两点,又在该直线上另有一点Q,满足|AP/PB|〗=|AQ/QB|,求Q点的轨迹方程.……     

椭圆与一对特殊直径有关的若干性质

我们把经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.给定椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)(以下的椭圆E均指此椭圆),以A(2/2a,22b)和C(-2/2a,2/2b)为端点的两直径(其所在直线分别为l1:bx-ay=0、l2:bx+ay=0,以下的直线l1、l2均指此两直线)为一对特殊的直径,本文给出E与l1、l2有关的若干性质.性质1给定椭圆E,两条定直径AB、CD所     

试题研讨(16)

题目(2003年5月北京市西城区抽样测试理科第22题)已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),双曲线x2/a2-y2/b2=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点.设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图1). (I)当l1到l2的角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;     

一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

2008年福建卷理科21题的引申

题目:如图,椭圆x2+a2=1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点. 　　(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;……     

借助TI－Nspire CAS探究一道圆锥曲线定点问题

笔者借助TI-Nspire CAS图形计算器对2015学年上海市嘉定区二模测试第22题进行了一些粗浅探究,笔者试图说明的是:运用现代技术让探究更高效;技术推动了多角度数学规律的探究. 一、问题描述 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,点B(0,b),过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D,且2→F1F2+→F2D=→0.     

椭圆一性质的证法研究及推广应用

性质如图1,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),若直线l与椭圆相交于A,B,且OA上OB(O为坐标原点).则直线l与一个定圆相切. 1 解法探讨 解法1:根据椭圆的对称性以及△AOB绕原点旋转一圈都与椭圆有两个不同的交点,合理猜想所求定圆的圆心一定在原点,从而把问题转化为“原点到直线l的距离为定值”.     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两