引导学生对一个三角函数问题的探究

1背景描述在学习三角函数知识后,一位学生提出一个数学应用问题:“有一块半径为R,圆心角为45°的扇形铁皮,为了获取面积最大的矩形铁皮,使扇形的利用率最大,工人师傅在扇形上选择矩形的四个顶点,试问他是如何选择的?请你给出设计图案”.老师没有正面回答他的问题,而是说,“你回     

关于拉格朗日中值定理的证明

一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出一个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?我们来看:     

函数不等式高考压轴题巧解

在近几年的高考试题中,出现了含有参数的函数不等式在某一区间上恒成立求参数取值范围的压轴题,大多学生在处理时感觉困难,无从入手,那么有没有一种既简单又易操作的通性通法呢?本文通过一些实例介绍解决这类问题的一种方法.导数是高中新课标教材中的重要内容,它是研究函数的有力工具,应用导数来解决函数的单调性与最(极)值问题也是近年来高考的热点.利用导数解决有关函数问题,是一种有效的手段.这类问题都有一个共同的特征,即求解方程f’(x)=0.若能直接找到根,则结合具体问题对原函数进行分析,从而达到解题的目的;若方程含有参数无法直接解出(如:ex-2ax-1=0),而解方程f’(x)=0的过程又是解答导数问题的必经之路,我们又该怎么办呢?所以解f’(x)=0的技巧也是解答函数不等式问题的一把万能钥匙.在方程无法解出时,我们可以对函数的导数再求导,即用二阶导数研究一阶导数,进而解决问题.     

反正弦函数概念的教学对话

反正弦函数是一个比较抽象的概念 ,是教学的难点 .为此 ,我利用一个课时的时间 ,采用对话的形式 ,和同学们一起共同讨论这个问题 .教师 :请同学们回答以下两个问题 .问题 1　写出下列函数的逆关系 (即求出ｘ) .①ｙ =3ｘ - 1(ｘ∈Ｒ) ;②ｙ =ｘ3 1(ｘ∈Ｒ) .问题 2　一个函数的逆关系就是这个函数的反函数 ,对吗 ?(问题 2提出后 ,学生议论纷纷 ,有的说对 ,有的说不对 .)教师 :请说对的同学讲讲其理由 .学生 :函数是它的定义域到值域上的一个映射 ,这个映射的逆映射就是这个函数的反函数 ,例如ｙ= 3ｘ - 1(ｘ∈Ｒ) ,它是Ｒ到Ｒ上的一个映射…     

也说特殊化方法

1话题日前在农村行走,观一农民自己在砌一简易房屋,地基放样时,只见他拉了两条互相交叉的线绳,然后以两条绳子的交点为始点用尺在两绳上各取了30cm和40cm,之后又在尺上取了50cm,不停地在两根线上比划、调整两线的方向位置,一会儿停下来,开始在砌墙.看后,我很快明白,他是在运用勾股定理的逆定理,找一个直角,使相邻两墙相互垂直.这位农民看上去已有50多岁,距离学习勾股定理知识也有30余     

談启发式教学法

我组在教学实践中贯彻启发式教学法,初步采用了如下一些做法: 1.引而未发,跃跃欲试。如能充分引起学生学习的兴趣,课堂的效果无疑是良好的。所以在一课的开始,教师要设法使学生处于引而未发跃跃欲试的状态,换句话说,教师必须在开始上课时做一些必要的工作,不仅要使学生了解这一课要学些什么,尤其要能使学生处于迫切要求学好那些内容的精神状态。也就是充分调动起他们的旺盛的求知欲。怎样才能做到这一点呢?根据教材内容一般可有如下几种方法: (1) 从实际引入。根据学生的年龄特征和不同的生活经验,从生活中就地取材,如讲近似计算,可举一些学生所熟悉的数量,象灌云县的人口统计、某生产队的粮食产量统计,或者由几个学生分别测量教室里黑板的长度等等。先让学生了解在生产和生活中所接触的大量事物中,近似的量比精确的量要多,从而感到有学习近似数的必要。又如讲无理方程,可从一个实际问题出发,例如:“教具制作小组某同学用一条30厘米长的铁丝弯成一个直角三角形,使它的一条直角边等于5厘米,应该怎样弯法?”(设另一条直角边为x厘米列出方程为5+x+(25+x~2)~(1/2)=30)使学生知道解     

浅谈提升初中数学复习效益的有效形式

初中数学复习课中存在一系列的问题:(1)教师讲的多,学生动的少,甚至是教师一讲到底,满堂灌;(2)课前发一张练习卷去做,第二天课堂上逐一讲解;(3)课堂上先让学生想几分钟,然后由会的学生讲,不会的学生听,或由教师讲,其余学生听,讲完后继续下一个问题.对于这些问题,我们应该思考如何才能提升初中数学的复习效益?     

