二面角的平面角的一种作法

求二面角的大小是立体几何的重点和难点,也是多年来高考的热点之一．由三垂线定理作出二面角的平面角便是这一热点的中心;而对一些求二面角的复杂问题,学生往往不知所措;笔者根据多年的教学实践,提炼出一种由三垂线定理作二面角的平面角的简易方法——γ垂面法,收到较好效果．现简述如下： 如图１,记面ＭＡＢ为ａ,面ＣＡＢ为β,面ＭＡＣ为γ已知γ⊥β要作二面角 α－ＡＢ－β的平面角,只需过Ｍ点作ＭＮ⊥ＡＣ,Ｎ为垂足．则ＭＮ⊥β,再过Ｎ点作 ＮＯ⊥ＡＢ,Ｏ为垂足,由三垂线定理知：ＭＯ⊥ＡＢ,则ＭＯＮ即为所作的平面角． …     

角与其在平面上的射影角的大小问题

角与其在平面上的射影角的大小问题李旭芳（武汉市黄陂一中４３２２００）文［１］有这样一道题：已知∠ＡＯＢ＝α（α≠ｋπ，ｋ∈Ｚ）且在平面Ｍ内；平面Ｎ与平面Ｍ既不平行又不重合；∠ＡＯＢ在平面Ｎ上的射影所成的角为∠ＡＯＢ＝β，那么α与β的大小关系为（...     

一道高考备选题的讨论

一道高考备选题的讨论邵光华（山东曲阜师范大学数学系２７３１６５）文［１］给出了这样一道高考备选题：“已知在四面体Ａ－ＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ＝γ，ＢＣ＝ＡＤ＝α，ＡＣ＝ＢＤ＝β．（１）试证明；α２≤β２＋γ２；（２）取Ｇ为ＡＢ的中点，Ｋ为ＣＤ的中点，证明...     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

六、立体几何（解答题）１．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中,∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＝６０°,ＰＡ与底面ＡＢＣ所成角为４５°,ＡＢ＝ＡＣ．（１）求证：ＰＡ⊥ＢＣ;;（２）又若ＰＡ,ＡＢ,ＢＣ的长成等差数列,求二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的正弦值．（第１题图）（第２题图）２．如图...     

浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定；它们之间一定存在着某种必然的内在联系；事实上，我们有如下的定理；图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角，∠ＡＯＢ＝φ，∠ＡＯＣ＝θ１，∠ＢＯＣ＝θ２，二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α，则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα；略证：如图１，ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ，则∠ＡＣＢ＝α；令ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ；在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ＝ａｓｉｎθ１，ＯＣ＝ａｃｏｓθ１；同理，Ｂ…     

求二面角大小的又一方法

众所周知 ,求二面角的方法有定义法、射影法等 ,但这些方法都免不了比较复杂的计算 .下面本文介绍一种求平面角为锐角的二面角的大小的比较简捷的方法 ,这种方法的依据是 :图 1　命题中的示意图命题　如图1 ,若α∩β =ＭＮ ,且ＰＭ⊥α ,则二面角α ＭＮ β(锐角 )同ＰＭ与β所成的角互余 .其证明留给读者 ,此处从略 .下面举例谈谈其应用 .图 2　例题图例　如图 2 ,在正三棱柱ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1中 ,Ｅ∈ＢＢ1,截面Ａ1ＥＣ⊥侧面ＡＣ1,ＡＡ1=Ａ1Ｂ1,求平面Ａ1ＥＣ与平面Ａ1Ｂ1Ｃ1所成二面角 (锐角 )的度数 .( 1 996年高考题 )解　连结ＡＣ1交…     

直线与平面单元测试题

一、选择题１ＰＡ、ＰＢ是平面α过α外一点Ｐ的两条斜线，它们夹６０°角，它们都与α成４５°角，则它们在α上的射影所夹角为（）．（Ａ）３０°（Ｂ）４５°（Ｃ）９０°（Ｄ）１２０°２平面α与平面β相交，直线ｍ⊥α，则（）．（Ａ）β内不一定有直线与ｍ平行...     

数学科考试要求释疑(待续)

数学科考试要求释疑（待续）晨旭（接上期）图１２例２２（１９９４年高考数学试题）如图１２，已知Ａ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ是正三棱柱，Ｄ是ＡＣ中点．（１）证明ＡＢ１∥平面ＤＢＣ１；（２）假设ＡＢ１⊥ＢＣ１，求以ＢＣ１为棱，ＤＢＣ１与ＣＢＤ１为面的二面角α的度数...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０８６Ｐ是正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＢＢ１所在直线上的一点，试比较∠ＡＣ１Ｐ与∠ＡＣＢ的大小．解如图记∠ＡＣ１Ｐ＝α，∠ＰＣ１Ｃ＝β，显然∠ＡＣＢ是二面角Ａ－ＣＣ１－Ｂ的平面角，...     

