斜率性质的灵活应用

直线的斜率是反映直线方向的一个非常重要的是，它的有关性质，在解题实际中有广泛的应用．例1（1997年全国高考题）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点．（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于X输时，求点A的坐标．分析（Ⅰ）只要证kCO=kDO，通过A、B两点坐标作侨梁．（Ⅱ）略．对多点共线问题，运用斜率，建立关系式，这是解题的常规方法，应用广泛．对形如y二二业结构问题，则问造萧军来工l一工2解．例2（1997＄全国高警题）…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

各抒己见觅真支

师：这次考试中有道选择题，是1997年高考文科第（7）题（又见文[1]），大家的选择答案可谓”两边倒”现在请同学们就此题的选择，各抒已见、以理晓人，弄清楚孰对孰错，对在哪里．错在何处；8目设函数y＝f（x）定义在实数民上，则函数y一人x－1）写x一人l－J的图象关于（）（A）自经y＝0对你（B）围线。＝0对你（C）直线y＝l对称（D）直线。＝1对称甲：先作y＝j’x）的图象关于y铀的对那，得到y一人一x）的图象，再把x一八一x）的图象问在平移1个率应，即得y一八一x＋1）的图象，政选（B）．Z：甲同学在第二步作”平接受澳’的，万向用…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

构点巧解函数题

所谓“构点”解题，即通过取函数图象上的点，把一个一般性的函数问题转化成图象上个别点间的关系问题，然后加以解决．构点解题可以化一般为特殊，且易懂易操作，简洁明快，当一个问题不易直接入手，或为了快速求解时，通常可考虑构点解题．当然，在取点时既要考虑所取的点具有一般性，又要注意其特殊性（如最值点、曲线交点、边界点等）．下面分类予以例示．1求函数值例1设，则（1993年全国高考题）解令f-1（0）＝a，则（0，a）是y＝f－1（x）图象上一点，所以点（a，0）在y＝f（x）的图象上，即4a－2a＋1＝0，解得a＝1，即f－1（0）＝1．…     

高中数学“短平快”同步练(8)

【高一代数】诱导公式与三角国过回家选择日1．若以下正确的是0有相等的两实根，则a为（）．（A）45"和135"（B）45"和225"（C）45"和315"（D）135"和315"7．在下面的关于余切曲线y-X呛X的结论中，正确的是（）．（A）相邻两渐近线的距离为。（B）y随x的增大而减小（C）它可由曲线x-ti平移得到（D）它有最高和最低点8．在同一坐标系内曲线y一幻nd与y-COSS的交点是（）．（A）y轴对称（B）x一了对称（）X一了对称（＊）原点对称点有（）．（A）1个因）2个（C）3个（D）5个11．当李时有，则x属＿12．方程18X的实根个数是（）．A）1（…     

高中数学综合训练题(4)

1选择题（1）设I为全集，且，下列集合中一定为空集的是（）（A）AnB（B）AnB（C）AnB（B）AUB（2）已知A（一1，1）和圆C：（X一5）’＋（y一7）‘一4，一束光线从点A经X轴反射到圆周C的最短路程是（）（A）6VM一2（B）8（C）4JH（D）6（3）已知人工）一a“，g（x）＝Ic＆x．（a＞0，a一1），若人2）·g（2）＜0，则人工）与g（工）在同一坐标系中的图象可能是（）（A（B）（C）（D）（4）下列命题中正确的一个是（）（A）若a，产是第一象限角，且a＞q，则sinaMsing（B）函数y一幻——·＊lgx的单调增区间为（Zb。一千，Zk…     

构造方程 出奇制胜

在解析几何中，有一类问题若采用构造方程法求解，规律明显，方法巧妙，事半功倍．一般地，此类题有下面两个特征：题目的图形特征：两点失第三点；1．描述第三点的量为系数；构造的方程特征2.描述两点的两个量为根．例1过圆（x-a）2＋（y—b）2=r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的切线PA、PB，A、B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解题目的图形特征：两点人B夹第三点P．如图1所示．设A（X1，y1），B（Bx2，y2），则过A点的切线PA的方程为：（x1-a）（x-a） （y1-b）（y—b）=r2，即（x—a）x1 （y-b）y1=a（x—a）＋b（y—b）＋…     

78 圆的切线方程

我们知道，求适合某种条件的点的轨迹问题，实际上就是探求这些点的横生标X与纵坐标y之间的关系．我们已经得到了圆的标准方程：（X-a）2＋（y-b）2=r2圆的标准方程是由哪些量决定的呢？可以看出，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这三个量即可．1例题“已知圆的方程是X2＋y2=17，求经过圆上的一点P的切线的方程，’在教师的启发引导下，学生得出了过P点的切线方程为：JHx十Jlly—17．也许，大家对这个方程的特点，一时还看不出来！变化一下：“……，求经过圆上一点Q（4，1）的切线方程．”得到4X＋y一17．如果还看不出规律与特点，请…     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