如何寻找线性规划问题的整点最优解

在线性规划的实际应用问题中,整点最优解是一个令人头疼的难点,课本例题对这一问题未作详细分析,直接给出符合题目要求的整点,不说为什么.在教学中,我发现学生对这一头雾水,但我们教师应当在该关键问题上讲透,使学生真正掌握.以下是我结合课本例题对整点问题的探求过程.     

老树发新枝 别样的精彩——对一节“二次函数的应用”复习课的思考

这是一节“浙派”名师班学员关于二次函数应用的复习教学研讨课,授课教师利用一个熟悉的情境,构设了一组巧妙的问题,演绎出一节高水平的思维活动课,现将课堂实录与笔者的思考整理成文,以供同行参考.一、课堂实录1.情境引入课堂一开始,教师给出了一道学生十分熟悉的篱笆围鸡场问题.引例用长为60米的篱笆围成一个矩形养鸡场,怎样围才能使得养鸡场的面积最大,最大面积是多少?在学生独立完成的基础上,教师请学生分享解答.     

课堂提示语的点滴思考

一、教学片断 教师:同学们,今天我们共同学习数据的分析,首先请看这一个问题:某班三位同学五次练习成绩如表1,想选派一人去参加比赛,该选哪位同学?你选择的理由是什么?(多媒体投影展示) 教师:看到这个问题,同学们首先想到的是什么?你打算如何作出解释?思考一下.(元认知提示语和方法论意义提示语) 学生思考片刻. 教师:我们要养成一个习惯,思考能不能把这张表格和学过的数学知识联系起来?(对学生注意指向的指导)     

争鸣

问题　　问题 59　(新教材数学第一册 (上 )P33练习题 :“用反证法证明 :在△ABC中 ,∠C是直角 ,则∠B一定是锐角 .”我们知道 ,反证法证题的第一步是要搞清楚所要证的结论的反面是什么 .那么 ,“一定”的反面是“一定不”还是“不一定”呢 ?观点 1　“一定”的反面是“一定不” .如 :“∠B一定是锐角”的反面是“∠B一定不是锐角 .观点 2　“一定”的反面是“不一定” .如 :“两个整数的和一定是偶数”的反面是“两个整数的和不一定是偶数” .谁是谁非 ?问题 6 0 　我们应怎样向学生说明学习函数的必要性 (要求 :题目自拟 ,以小论文的…     

折纸活动--三角形的内接矩形

课前准备　请学生准备两个直角三角形纸片、两个锐角三角形纸片 .教学过程1　提出问题缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾 ,现在他手中只有一把剪刀 ,问他应该如何剪 ?这是一个实际问题 ,能否用我们所学的数学知识加以解决 ,或者说 ,这个问题能否转化成一个数学问题呢 ?抽象去“布料”、“剪刀”等实际背景 ,相应的数学问题是 :如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?为此 ,我们先“动手做”.2　活动 1 　在直角三角形的纸片中折出面积最大的正方形2 .1　逼近 :先在直角三角形纸片中折出矩形学生动手探索后 ,给…     

方程f(x)=P-x与f-1(x)=P-x的两根之和一定为P吗

常见题目:①设方程10x=p-x的根为x1,方程lgx=p-x的根为x2,则x1 x2=p;②设方程x3=p-x的根为x1,方程3x=p-x的根为x2,则x1 x2=p.可以用数形结合法或函数的单调性证明,此略.我们类比猜想:方程f(x)=p-x与f-1(x)=p-x的两根之和一定为p(p为实常数)吗?经过探究发现,此结论不一定成立.一     

