解题中的辩证思维

数学中充满了辩证法,解决数学问题常常需要运用辩证思维.辩证思维就是有效地运用事物之间的矛盾性或统一性,通过联系和转化从而处理问题的思维方法.本文介绍常见的辩证思维解题策略一、二. 1 一般与特殊 一般性寓于特殊性之中,在解决数学问题时,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略. 当我们在解决一般问题遇到困难时,如果先考虑其特殊情形,常常能发现一般规律从而     

线性分式函数的迭代

函数的迭代在中学数学竞赛中经常出现 ,其迭代公式与应用也有不少文章论及 ,但多半是对某些整式或特殊的分式函数进行迭代 ,而一般的分式函数的迭代公式还鲜有谈到 .本文将从多项式理论的角度出发分析得出线性分式函数的ｎ次迭代公式 ,并通过实例说明其结论简捷实用 .定义　设函数ｙ =ｆ(ｘ) ,记ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆ…ｆｎ个ｆ(ｘ)… ) (ｎ∈Ｎ) ,则称ｆｎ(ｘ)为函数ｆ(ｘ)的ｎ次迭代 ,显然 ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) .定理　若ｆ(ｘ) =ａｘ+ｂｃｘ+ｄ,ｆ1 (ｘ) =ｆ(ｘ) ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) ,(ｎ≥ 2 ) ,ａ、ｂ、ｃ、ｄ是保证ｆｎ…     

特殊入手 抓住核心

对于一些陌生的、比较困难的数学问题,直接处理很难入手,此时我们常把一般条件特殊化,或先考虑某些特殊情形,从中获取解决问题的途径,找到解决问题的方法,再把这种方法迁移过来,从而解决原问题.这就是特殊化思想解题的策略.     

特殊化策略在解竞赛题中的应用

著名数学家G.波利亚对特殊化有一精辟的论述:“特殊化是从考虑一组给定的对象集合,过滤到考虑该集合中较小的集合,或仅仅一个对象.”在解题中可理解为:当我们想解决一个一般性问题时,直接去解又比较困难.可以先就它的一个或几个简单的特殊情形进行分析、比较,再从中归纳,发现问题的一般规律,从而获得解题的途径,这种变更问题的方法称为特殊化.运用特殊化策略常能使竞赛问题避繁就简,化难为易.下文就特殊化策略在解竞赛题中的应用略谈几种常见的特殊化方法.     

例谈特殊化方法在主观题求解中的探路功能

波利亚云:"特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合,或仅仅一个对象".由于在特殊情况下,矛盾比较集中,常常可以突出问题的关键,便于揭示其本质,因此,我们面对一个数学问题,当复杂性掩盖着解法时,常常可以先考虑其特殊情形,用特殊探路,然后推及一般,化远为近、化生为熟,从而使问题最终得以解决.目前,在客观题求解中,特殊化方法已引起人们的普遍重视,但它在主观题中的运用还不够充分,因此本文试     

高等数学中的逆向思维

逆向思维的基本特点是 :从已有思路的相反方向去思考问题 .如 ,考虑使用间接方法 ,考虑逆推 ,考虑研究逆命题 ,考虑问题的不可能性 ,等 .它有利于克服思维定势的保守性 ,常常可帮助人们寻求新的思路、新的方法 ,开拓新的知识领域 ,在高等数学教学中 ,不少内容都可以用来培养学生的逆向思维能力 ,作者在工科高等数学教学实践中曾对这一问题作过探讨 ,以下我们将从几个主要方面来说明这一问题 .1　利用定义的可逆性(1 )利用定积分的定义求极限例 1　设 ｆ(ｘ)在 [0 ,1 ]上连续 ,且 ｆ(ｘ) >0 ,求极限ｌ=ｌｉｍｎ→∞ ｆ(1ｎ) ｆ(2ｎ)…ｆ(ｎ -…     

特殊化方法在解高考题中的三种功能

“特殊化”是中学数学里很重要的一种思想方法,稍加留心就可看到高考试题里有许多能够用“特殊化”方法解决的问题.特殊中蕴藏着一般,这是一个辩证的思想,所以在解决高考数学问题时,我们也可经常回归特殊,在特殊中寻找一般思路.特殊化方法在解决高考试题中有三种功能:提示解题方向、寻找解题途径、直接解答问题.下面举例加以说明.1.提示解题方向有些题目的结论不明确,将问题的条件特殊化,可以找到结论,从而发现解题前进的方向.例1设无穷等差数列{an}中的前几项和为Sn.(Ⅰ)若首项a1=32,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k.(Ⅱ)求所有的无穷…     

加强不等式中g(n)应满足的条件

一般地 ,一个与自然数有关的不等式总可以通过数学归纳法解决 .但其中有一些不等式却不能直接运用数学归纳法证明 .如下例 .例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａ1=5,ａｎ=5·2 ｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) ,求证1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ<35.令ｆ(ｎ) =1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ,显然ｆ(ｎ)是单调递增的 ,在用数学归纳法证明时 ,由ｆ(ｋ) <35不可能过渡到ｆ(ｋ 1) <35.对于这样的问题常用的办法是先证一个加强不等式ｆ(ｎ) <35-ｇ(ｎ)(ｇ(ｎ) >0 ) .问题是这个加强不等式中的ｇ(ｎ)应满足什么条件 .我们先看一般的情形 :求证ｆ(ｎ) <Ｍ(ｆ(ｎ)是单调递增的 ,…     

学会特殊化方法

特殊化方法是数学学习中的常用方法.对于某些数学问题,借助特殊化方法,可以更易获取解题思路,从而解决问题.所谓特殊化方法,是指从一个问题的某种特殊情形入手,发现破解问题的信息端倪,并由此探寻解决问题的思维脉络的一种数学思维方法.运用特殊化方法解决一个数学问题,通常可以从特殊数值、特殊位置、特殊模型等三个＂特殊＂入手.     