函数图象与其反函数图象对称的浅显证法

1　课本内容安排上的弊病体现反函数图象之特点有定理　函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称.这是现行高中《代数》上册中有关反函数的一个重要定理.其证明是基于两点的距离公式P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2,其中(x1,y1)(x2,y2)分别是点P1、P2的坐标.设M(a,b)是y=f(x)上的任一点,则M′(b,a)便是y=f-1(x)之图象上的一点.这时,利用上述距离公式可证:对y=x上任一点P(c,c),都有PM=(a-c)2 (b-c)2=(b-c)2 (a-c)2=PM′.于是,由P是y=x上任一点,可知M、M′关于直线y=x对称(图1).因M是y=f(x)图象上的任一点,故知y=f(x)的图象与y=f-1(x…     

浅析二重极限的定义

关于二重极限的定义,各类数学教材中有各种不同的表述,归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外）,如果对于任意给定的正数。,总存在正数,使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P（X,y）所对应的函数值都满足不等式那末,常数A就称为函数当时的极限．定义2设函数的定义域为是平面上一点,函数在点儿的任一邻域中除见外,总有异于凡的属于D的点,若对于任意给定的正数。,总存在正数a,使得对D内适合不等式0＜户几卜8的一切点P,有不等式V（P）一周＜。成立,则称A为函数人P）当P～P。时的极限．…     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与y=x^2＋2（x≥0）的图象相交于不同两点A（x1，Y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x^2＋2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点，P为l1与l2的交点．     

由图象确定三角函数初相的一些技巧

高中《代数》上册第二章，已详细介绍了五点法和图象变换法作函数y=Asin（x )的图象．那么给出函数y＝Asin（x ）的一段图象，如何来求出三角函数的解析式呢？这也是三角函数中所研究的重要内容之一．对于这类问题，关键是由图象确定函数式中的待定系数A、w和的值，而在这三个值中，A和w的值由图象比较容易确定，值的确定比较困难，是一个难点，本文就针对这个难点，给出确定三角函数初相的一些技巧．例题已知图1是函数y=2sin（wx＋的一段图象，那么（1990年全国高考试题）解由图1知，函数的周期再由T一二，得。一2．故y—Zsin（Zx＋9）…     

由一道课本习题派生出来的的一类题

现行九年义务教育教科书《几何》第二册Pll5第13题：已知，如图1，点C为线段AB上一点，凸＊＊M、凸＊＊N是等边三角形．求证：＊N一BM．这是三角形金等中的一道基本题，由等边三角形的性质易知AIACNgAIMCB（SAS）故AN--BM，且／互一／2．（。）由这道题派生出来的各类题常见于各地中考试题及各类资料之中，今略举几例如后．在证明过程中。（。）式的结论我们直接应用，题设也不变．派生题1如图互，设＊N、＊M交于点D，求证：上＊＊B一120"（或／＊＊N一60"）．简证／BDN一／卫十／3一／2Mf3一／ACM-60"．派生题2"如图工，设…     

W空间中最佳逼近插值算子

一元函数有种种不同的插值方法，如多项式插值，样条插值，有理插值等，也给出了最佳插值算子[2]本文对二元函数讨论最佳逼近插值算子．设X是点集Ω上的实函数空间，是Ω上给定的一组点．由下式确定x上的一组泛函设Xu是X的。维子空间，定义X到Xu的算子Hn：其中（a；闪丹ZCXn．对X的子集人称dA【VI“fill＿fillSlipwIVJ一【＊un八V川UJXnCX｛。。（Q）IVC。。irCh为A的逼近偏差．若某个n维子空IWXu达到（2）式的第一个下确界，则称此Xn为A的最佳逼近子空间，记为X：．X：中达到（2）式的第二个下确界的扣；（Q）｝Z称为A的最…     

综合题新编选登

题194 已知函数y=kx＋1与y=1/x（x〉0）的图象相关于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1〈x2），l1，l2分别是y=1/x（x〉0）的图象在A，B两点的切线，M是l1与x轴的交点，N是l2与y轴的交点，P是l1与l2的交点．     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

简议用相关点法求轨迹方程

若动点P（x，y）的变动依赖于另一动点Q（x0，y0），而Q在某已知曲线F（x，y）=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式{x0=f（x,y） y0=（x,y） （＊），并代入方程F（x，y）=0，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程F[f（x，y），g（x，y）]=0，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，