用G1 5次PH曲线等弧长逼近clothoid曲线

PH曲线是弧长为多项式的Bézier曲线,其等距线可用有理多项式表示.由clothoid曲线端点的G1 Hermite插值条件,构造对应等弧长的最佳G1 5次PH插值曲线,以此作为逼近.利用微分几何中的Frenet-Serret公式和经典的Taylor展开式,推导该逼近方式的误差、等距线误差和曲率误差.最后,给出在误差范围内,将clothoid曲线转化为等弧长G1 5次PH样条及等距线生成的算法.     

一种基于离散插值的多项式曲线逼近有理曲线的方法

提出了一种用多项式曲线插值逼近有理曲线的方法.首先,构造一条含参数的多项式曲线,令其插值于有理曲线的一些固定点处,求解相应的方程得到待定参数的值,从而确定多项式插值曲线.然后,采用离散的Hausdorff距离计算插值曲线与有理曲线之间的误差,典型数值算例表明,本文方法具有较好的可行性.     

三角域上调和与双调和的有理bézier曲面设计

在建筑、机械、计算机、应用数学这4大学科交叉形成的新兴的计算机辅助几何设计领域,首次提出了三角域上有理Bézier调和曲面的造型问题.主要方法和思路:给定欲求三角有理Bézier调和曲面的2条边界曲线,将这2条有理边界曲线进行Hybrid逼近,得到2条多项式曲线,以此为边界,应用Arnal等最近提出的由边界条件生成三角Bézier调和曲面的算法,得到一张三角多项式Bézier调和曲面;同时对欲求的三角有理Bézier调和曲面,应用张磊等提出的有效算法进行多项式逼近,得到一张带参数的三角多项式Bézier曲面,将此曲面与上述已得到的三角多项式Bézier调和曲面作比较,使它们之间的目标距离最小,就导出一个多变量的最优化问题,逼近求出未知参数,就可得到一张高精度的三角有理Bézier近似调和曲面.进一步,以上思想和算法被推广到三角有理Bézier双调和曲面.文中给出丰富实例验证了算法的正确和有效.     

用五次Pythagorean-Hodograph样条曲线构造三次B样条曲线等距线

提出了一种三次B样条曲线等距线生成的算法.研究用C1连续的五次Pythagorean-Hodograph样条曲线逼近一给定的三次Bezier曲线,证明了这种逼近算法在常用误差测度下的收敛性.然后,生成该PH样条曲线的精确有理形式的等距线,该等距线可作为原Bezier曲线的逼近等距线.估计了PH样条曲线与Bezier曲线的逼近误差以及对应等距线误差.用Boehm定理把B样条曲线转化为多段Bezier曲线,从而得到其等距线.     

利用带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线

利用现有势函数构造基于Metaball的过渡曲线,此过渡曲线无法兼具拟高阶连续性与形状可调性.针对这一问题,巧妙地从一种带形状参数的曲线模型出发,构造一类带形状参数的有理势函数,并研究该势函数的性质.所构造的有理势函数具有统一的数学模型,不仅能使过渡曲线在端点处达到拟Ck连续,而且还可通过修改形状参数的值调整过渡曲线的形状.实例表明,通过调整有理势函数的次数及形状参数的取值可构造出满足不同拟连续性且形状不同的过渡曲线,以满足实际应用需要.     

SPS参数化有理Bézier曲线的几何性质

SPS(Scalar Projection Scale)参数化有理Bézier曲线在几何造型中有重要应用.为研究其几何性质,首先分析了当SPS参数化有理Bézier曲线退化为Bézier曲线时,其所具有的几何性质;其次证明了SPS参数化有理Bézier曲线升阶后仍为SPS参数化;最后在求导的基础上利用笛卡尔符号法则分析SPS参数化二次有理Bézier曲线曲率的单调性,并得到了其曲率分布的规律.     

费马曲线上的有理点

当时, 给出费马曲线上有理点的具体形式及其个数公式. 当时, 给出上该费马曲线有理点个数的简单公式, 并得到了这些曲线上的有理点乘积为上立方数的充分条件.     

有理三角Bézier曲线曲面光滑融合的构造

为了使自由曲线曲面在较为简单的条件下能够达到相对高阶的光滑拼接,并在不改变控制顶点的情况下自由调整曲线曲面的形状,构造了含多个形状参数的有理三角函数.基于该组基函数,定义了含多个形状参数的有理三角曲线曲面,并讨论了曲线曲面的光滑拼接条件.根据拼接条件,分别定义了由含多个形状参数的有理三角曲线曲面构成的分段组合曲线、分片组合曲面.这种新的曲线曲面能够自动保证组合曲线、曲面的连续性.数值实例的结果显示了该方法的有效性.     

Q2非分歧扩域上椭圆曲线的近似计算

研究了Q2的非分歧扩域上椭圆曲线的近似计算问题:椭圆曲线有理点群中元素的有限表示、点加法中的提升算法以及点加法的近似计算等.借助两种提升算法完整地给出椭圆曲线有理点群中加法的近似计算公式,这将为利用无限域上椭圆曲线构造密码的可行性分析提供完善的理论基础.     

