一个用料最省问题的讨论

要在矩形的纸上画一个底半径为ｒ,高为ｈ的圆锥的侧面展开图,这个矩形的两边长最少是多长?这个问题的实质是用一个矩形的纸,做一个圆锥,这个矩形的长、宽各为多少时用料最省(即矩形的面积最小).为便于研究,假设圆锥的母线长为ｌ,底面半径为ｒ,矩形的边长最小分别为ａ,ｂ,矩形的面积为Ｓ.根据圆锥的侧面展开图,扇形的圆心角α的大图1　扇形画法1小分以下几种情况:1　若0<α<π2,此时应有两类画法:1)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧两端点分别在矩形的两边上,如图1.2)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧与矩形的一边相切,两端点分别在…     

一个偶然的发现

一、提出问题在学习圆锥的侧面展开图时,老师出了这样一道题目:如图1,圆锥底面半径为9cm,母线长36cm,则圆锥侧面展开图的圆心角为     

走展开路线就一定“最短”吗?——对一道中考题的再思考

笔者最近对2008年中考青岛卷中的关于圆锥上两点之间“最短距离”的问题进行探究,并得到一些心得,与广大同仁们进行交流.1题目图1(2008青岛)如图1是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且AF=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A,则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.解析把图1中侧面展开后如图2,可知A′E为蚂蚁爬行的最短距离.∵l=n1π80R(R为扇形半径),∴n=18010×π10π=180,∴∠A′OE=90°,∴A′E=OA′2+OE2=82+102=241.评析此题是无盖问题,把圆锥展开成平面图形,再由平面上“两点之间,线段最短”的原理,达到求解目的.图22提出问题假如本题中此圆锥是一个有盖的圆锥形的纸杯,那么蚂蚁爬行的最短距离是否仍为图2中A′E的长呢?我们从以下两条路线来考虑:走路线1:底面圆的直径EF+AF,(如图1).设这条路线的长为l1,则l1=10+2=12,路线2:侧面展开图的线段A′E,(如图2).设此路线的长度为l2,则l2=OA′2+OE2=241,∵l12-l22=122...     

由课本一道例题引起的思考

人民教育出版社《立体几何》课本第８２页有这样一道例题; 例 已知：圆锥的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,侧面展开图扇形的圆心角为θ°． 求证：θ＝ｒ／ｌ·３６０． 本题的证明是利用侧面展开图扇形的圆心角、半径（圆锥母线长ｌ）、弧长（圆锥底面圆周长２πｌ）三者之间的关系来完成的,同学们很容易理解和掌握．但如果同学们仔细反思和联想（如图１）,不难发现ｒ／ｌ即为ｃｏｓ ａ（其中ａ为圆锥母线与底面所成的角）, 所以由此题结论还可得到 ｃｏｓ ａ＝ｒ／ｌ＝θ／３６０,而 、ｒ 二冗厂”厂 匕刀厂“ｏｔＸｃｏｓｏ二 口了一 …     

一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

解析中考与圆锥相关的计算问题

近年来,与圆锥相关的计算问题在中考中时常出现,解答这类问题时,应明确圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长,圆锥的侧面积等于侧面展开图扇形的面积,并灵活应运扇形的弧长、面积公式.下面以近几年中考题为例介绍一些和圆锥的侧面展开图有关的计算问题,供大家复复习时参考.     

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

对一道立体几何复习题及其解答的质疑

高级中学《立体几何》(甲种本)P_(128)的复习参考题二,B组的第20题是:有一个圆锥如图,它的底面半径为r,母线长为l,在母线SA上有一点B,AB=α,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少?教学参考书(浙江教育学院吴新萃编)给出了解答: 解:将圆锥沿母线SA     

圆台侧面两点间的最短距离

现行的中学数学教材《立体几何》复习参考题二第20题是: (1)有一个圆锥如图1,它的底面半径为r,母线长为l,在母线SA上有一点B,AB=a,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少?     

巧思妙解中考题

许多中考题,解法比较灵活,有循规蹈矩的“正宗”解法,也有别出心裁的巧解.在解中考题时,如何较快地进行巧思,发现它的妙解呢?我们可以引导学生从以下六个方面入手.1实验操作例1(河北省中考题)小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm;展开后按图2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是cm.图1图2解析本题的一般解法是从寻找线段间的数量关系来思考:不妨设重叠部分长为xcm,则矩形的长为(2x+1)cm,则展开后,两条折痕左右两侧长分别为xcm,则两条折痕之间的距离为1cm.其实我们只要动手按步骤实际操作一下,无需象上面那样去进行复杂的思考,就可快速发现问题的答案为1cm.图3例2(江苏省泰州市中考题)如图3,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5,则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个解析这是一道选择题中的压轴题,难度较大,得分率较低,许多考生不能从题目中挖掘隐含条件而“小题大做”、“小题繁做”,甚至有考生(考后调查表明)是在“...     