函数y=Asinωx的图像

1　提出实例问题 1　 (大屏幕显示 )烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的 (展示实物 ) .现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头 (如图 1 ) .如果烟筒的直径为 9cm,最短母线长均为 6 cm,不考虑焊接处的需要 ,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片 ?如何裁剪 ,才能既省工 ,又节俭 ?图 12　切入正题让我们聚焦直角烟筒弯头 !由于两个圆柱呈垂直状 ,因此两个圆柱形烟筒的截面与水平面成 4 5°角 .现在 ,我们不妨先看一个小问题 ,换一个角度来思考 :问题 2　底面半径是 4 .5cm的圆柱被平面截成形状相同的两个几何体 ,如图 2所示 .若将…     

当前研究性学习存在的问题及对策

随着新课程理念的不断深化,新教材的逐步实施,越来越多的教师在课堂教学中注重改变学生的学习方式,引发学生的探究意识,将“研究性学习”与“接受性学习”有机地结合起来,以培养学生的创新能力.但是当我们深入课堂听了一些渗透“研究性学习”的数学课时,发现存在不少问题.下面就目前课堂上存在的一些主要问题提供对策,希望能对改进课堂教学有所帮助.一、探究缺乏“源动力”案例1:师:(提出问题并板书)解不等式x 3>x-1.(以下是学生分组讨论,教师总结.)评析与对策:学生为何要探究这个问题?探究的原动力是什么?按照这位老师的想法,随便写一个不…     

高三数学复习三步曲——寻理、讲理、用理

1 困惑作为一名教研组长,常有高三学生向我倾诉:上课都听得懂,但自己做作业时怎么也想不到老师的思路!甚至说数学考试后一看答案就知道如何做,但在考场上就是想不到方法!与此同时,不少教师也向我倒苦水:一个方法我在课上讲n遍了,但学生还是不会用!要讲的内容实在太多,进度总是来不及!笔者陷入沉思:我们的高三数学课时并不少(江苏省大多数学校高三数学每周至少十节课,有些学校甚至达到每周十二节),高三学生一年中完成的数学作业更是惊人!可学生的现状却令人困惑,我们高三数学教学何时才能真正摆脱师生都苦不堪言的题海教学模式?     

小组合作学习下高中数学复习课的导学案编写策略——以人教版必修5“数列”复习为例

在课程改革全面推进和深入实施的背景下,我校也积极践行课堂教学改革,探索小组合作学习下的导学案教学模式.在教学实践中,教师会遇到一些突出的问题,如,(1)导学案的编写习题化,新知识的生成过程简单直接,学生缺乏深度的思辨;(2)导学案容量大,加重学生的学习负担;(3)课堂上留给学生动笔的时间少.究竟什么样的导学案才能助力高效课堂?什么样的导学案才更符合学生的实际,能让学生真正融入课堂,思维得到发展,数学素养得到提高?这是教师在课堂教学改革中不得不思考的问题,笔者以人教版必修5第二章“数列”复习为例,旨在探究小组合作学习下高中数学复习课的导学案编写策略.     

构建高效课堂 演绎精彩数学

一、问题的提出我们在学校不难看到这样的数学课:讲台上教师声嘶力竭,讲台下学生昏昏欲睡.试问:这样的课堂还有什么效果可言?传统教学中教师是主宰者,学生是被动的承受者,教师在课堂上"一言堂",对学生"满堂灌".教师只注重训练考点,向学生灌输     

数学问题与解答

将2(X]1年第6期“数学间题与解答”栏中提出的四个间题解答如下: 1.如图1,有一块均匀的薄铁皮,它由半径为so~的一个半圆。边长为so~一个正方形与直角边为so~的一个等腰三角形三个部份组成,试求这块铁皮的重心.巧xg(X) 40 x 450 30 X 450汀9的 450 450兀=26 .74ml yz mzyZ m3y3     

折纸告诉你直角等分问题的数学原理

一、问题的引入 我们知道,一张正方形的纸（如图1）如果按其对角线AD往上翻折,那么右下角∠D就被平分了,即将一个90°的角分成了两个相等的45°角．因此很容易利用折纸的方法得到直角的角平分线．那么,如何用最直接的方法得到直角的三等分线呢？如图2,先将正方形纸片对折,得到折痕MN,再将右底角向上翻折,使得翻折后的顶点落在折痕MN上,如图3．