有理B样条曲线的快速逐点生成算法

给出了有理B样条曲线的快速逐点生成算法。对均匀有理参数曲线或非均匀有理参数曲线（NURBS），对低次有理B样条曲线和高次有理B样条曲线都适用，算法速度快，效率高，具有广泛的应用价值。     

代数三角二阶混合式的拟Béier曲线

在空间Ωn-span{cos t,sint,tCOSt,tsin t, 1,t,t^2,…,t^n-4。}（n≥4）中构造拟Bernstein基,并用其来构造Q。中的曲线,称为拟B6zier曲线,该类曲线具有很多与B6zier曲线类似的性质,利用这些性质可以对曲线进行升阶,升阶得到的控制多边形序列收敛到曲线．拟B6zier曲线这类曲线可以精确表示圆锥螺线,圆的渐开线等超越曲线．     

双曲混合多项式形式的Ball曲线

Ball曲线在多项式空间中得到了广泛的研究,而且在CAD系统中也有着广泛应用.详细讨论了双曲混合多项式空间Kn=span{1,t,t2,…,tn-2,sh t,ch t}中的Ball基和Ball曲线.在H-Bézier基的基础上构造的一组新的基称为空间Kn的H-Ball基,用这组H-Ball基定义的曲线称为H-Ball曲线.H-Ball曲线继承了Bézier曲线的很好的几何性质,而且在曲线升阶和降阶上比Bezier曲线更加快速方便.另外H-Ball曲线不仅可以通过调整控制多边形来控制曲线形状,还可以通过调整形状因子来调节曲线对控制多边形的逼近程度.H-Ball曲线在CAD系统和相关领域的曲线设计和建模中得到了重要的应用.     

代数三角二阶混合式的拟Béier曲线

在空间Ωn=span{cos t,sin t,t cos t,t sin t,1,t,t2,…,tn-4}(n≥4)中构造拟Bernstein基,并用其来构造Ωn中的曲线,称为拟Béier曲线,该类曲线具有很多与Béier曲线类似的性质,利用这些性质可以对曲线进行升阶,升阶得到的控制多边形序列收敛到曲线.拟Béier曲线这类曲线可以精确表示圆锥螺线,圆的渐开线等超越曲线.     

C-Bézier曲线降阶逼近

给出了基于L2范数下用m次（m≤n）C—Bezier曲线最小平方逼近n＋1次C-Bezier曲线的方法,同时也考虑了C^0和C^1约束条件下的最小平方降阶逼近．通过解线性方程组可得到新的降阶逼近曲线的控制顶点,降阶逼近曲线的误差也可计算．     

区间Bézier曲线的离散

把Bézier曲线的离散公式推广到区间Bézier曲线,并提出区间控制多边形的概念,证明了离散不断进行时,区间控制多边形收敛到原区间Bézier曲线.这里的离散公式可以增加控制顶点的数目,便于更加灵活地对这些区间曲线作形状控制.由离散公式和离散的收敛性可得到一种简洁有效的区间Bézier曲线的几何作图方法.     

三次参数曲线的区间扩展

为了在传统三次参数曲线中引入形状参数,通过将三次Ferguson曲线、三次Bézier曲线、三次均匀B样条曲线等传统三次参数曲线的定义区间由固定区间［0,1］扩展为动态区间［0,α］,构造了3种带参数α的三次参数曲线,分别称之为三次α Ferguson曲线、三次α Bézier曲线以及三次均匀α B样条曲线.所构造的α曲线是原三次参数曲线的同次扩展,不仅方程结构简单,继承了原曲线的性质,而且可通过修改参数α的值实现对曲线形状的调整,是一种简单有效的形状可调参数曲线构造方法.     

带法向约束的3次均匀B样条曲线插值

基于3次均匀B样条曲线段的端点性质,及其与控制顶点构成的三角形的几何关系,提出了一种插值给定顶点与法向约束的3次均匀B样条曲线构造算法.与以往B样条曲线的顶点法向插值算法不同的是,本算法结合由控制顶点构成的三角形的几何性质求解新添加的控制顶点,可生成严格插值型值点并且在型值点处法向与给定法向无偏移的B样条曲线.     

三维欧氏空间中的几类特殊球面曲线

利用曲线的球面活动标架,通过解微分方程,给出了三维欧氏空间中几类特殊球面曲线的特征和分类.     

具有简单G3条件的可调曲线曲面

为了使曲线曲面具有可调的形状和简单的G3条件,利用递推方法定义了一种EI函数.基于EI函数构造了具有大部分Bézier曲线曲面性质的EI曲线曲面.由于EI函数的特殊性,EI曲线曲面具有2个突出优点,一是具有形状控制参数,另一个是其G3条件正好是Bézier曲线曲面的G1条件.对于给定的点集,为了生成自动光滑的组合曲线曲面,在EI函数的基础上,定义了另一组MI函数.由MI函数定义的MI曲线曲面具有形状可调性,以及简单的连续性条件.根据连续性条件,采用一种特殊方式定义了组合MI曲线曲面,此方法无需附加任何条件,可自动达到光滑连接.     

三次T-Bézier曲线间的混合延拓

保持C2连续的条件下,在2条不相邻的三次T-Bézier曲线间构造了1条光顺的中间过渡曲线.首先,分别将2条曲线相邻的端点作为目标点,并根据三次T-Bézier曲线的C2连续延拓方法,构造出2条辅助延拓曲线;然后,利用这2条辅助延拓曲线及一类有理三角混合函数,生成1条带有平衡因子的混合延拓曲线;最后,将此混合延拓曲线应变能量的近似形式作为目标函数,并通过极小化目标函数法确定1条光顺的混合延拓曲线.此外,将该混合延拓方法应用于不相邻的三次T-Bézier曲面间的混合延拓.实例表明,由该混合延拓方法构造的曲线曲面具有较好的光顺性.