不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

关于凸函数的一个控制不等式

关于凸函数的一个控制不等式续铁权（青岛教育学院数学系２６６０７１）设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定义，０＜ｔ＜１，若称ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的凸函数，若当时严格不等式成立，称ｆ（ｘ）是严格凸函数．若不等式反向，称ｆ（ｘ）是凹函数和严格凹函数．本文研究凸函数...     

Asymptotic Behavior of Nodal Solutions for Semilinear Elliptic Equationsin R~n

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＲｅｃｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ△ｕ＋ｆ（ｕ）＝０（１．１）ｕ（ｘ）→０ａｓ｜ｘ｜→∞（１．２）ｉｎＲｎｗｅｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｗｉｄｅｌｙ（ｓｅｅ［１］－［７］）．Ｉｎｔｈｅｎｉｃｅｐａｐｅｒｓ［１］ａｎｄ［２］，ｉｔｗａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔａｎｙｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ（１．１）ｍｕｓｔｂｅｒａｄｉａｌｉｎｃａｓｅｆ（ｕ）∈Ｃ１＋δ（δ＞０）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｎｙｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉ…     

一个不等式的修正

一个不等式的修正３０００７３天津师范大学王光明文［１］以反例否定了不等式，通过增加必要的限制条件，本文对此“不等式”予以修正．（这是因为ｘ≥［ｘ］，所以ｎ·（ｘ－［ｘ］）不可能为负值）．此时若令ｎ（ｘ－［ｘ］）＝ｋ＋ｂ，ｋ为整数，ｂ∈［０，１］，此时...     

一类无理函数最大值、最小值的求法

一类无理函数最大值、最小值的求法何国梁（湖南师大数学系４１０００６）由于对任意的ｔ∈［０，１］，都可通过代换ｘ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ使得。ｘ∈［ａ，ｂ］，故在求形如的无理函数的最大值、最小值时，可先用换元的方法，换元后的函数的定义域成为［０，１］再利用三...     

关于微积分基本公式的一点注记

大多数分析教材将微积分基本公式叙述为：定理１　（ｉ）ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上连续;（ｉｉ）Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的任意一个原函数,则　　∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．某些教科书将定理１的条件减弱,改述定理１为：定理２　（ｉ）ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上可积;（ｉｉ）存在Ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上连续,在［ａ,ｂ］－Ａ（Ａ为［ａ,ｂ］的一有限子集）上Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）,则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．我们知道,黎曼函数Ｒ（ｘ）＝１ｑ,ｘ＝ｐｑ,ｑ＞０,ｐ,ｑ互质,０,ｘ为无理数．在［ａ,ｂ］…     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

分式不等式的一种证法

分式不等式的一种证法李康海（浙江永康一中３２１３００）本文介绍一种证法．它不仅适用本刊文［１］、［２］类型的分式不等式，也适用于其它一些类型的分式不等式．由ａ２＋（λｂ）２≥２λａｂ得（ｂ＞０）（＊）当且仅当ａ＝λｂ时．等号成立．特别地，当λ＝１时，...     

1997年高考24题的深刻背景

文［１］介绍了１９９７年高考（理科）２４题的命题思想，其最初形式为给定二次多项式ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ａ＞０，设０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ，满足ｆ（ｘｉ）＝ｘｉ，ｉ＝１，２，证明：当０＜ｘ＜ｘ１时，（１）ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（２）存在０＜ｑ＜１，使得...     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

迭代微分方程x'(t)=ω(t)(ax(t)-bx(x(t)))(a>b>0)的周期解

本文讨论了一类非自治迭代微分方程ｘ’（ｔ）＝ω（ｔ）（ａｘ（ｔ）－ｂｘ（ｘ（ｔ）））（ａ＞ｂ＞０）的解的存在性、解的性态及周期．此结论推广了文［１］的定理．     

三谈牛顿恒等式及其应用

三谈牛顿恒等式及其应用刘初生（湖南娄底师专数学系４１７０００）文［１］、［２］介绍了牛顿恒等式及其在解题中的应用，作为续篇，本文再谈谈它的推广及在习题编拟方面的应用．定理１设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ是方程ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋…＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ＝０的ｎ个...     

关于Klippert的一个猜测

本文证明文［２］中的猜测不成立设ｆ为区间［０，１］上实值函数，满足条件（ａ）ｆ在［０，１］上有界，（ｂ）ｆ在［０，１］上连续，（ｃ）ｆ（ｘ）不存在，试问是否存在？１９８２年Ｓ．Ｒｉｃｃｉ［１］给出Ｆ′＋（０）存在的例子：最近Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ［２］给出Ｆ′＋（０）不存在的例子：Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ提出如下猜测：如果ｆ满足（ａ）－（ｃ）并且ｆ的相邻零点之间距离依，α＞１，趋近于零，则Ｆ′＋（０）＝０，我们证明上述猜测不真，此外，我们给出Ｆ′＋（０），存在的一个充分条件。     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

关于正项式a_（ik）~a的几个不等式

关于正项式ａ_（ｉｋ）~ａ的几个不等式贵州民族学院周如银众所周知，若，则有下面的加权平均值不等式等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．利用这一结论，可导出下面的结果．引理设ａｉ、ｂｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），ａ＋１＞０，ａ＜０，则等号当且仅当ａ...     

1996年全国高考数学（理科）试题另解摘编

１９９６年全国高考数学（理科）试题另解摘编（２０）解不等式：由①，得或；由②，当ｘ＞０，无解；当ｘｗｔｏ，ｘ—１＜ａｘ，ｘ（互一ａ）ＭＩ，．’．当ａ＞１时，所求不等式的解集ｊ．’．当ＯＭａＭＩ时，所求不等式的解集为：解法２由对数函数定一ａ．在同一直角...     

几何不等式的又一不同证明

几何不等式的又一不同证明吴爱军（江西广播电视学校３３００４６）［１］中称下述不等式为几何不等式：设ｐｉ＞０，ｘｉ＞０，（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｎｉ＝１ｐｉ＝１，则有：ｎｉ＝１ｘｐｉｉ≤ｎｉ＝１ｐｉｘｉ式中的等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立...     

也谈对数大小的比较

也谈对数大小的比较万兴灿（湖北省宜昌市第一中学４４３０００）探究文［１］、［２］、［３］获益非浅，对比言之，文［３］方法从形式到实质仍是文［２］的方法．本文倾向文［１］处理方法，加以推广，则可较全面、简捷地解决对数大小的比较．定理１设１＜ａ＜ｂ，ｍ＞...     

关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。     

有理样条不可约解的行列式表示

１引言在文［１］中,对于剖分ａ＝ｘ０＜ｘ１＜…＜ｍｎ＝ｂ及给定的ｙ０,ｙ１,…,　…,Ｌ＋Ｍ－１,我们构造了有理样条Ｓ［Ｌ,Ｍ（ｘ）Ｑ［Ｌ,Ｍ］为次数不超过ｍ的多项式全体．在［１］中,已经讨论了Ｓ［Ｌ,Ｍ］（ｘ）的存在性,并指出：若问题（１）（２）（３）可解,则解唯一这里总假设问题（１）（２）（３）可解．２有理样条解不可约的充要条件由Ｓ［Ｌ,Ｍ］（ｘ）的依区间递推算法（见［１］）,我们只需讨论［ｘ０,ｘ１］上的情形．当［Ｘ０,ｘ１］时,将Ｓ［Ｌ,Ｍ］　（ｘ）,Ｐ［Ｌ,Ｍ］　（ｘ）和Ｑ［Ｌ,Ｍ］（…