关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献   

一道波斯尼亚奥赛题及其加强的统一推广

对如下一道竞赛题:设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,证明:(a5+b5)/(ab(a+b))+(b5+c5)/(bc(b+c))+(c5+a5)/(ca(c+a))≥3(ab+bc+ca)-2①文[1]给出如下三个加强:加强1设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,则     

关于变形牛顿方法敛速的一个注记

前言 在[1]中给出引理5.1如下: 设二次议程g(t)=at~2-bt+c=0.有正根t~*相似文献   

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

用((a b)/2)~2≤(a~2 b~2)/2解题两例

对于a、b∈R,易知(a b/2)2≤a2 b2/2恒成立,此不等式反映了任意两个实数的和与这两个数的平方和的大小关系,巧用这一不等式可以妙解一些数学不等关系的问题．请看以下两例: 1．比较大小例1试比较2~(1/2) 3~(1/2) 4~(1/2)与30~(1/2)的大小．解∵(a b/2)2≤a2 b2/2,     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

求双曲线切线方程一法

一引例对双曲线方程x~2/a~2-y~2/b~2=1 (1)我们同时给出一个与它有关的直线方程: b(t~2+a~2)x-a(t~2-a~2)y-2ta~2b=0 (2)这里t是参数。我们先介绍一下这个直线方程在求方程(1)所表示双曲线切线中的作用。引例问:过点P_1(4,0),P_2(6,2(3~(1/2)))P_3(3,2),P_4(0,2)能否作双曲线x~2/9-y~2/4=1的切线,若能,求出切线方程。解:已知a=2,b=3代入(2)得: 2(t~2+9)x-3(t~2-9)y-36t=0 (3) ①将P_1点坐标代入(3),得 8(t~2+9)-36t=0 2t~2-9t+18=0,t无实数解,这时我们说过P_1点的切线不存在。     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

含有给定k-正则子图的[a,b]-因子

设G是一个图,并设n,k,r,a和b是整数且满足k≥1,k≤a＜b和n≥3.对于G的给定的k-正则图H,如果G是K1,n-free图,且G的最小度至少是((n(a+1)+b-a-(k+1))/(b-k))「(ab+b-a-k)/(2(n-1))」-(n-1)/(b-k)(「(an+b-a-k)/(2(n-1))」)2-1,那么G有一个[a,b]-因子F使得E(H)(∈)E(F).类似地,也得到了关于图G有一个r-因子含有G中给定的k-正则子图的度条件.进一步,指出这些度条件是最佳的.     

不等式∑(a/b+c)＜1+(23/3)的初等证明

文[1]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了: 在△ABC中,若a,b,c为其边长,则有 (a)/(b+c)+(b)/(c+a)+(c)/(a+b) <1+(23/3).(1)     

椭圆与双曲线中"±b2/a2"的一种几何解释

定理1 设P是椭圆x2/a2 y2/b2=1上不同干长轴端点(或短轴端点)的任一点,则一b2/a2是P与长轴端点(或短轴端点)连线斜率之积.     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

指数平均与对数平均

设 a,b 为两个相异的正数,熟知有正数 a,b 的对数平均 L(a,b)=(b-a)/(lnb-lna).数((b~b)/(a~a))~(1/(b-a))/e 称为正数 a,b 的指数的平均,记为 E(a,b).本文证明个主要结论:1)((b~b)/(a~a))~(1/(b-a)/e 确是某一平均;2(ab)~(1/2)相似文献   

具有性质cr+1=3,ar+1=3a+1或 4a的(a+1,3)型距离正则图

设г是直径为d且型为(a 1,3)的距离正则图,其中a≥2.用l(c,a,b)表示交叉阵列ι(г)中列(c,a,6)t的个数,记r=r(г)=l(c1,a1,b1),8=8(г)=l(Cr 1,ar 1,br 1)及t=t(г)=l(cr s 1,ar s 1,br s 1).那末,若Cr 1=3,ar 1=4a或3a 1,则d=r t 2.     

具有性质cr 1=3,ar 1=3a 1或 4a的(a 1,3)型距离正则图

设г是直径为d且型为(a 1,3)的距离正则图,其中a≥2.用l(c,a,b)表示交叉阵列ι(г)中列(c,a,6)t的个数,记r=r(г)=l(c1,a1,b1),8=8(г)=l(Cr 1,ar 1,br 1)及t=t(г)=l(cr s 1,ar s 1,br s 1).那末,若Cr 1=3,ar 1=4a或3a 1,则d=r t 2.     

综合练习

1.设a∈R,A={x|1≤x≤4},B={x|x~2-2ax+a+2≤0},当AB时,求a的取值范围。 2.(1)讨沦函y=arcctgax(a>0,a≠1)的增减性 (2)求函数的反函数 3.已知x>0,x≠1,n为大于1的自然数,试比较1/log2x+1/log3x+…+1/log~nx与n/log2x的大小。 4.(1)已知a、b、c是互不相等的复数,试求a+b/b=b+c/c=c+a/a的值。 (2)设z_1、z_1是复数,且满足|z_1|<1,|z_2|<1,求证|(z_1-z_2)/(1-z_1z_2)|<1。 5.设等比数列z_1,z_2,z_3,…,z_n,…中的     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

图的联结数与[a,b]-因子存在性

设G是一个n阶图,a,b,m1,m2是非负整数且满足1≤a＜b和b≥m1.H1和H2是图G的两个边不交的子图且满足|E(H1)|=m1和|E(H2)|=m2.证明下列结论:若图G的联结数bind(G)＞(a+b-1)(n-1)/bn-(a+b)-2(m1+m2)+2且n≥(b-1)(a+b-1)(a+b-2)+2b(m1+m2)/b(b-1),则图G有一个[a,b]-因子F满足E(H1)(∈)E(F)和E(H2)∩ E(F)=φ.进一步指出这个结果是最好的.     

关于∑√a/b+c的上界

设△ABC的三边长为a、b、c,则有 　　∑√a/b+c》2, 　　其中2是最佳的.本文将讨论∑√a/b+c的最佳上界.……     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…