一道普通高考题的另解

题目:设数列{an}的首项a_1∈(0,1),a_n=(3-a_(n-1))/2,n=2,3,4,….(Ⅰ)求{a_n}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an.3-2an,证明bn相似文献   

等比数列的一个判定条件

定理设{an}的各项全为正数,若a12a2+a22a3+…+an-12n=(a1+a2+…+an-1)2a2+a3+…+an,则a1,a2,…,an为等比数列.证令m=(a1a2,a2a3,…,an-1an).n=(a2,a3,…,an).由a12a2+a22a3+…+an-12an=(a1+a2+…+an-1)2a2+a3+…+an得a12a2+a22a3+…+an-12an·a2+a3+…+an=a1+a2+…+an-1.即|m||n|=m·n,所以m与n共线,故存在常数k,使得a2=ka1a2,a3=ka2a3,…,an=kan-1an,∴a2a1=a3a2=…=anan-1=k,从而{an}是等比数列.等比数列的一个判定条件@齐行超$单县二中!山东274300…     

一道国家集训题的导数证明

2005年国家集训题:从任意n(n≥2)个给定的正数a1,a2,…,an中,每项取k个数作乘积,所有这种乘积的算术平均值的k次方根,称为这n个数的k次对称平均,记为Bk.即Bk=a1a2…ak a1a3…ak 1 … an 1-k…an-1anCkn1k求证:若1≤k1相似文献   

新题征展(71)

A题组新编1.(1)已知数列{an}满足a1=m,a2=s(m≠s),且对任意不小于3的正整数n,均有an=an-1 an-22,求limn→∞an.(2)已知数列{an}满足a1=m,a2=s,a3=p,(m,s,p两两不等),且对任意不小于4的正整数n,均有an=an-1 an-2 an-33,求limn→∞an.2.(1)函数f(x)满足2x=m f(x)m-f(x)(m为大于零     

观察·推演·简化

不对号入座问题的一般形式是: 将编号为1,2,…,n的n个小球放入编号为1,2,…,n的n个小盒中,每盒一球且不对号,有多少种不同的放法? 用an表示n个球时的放法数,《中学生数学》文[1]获得了如下的递推公式 an=(n-1)(an-1 an-2) ①其中a1=0,a2=1．并在文末列出了如下的特值表:     

争鸣

问题问题97数列{an}中,a1=2,2an=an-1 an1-1(n≥2),求an.解由特征方程2x=x 1x得x=±1.∴2(an-1)=an-1 a1n-1-2=(ana-n1--11)2(1)2(an 1)=an-1 a1n-1 2=(ana-n1- 11)2(2)由((21))得aann -11=(aann--11 -11)2=[(aann--22- 11)2]2n-1=(aann--22 -11)4=…=(aa11- 11)2n-1.∵a1=2,∴aann- 11=(13)2n-1,即an=21-3-2n-1-1.上面解法是找特征根后,通过化简变形后得出规律的.但递推式变为:3an=an-1 an1-1(n≥2)后,用上面方法失效.我也曾试过好多种方法均告失败.请同行们参与讨论:“已知数列{an}中,a1=2,3an=an-1 an1-1(n≥2),求an”问题.an怎样求呢?是…     

使用递推式时应注意n的范围

问题 已知数列{an}的首项为a1=5,an= a1+a2+…+an-1(n≥2),求它的通项. 错解 由an=a1+a2+…+an-1=(a1+ a2+…+an-2)+an-1=an-1+an-1=2an-1得 an/an-1=2.故数列{an}是首项为a1=5,公比为2 的等比数列,所求的通项为an=5×2n-1. 分析 由已知a2=a1=5,但由an=5× 2n-1得a2=10,故为错解.出错的原因是对n的 范围注意不够,为了避免这种错误,在解题过 程中应注意以下两点:     

一道课本习题与竞赛题的联系

(a1+a2+…+an)2=a12+a22+an2+2(a1a2+a1a3+…+an-1an)(*)是课本中一道证明题,它显然是初中所学乘法公式的一种推广,而有些竞赛题却与此等式联系密切,请看下面两例.例1已知数列ak=2k(1≤k≤n).则所有可能乘积aiaj(1≤i≤j≤n)的和为多少?(1997年上海市中学生数学竞赛题)     

综合题新编选登

题162在数列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an 1-an=an 1 2an-1,n∈N*.1)记bn=(an-21)2,n∈N*,求证:数列{bn}是等差数列;2)求an的通项公式;3)对于任意的正整数k,是否存在m∈N*,使得am=k若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解1)∵an 1-an=an 1 2an-1(n∈N*),∴an 12-an2-an 1 an=2     

数学问题解答

20 0 0年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 3 1.试确定实数 a0 ,使得由递推公式 an 1 =-3 an 2 n( n=0 ,1,2 ,… )决定的数列 {an}为严格递增 .解　将递推公式　an 1 =-3 an 2 n改写为( an 1 -2 n 15 ) =-3 ( an-2 n5 ) .记　 bn=an-2 n5 ( n≥ ) 0 ,上式变为bn 1 =-3 bn.于是　bn=( -3 ) nb0 ,从而得出 :an=( a0 -15 ) ( -3 ) n 2 n5 　 ( n=0 ,1,2 ,… ) 1再将 1变形为an=( -3 ) n〔( a0 -15 ) ( -23 ) n· 15 〕.注意到　 limn→∞ ( -23 ) n=0 ,因此若 a0 -15 ≠ 0 ,则上式括号内的数与 ( a0 -15 )同号 (当 n充分大时 ) ,…     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