合理选择变量解函数最值问题

解函数最值问题 ,往往要找出关于该问题的一个“目标”函数 ,而合理选择某一变化着的“量”作自变量 ,不仅能较直接地建立函数关系 ,且能使问题的求解过程变得快捷方便 .本文试举几例 ,以供参考 .1　选一个“角度”例 1　一个圆锥形无底容器的容积 V为图 1定值 ,它的高 h和底面圆半径 R满足什么样的关系时 ,制作的材料最省 ?分析　如图 1 ,本题通常的做法是 ,设底面半径为 R,高为 h,圆锥母线长为 l,把侧面积 S表示为R、H、l中某一个的函数 ,用均值不等式求 S的最小值 .但函数式关系复杂 ,运算繁难 .如果我们换一个“角度”考虑问题 ,把一…     

解答圆锥问题的三个“相当于”

将圆锥沿一条母线剪开、铺平,圆锥的侧面展开图是一个扇形.其中,处理好体(圆锥体)和面(扇形)二者间元素的对应关系,准确理解、把握好三个相当于,是解决圆锥问题的关键所在.     

圆台侧面上两点间最近距离

解决旋转体侧面上两点最近距离问题,不少中学数学书刊载文,试图从其侧面展开草图寻求解题途径,其想法是十分可取的,它不仅有助于培养学生的思维能力,分析能力,而且也有助于培养空间想象能力。这对圆柱、圆锥来说堪称准确无误,然而对于情况比较复杂的圆台来说有时并不可靠。当然可先通过精确作图(但当下文中的d与x极为接近时也并非易事),而后再由图计算,但这既费事又费时,我们根据圆台的一些有关量以及同一条母线上两位置关系先作出准确     

排列组合解题中的转化与对应

一、从数图形谈起: 　　引例:右图中共有多少个矩形? 　　分析:本题完成一件事指的是数出图中矩形的个数.可以分类完成,但要注意不重不漏.……     

《二次根式》教材编写建议点滴

《第二十一章二次根式》系人民教育出版社《数学》九年级上册的开篇章节.通读了全章之后,对教材编写中的几个细节问题提出来与老师们商讨,恳请得到指点.1矩形的长与宽的界定教科书第5页练习中的第一题:要画一个面积为18cm2的矩形,使它的长宽之比为2∶3,它的长宽应取多少?不难计     

2000年上海市“第九届“中学生数学知识应用竞赛(初赛试题)

一、有块长为120cm,宽为90cm的矩形薄铁皮材料,现要剪一个长方体的展开图,做一个长方体的模型.(不考虑剪拼的耗损) 　　1.要使长方体体积最大,并求出体积最大值.……     

圆台侧面上最短距离问题的讨论

圆台的上下底面半径是 r′、r,AB是侧面母线 ,长为 l,求由 A点绕圆台侧面一周到 B点的最短距离 .现讨论如下 :如图 1,把圆台沿侧面母线剪开 ,得展开图扇环 ABB′A′,θ为圆心角 ,则θ =r - r′l .2π,由弧长公式得方程组　 (l SB)θ =2πr,SB .θ=2πr′,解得　 SB =lr′r - r     

一道纸杯制作试题

<正>近几年各地中考试题中出现了"几何设计题目",这些试题成为中考试卷中的亮点,这是趣味几何学中的新颖试题,属于非常规试题.1.原试题案例某班课题学习小组,进行了一次纸杯制作与探究活动,所要制作的纸杯(如图1所示)规格要求:杯口直径AB=6cm,杯底直径CD=4cm,杯壁母线AC=BD=6cm,并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不     

例习题教学的"新三讲"

从近几年高考试题来看 ,其特点之一是许多试题源于课本 ,高考命题要考查的数学思想、解题方法都分布在课本中 ,这意味着我们要重视例习题的教学 .过去我们对例习题的教学 ,往往采用一讲“一题多解”,二讲“一题多变”,三讲“一题多用”这三讲 ,用这三讲来体现数学思想、数学方法和数学能力 .现在 ,笔者在总结原“三讲”的基础上 ,根据自己的教学体会 ,结合《解析几何》课本中 P1 0 2的复习题 ,谈谈例习题教学的新“三讲”.题　 (解析几何 P1 0 2 )过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P和抛物线顶点的直线交准线 l于点 M,求…     

一道课本习题的延伸和推广

新编高中数学课本第二册 (上 )有这样一道练习题 :一段长为ｌｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,问这个矩形的长、宽各为多少时 ,菜园的面积图 1　解法 1用图最大 ,最大值是多少 ?下面先分析这道题的解法 .解法 1　如图 1,设矩形的宽为ｘｍ ,则其长为 (ｌ - 2ｘ)ｍ ,面积Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) =- 2ｘ2 ｌｘ =- 2 (ｘ - ｌ4 ) 2 ｌ28(0 <ｘ <ｌ2 ) .所以当ｘ =ｌ4 时 ,Ｓｍａｘ=ｌ28,此时ｌ- 2ｘ =ｌ2 .答　矩形的长为 ｌ2 ｍ、宽为 ｌ4 ｍ时 ,菜园的面积最大 ,最大值为 ｌ28ｍ2 .解法 2　同解法 1,Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) ,∵ 0 <ｘ <ｌ2 ,∴ｌ- …