ψ_α函数和Brogyden族

ψ_α函数和Ｂｒｏｇｙｄｅｎ族彭积明，袁亚湘（中国科学院计算中心）ψ_α－ＦＵＮＣＴＩＯＮＡＮＤＢＲＯＹＤＥＮ＇ＳＦＡＭＩＬＹ￥ＰｅｎｇＪｉ－ｍｉｎｇ；ＹｕａｎＹａ－ｘｉａｎｇ（ＣｏｍｐｕｔｉｎｇＣｅｎｔｅｒ，ＡｃａｄｅｍｉａＳｉｎｉｃａ）Ａｂｓｔｒａ...     

直四面体中的角公式

读完《异面直线距离的公式求法》［１］一文，感觉可类比求出异面直线所成的角．如图图１１，α⊥β，ＡＢα，ＣＤβ，∠ＡＢＣ＝θ１，∠ＤＣＡ＝θ２．于是在平面β内过Ａ作ＡＥ∥ＤＣ，则∠ＥＡＣ＝θ２．异面直线ＡＢ，ＤＣ所成的角是∠ＢＡＥ．又α⊥β，∴∠Ｂ...     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

THE CONTINUOUS CASTING PON α-BLOCH FUNCTIONS AND VMOA

ＯＮα－ＢＬＯＣＨＦＵＮＣＴＩＯＮＳＡＮＤＶＭＯＡ￥（赵如汉）ＺｈａｏＲｕｈａｎ（ＷｕｈａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＡｃａｄｅｍｉａＳｉｎｉｃａ，Ｗｕｈａｎ４５００７１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉ...     

1995年全国初中联赛两道几何题的探索

１９９５年全国初中联赛两道几何题的探索５５０００３贵州教育学院李长明一第一试中的一道选择题１题目设ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦，ＣＤ是○·Ｏ的直径，且与弦ＡＢ相交，记，则（Ａ）Ｍ＞Ｎ；（Ｂ）Ｍ＝Ｎ；（Ｃ）Ｍ＜Ｎ；（Ｄ）Ｍ、Ｎ的大小关系不确定２原解法简介为计算面...     

问题征解

编者按　杨学枝老师提出下述四个猜想，并自费为之设奖．对最先完整给出解答者，每一题奖给５０元，奖金由杨学枝直接寄给解答者（解答请寄３５００１５福建省福州市第二十四中学）．正确解答将在本刊刊出．猜想　在非钝角△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ｍａ、ｍｂ、ｍｃ与ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的中线与角平分线．１．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥λ（ｍｂ－ｍａ）（ｍｃ－ｍａ）成立的最大常数λ．猜想λｍａｘ＝４９（３－２２）（７＋２１０）；２．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ…     

关于一道极值题的若干反思

这是一道看似寻常的最值问题：四面体ＡＢＣＤ中,ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ三棱两两垂直,且ＡＤ＝１,ＢＤ＋ＣＤ＝４．求图１Ｓ△ＡＢＣ的最大值与最小值．从解题常规看,入手并不难．如图１所示,在平面ＡＢＣ内,作ＡＥ⊥ＢＣ,垂足为Ｅ,联ＤＥ．则ＤＥ⊥ＢＣ．设ＢＤ＝ｘ,易知　ＤＥ＝ＢＤ·ＣＤＢＣ＝ｘ·（４－ｘ）ｘ２＋（４－ｘ）２＝４ｘ－ｘ２２ｘ２－８ｘ＋１６　ＡＥ＝ＡＤ２＋ＤＥ２＝ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６２ｘ２－８ｘ＋１６而　Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＥ·ＢＣ　＝１２ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６（１）面对这…     

关于求二面角大小的一组公式及其应用

近年来全国高考及各省市数学竞赛试题中的立体几何题，几乎都涉及求二面角大小的问题；虽然有的数学杂志和复习资料对求解这类问题介绍了不少方法，但有些方法不十分理想，不是计算较繁琐，就是作辅助线较多，有的方法所引用的公式复杂难记；因此，本文给出一组求解公式，不仅公式的形式简单，而且计算简便，学生很容易掌握；公式１　如果三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，侧棱ＶＣ⊥底面ＡＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ；设二面角Ｖ－ＡＢ－Ｃ＝φ，∠ＶＡＣ＝θ１，∠ＶＢＣ＝θ２，那么ｔｇ２φ＝ｔｇ２θ１＋ｔｇ２θ２．图１证明　在底面ＡＢＣ内，过点Ｃ作ＣＤ…     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

α-CARLESON MEASURE AND BLOCH FUNCTIONS ON BOUNDED SYMMETRIC DOMAINS OF C~n

α－ＣＡＲＬＥＳＯＮＭＥＡＳＵＲＥＡＮＤＢＬＯＣＨＦＵＮＣＴＩＯＮＳＯＮＢＯＵＮＤＥＤＳＹＭＭＥＴＲＩＣＤＯＭＡＩＮＳＯＦＣ~ｎＯｕｙａｎｇＣａｉｈｅｎｇ（欧阳才衡）（ＷｕｈａｎＩｕｓｔ．ｏｆＭａｔｈ．Ｓｃｉ．，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄ．ｏｆＳｃｉ．，...