几类递推数列通项的求法

求由递推关系所确定的数列的通项,通常可通过对递推关系的一系列突破,构造出一个新的数列,转化为等差、等比数列,或与之相类似的问题来求解.下面通过具体的例子来说明由递推关系求通项的方法.一、递推式an-an-1=f(n)(n∈N*,f(n)为等差、等比数列的通项).例1、已知{an}中,a1=1,an=an-1 n(n≥2),求an.解:由已知有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.将上面n个等式左、右两边分别相加,得an=1 2 3 … n=n(n2 1).例2、已知{an}中,a1=1,an=an-1 2n-1(n≥2),求an.解:由已知,有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.将上面n个式子的等号左右两边…     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方…     

赋予新内容 用递推公式

<正>递推数列是数列一章的难点,若赋予新知识内容,则关系更加隐蔽,题目难度更大,现举例说明,供读者参考.一、赋予三角内容例1已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx+cos(n-1)x(x≠kπ,n≥2),求通项公式an.解∵a1=1,an=an-1cosx+cos(n-1)x(n≥2).∴a2=a1cosx+cosx=cosx+cosx     

数列中两个简单恒等式的应用

1　两个恒等式“某代数式减去一数 ,又加上这个数 .其值不变 .”这是一个简单的原理 ,多次运用它便得数列 {an}的一个非常有用的恒等式 :an=( an- an- 1) ( an- 1- an- 2 ) … ( a3- a2 ) ( a2 - a1) a11或表示为an =a1 ∑nk=2( ak - ak- 1) 2更一般地有an =ap ∑nk=p 1　 ( ak - ak- 1) .类似地 ,若 {an}中各项非零 ,则有恒等式 :an =anan- 1.an- 1an- 2.an- 2an- 3.… .a2a1.a13从形式上看 ,1、3两恒等式都简单而且和谐有序 ,他们有重要的应用价值 .例如 ,若{an}是等差数列 ,1式中每个括号的值为公差 d,故 1式就化成了通项公式…     

组合学的一个新概念--圆组合

1962年笔者在《数学通报》指出下述结果[1 ] :设n ,k为自然数 ,a ,b为实数或复数时 ,就有等价恒等式(a b) n =∑nk=0nk an-kbk,(二项式定理 )an bn =∑[n2 ]k=0( - 1 ) k nk (a b) n- 2k(ab) k,(等价二项式定理 )其中记号nk =n(n- 1 ) (n- 2 )… (n -k 1 )k!,nk =n(n -k- 1 ) (n -k- 2 )…(n- 2k 1 )k!.同时还发现等价恒等式的数字表、证明、性质以及应用上具有相似之处 .由于 nk 是组合记号 ,推测 nk 可能是另一组合记号 ,于是猜想 nk 中蕴藏着组合学的一个新概念 .40年韶光弹指过 ,近年笔者探讨孪生组合等式的问题[2 ,3,4] ,才能清楚地…     

多项式方程矩阵解的形式

设ai(i=0,1,…,n)是任意复数,矩阵方程anAn an-1An-1 … a1A a0I=0的所有解都具有形式PJP-1.其中P是可逆矩阵,J为以Jordan块Jj(j=1,2,…k)为元素的主对角分块矩阵,而Jj主对角线上的元素皆为一元n次方程anλn an-1λn-1 … a1λ1 a0=0的根λj,且Jj的阶rj不超过λj作为方程解的重数.     

关于等差数列、等比数列的一个充要条件及其应用

定理1　设非常数数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=Aa2n Ban C,则数列{an}是等差数列的充要条件是:A≠0,AC≤116,B=12.证明　(1)充分性:∵　Sn=Aa2n Ban C,∴　Sn-1=Aa2n-1 Ban-1 C(n≥2),∴　an=A(a2n-a2n-1) B(an-an-1).又　　　　B=12,Aa2n-12an-(Aa2n-1 12an-1)=0,∴　Δ=14 4A(Aa2n-1 12an-1)=(2Aan-1 12)2,∴　an=12±(2Aan-1 12)22A=12±(2Aan-1 12)2A,∴　an=an-1 12A,或an=-an-1.若an=-an-1,则　an=(-1)n 1a1,Sn=a1[1-(-1)n]1-(-1)=an(-1)-n-1[1-(-1)n]1-(-1)=an.(-1)-n-1 12.此时A=0,B=(-1)-n-1 12,C=0与已知矛盾.所以an…     

《数学通报》1624号问题的两个别证及再推广

1 问题的提出 <数学通报>2006年7月号问题1624: 若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1) 在2006年第8期,问题提供人刘俊老师构造n维向量,利用向量性质|m·n|≤|m|·|n|给出了一种证明方法;在<数学通报>2008年第5期罗邦华老师利用一个不等式引理又给出了一种证明方法,并将其结果进行了推广.     

一个不等式的推广、加强及应用

文[1 ] 给出了一个不等式 :2 (n + 1 - 1 ) <∑nk=11k<2n - 1 (n>1 )……(Ⅰ)本文对 (Ⅰ )式进行推广并且给出 (Ⅰ )式的一种加强形式 ,最后指出其应用 .定理 1 :已知 {an}为等差数列且a1 >0 ,公差d >0 ,则 2d(an+1 - a1 ) <∑nk=11ak<2d(an - a1 ) + 1a1.证 :因为a1 >0 ,d>0 ,所以 {an}为严格递增正数列 .因为ak - ak- 1 =dak+ak- 1>d2ak(k≥ 2 ) ,所以 1ak<2d(ak -ak- 1 ) . (A)又因为ak+1 - ak =dak+1 + ak2d(ak+1 -ak) . (B)由 (A)式知 ∑nk =11ak<1a1+ 2d[(a2 -a1 ) + ( a3- a2 ) +… + ( an- an- 1 ) ]=2d(an - a1 )…