学会特殊化方法

<正>特殊化方法是数学学习中的常用方法.对于某些数学问题,借助特殊化方法,可以更易获取解题思路,从而解决问题.所谓特殊化方法,是指从一个问题的某种特殊情形入手,发现破解问题的信息端倪,并由此探寻解决问题的思维脉络的一种数学思维方法.运用特殊化方法解决一个数学问题,通常可以从特殊数值、特殊位置、特殊模型等三个"特殊"入手.本     

借助特殊情形解题

<正>有些数学题,抽象程度较高,涉及的面也较宽,一时难以下手去解决.此时,不妨先从一般情况退下来,将问题"特殊化",考察命题的某些特殊情形,注意从中归纳、发现一般的规律,进而寻得解决一般问题的途径.在数学中,常用下述办法将一个问题"特殊化":(1)画出图形来,从几何直观来启发思路或看出规律;(2)用具体数字来代替一般文字,将抽象     

用函数单调性演变命题

编题者有时拐弯抹角地把命题变得陌生而复杂 ,如果同学们也懂得这种拐弯的手段 ,则你的解题能力将有所增强 .我们知道 ,当 ｆ(ｘ)为增函数时 ,有ｆ(ｘ) <ｆ( ｙ) ｘ <ｙ .你能将上述简单的事实拐弯得复杂一些吗 ?首先 ,手头准备几个增 (减 )函数 ,如ｆ(ｘ) =ｘ3 ｘ ,对于简单的不等式2ｘ -1<ｘ ,先拐一下弯 :ｆ( 2ｘ -1) <ｆ(ｘ) .然后两边分别用函数式代替得( 2ｘ -1) 3 ( 2ｘ -1) <ｘ3 ｘ ,即　 ( 2ｘ -1) 3 ｘ -1<ｘ3( 1)　　此时 ,你能解上述不等式吗 ?从而有什么收获 ?现在 ,我们继续用增函数 ｆ(ｘ) =3 ｘ ｌｏｇ2 ｘ去命题 .对于方…     

中学数学解题策略——特殊化方法

数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样的事实,即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.”这段话对解数学题很有指导意义,当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时,采用特殊化策略就是一个较好的选择.1特殊化的基本思想特殊化策略即视原问题为一般,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化作为划…     

三角问题常见错解剖析

思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1　忽视三角函数的定义域而致错例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ的最小正周期 .错解 :∵ ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ=2ｓｉｎ2ｘｃｏｓｘ2ｃｏｓ2ｘｃｏｓｘ=ｔｇ2ｘ ,∴周期Ｔ =π2 .剖析　注意…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

数列解题中的“管中窥豹”

解题就是解决矛盾 .由于矛盾的普遍性寓于特殊性之中 ,因而问题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情形必须为真 .有些数学问题 ,直接从一般情况求解有时难以入手 ,这时我们可先考虑它的某一特殊情况 ,据此可检验答案的真伪 ,简化计算 ;有些数学问题 ,其特殊情形的解与一般情形的解往往有共性 ,这时我们可由“一斑”迅速判断“全身” ,再加以论证 ,起到事半功倍之效 .下面举例谈谈数列解题中的“管中窥豹”———特殊化处理 .1　取特殊值判断真伪例 1　若数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1 (ａ为常数 ,且ａ≠ 0 ) ,则 {ａｎ}是 (　　 )(…     

特殊化看问题

<正>特殊化策略即视原问题为一般情况,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题解决的策略,即把研究对象从原有范围缩小到较小范围或个别情形,甚至是极端情形来考察和探究.特殊化的本质是一种以退为进的策略,它符合人们从具体到抽象,从特殊到一般的思考惯性,在教学过程中不难发现,中学生在解某些小题(选择题、填空题)时,比较擅     

巧添绝对值符号解非绝对值问题

绝对值是高中数学的重要知识点 ,我们习惯上是把绝对值问题通过定义法、分类讨论、数形结合等手段转化为非绝对值问题来解决 .在实际的数学解题过程中可以发现 ,有些非绝对值问题 ,通过添加绝对值符号处理 ,往往能化难为易 ,优化解题过程 ,下面举例说明 .1　判断函数的奇偶性　对于分段函数的奇偶性 ,除了直接用函数奇偶性的定义去判定外 ,用先添加绝对值符号 ,再去判定 ,显得更简捷 .例 1　判定函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ - 1 ) (ｘ≥ 0 )-ｘ2 (ｘ 1 ) (ｘ <0 ) 的奇偶性 .分析 :利用绝对值 ,原函数可用一个表达式来表示 .解　原函数就是 ｆ(…     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

变换思维角度解题

在解题过程中 ,我们会发现有的题若按一般解法往往比较繁锁或较难入手 ,如果变换一下思维角度 ,立刻给人柳岸花明的感觉 .现举例如下 :例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =3ａｘ + 1 -2ａ在[-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 (ｘ≠± 1 ) ,则ａ的取值范围是 (　　 ) .解法一　 (常规解法 :对函数进行讨论 .)( 1 )若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1 ,在 [-1 ,1 ]上不存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 .( 2 )若ａ≠ 0 ,要使一次函数ｆ(ｘ) =3ａｘ+ 1 -2ａ在 [-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 ,必须满足ｆ( 1 ) ｆ( -1 ) <0 ,即　 ( 3ａ + 1 -2ａ) ( -3ａ + 1 -2ａ) <0 ,∴…