Pasternak地基上简支板振动问题的准格林函数方法

提出一种新的数值方法——准格林函数方法．以Pasternak地基上简支多边形薄板的振动问题为例,详细阐明了准格林函数方法的思想．即利用问题的基本解和边界方程构造一个准格林函数,这个函数满足了问题的齐次边界条件,采用格林公式将Pasternak地基上薄板自由振动问题的振型控制微分方程化为两个耦合的第二类Fredholm积分方程．边界方程有多种选择,在选定一种边界方程的基础上,可以通过建立一个新的边界方程来表示问题的边界,以克服积分核的奇异性,最后由积分方程的离散化方程组有非平凡解的条件,求得固有频率．数值方法表明,该方法具有较高的精度．     

简支梯形底扁球壳自由振动问题的准Green函数方法

以简支梯形底扁球壳的自由振动问题为例,详细阐明了准Green函数方法的思想.即利用问题的基本解和边界方程构造一个准Green函数,此函数满足了问题的齐次边界条件,采用Green公式,将简支梯形底扁球壳自由振动问题的振形控制微分方程化为两个耦合的第二类Fredholm积分方程.边界方程有多种选择,在选定一种边界方程的基础上,可以通过建立一个新的边界方程来表示问题的边界,以克服积分核的奇异性.最后由积分方程的离散化方程组有非平凡解的条件,求得固有频率.数值结果表明,该方法具有较高的精度.     

弹性地基上四边自由矩形薄板的解析解

将弹性地基用Winkler模型来代替,并首先把弹性地基上薄板弯曲问题的控制方程表示成为Hamilton正则方程,然后利用辛几何方法对全状态相变量进行分离变量,求出其本征值后,再按本征函数展开的方法求出弹性地基上四边自由矩形薄板的解析解．由于在求解过程中不需要事先人为的选取挠度函数,而是从弹性地基上薄板弯曲的基本方程出发,直接利用数学的方法求出可以满足四边自由边界条件的解析解,使得问题的求解更加理论化．还给出了计算实例来验证所采用的方法以及所推导出的公式的正确性．     

无拉力Winkler地基上自由边矩形薄板的弯曲

本文应用Fourier级数加补充项的方法求解了无拉力Winkler地基上自由边矩形薄板的弯曲问题.通过适当设定满足可导条件的Fourier级数加补充项形式的挠度函数,把给定边界条件下的微分方程化成一个无穷代数方程组.因接触区的边界预先不能定出,故这组方程为弱非线性方程.使用迭代法获得解答.     

双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板自由振动问题的Hamilton方法

本文运用矩阵多元多项式的带余除法把双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的振动方程转化为Hamilton系统,利用分离变量给出对应的Hamilton算子.通过计算得到对边简支问题所对应Hamilton算子的本征值和本征函数系,并证明了该本征函数系的辛正交性和在Cauchy主值意义下的完备性.根据本征函数系的完备性,得到对应Hamilton系统的通解,进而给出双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板对边简支振动问题振型函数的通解.此外,通过两个例子说明此方法可以计算出自由振动问题的频率和振型函数.     

弹性地基上自由边矩形薄板几个问题的注记

对于弹性地基上自由边矩形薄板的弯曲、稳定和振动问题,本文选择了一个挠曲函数,它能精确满足自由边全部边界条件以及自由角点的条件.应用能量变分原理,给出了确定挠曲函数中待定参数的方程,以及稳定性方程和频率方程,给出了求最小临界力和最小固有频率的一般公式.     

双参数地基上Reisner板弯曲问题的边界积分方程

本文应用广义函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ积分变换，导出了双参数地基上Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的两个基本解·在此基础上，从虚功原理出发，依据胡海昌导出的Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论，推导出适用于任意形状、任意荷载、任意边界条件情形的三个边界积分方程，为边界元法在这一问题中的应用提供了理论基础·文中给出了固支、简支、自由三类边界的算例，并与解析解比较，均得到满意的结果·     

双参数地基上Reissner板弯曲问题的边界积分方程

本应用广义函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ积分变换，导出了双参数地基上Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的两个基本解。在此基础上，从虚功原理出发，依据胡海昌导出的Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲理论，推导出适用于任意形状，任意荷载，任意边界条件情形的三个边界积分方程，为边界元法在这一问题中的应用提供了理论基础。中给出了固支、简支、自由三类边界的算例，并与解析解比较，均得到满意的结果。     

板弯曲问题的具两组高阶基本解序列的MRM方法

讨论了双参数地基上薄板弯曲问题.利用两组高阶基本解序列,即调和及重调和基本解序列,采用多重替换方法(MRM方法),得到了板弯曲问题的MRM边界积分方程.证明了该方程与边值问题的常规边界积分方程是一致的.因此由常规边界积分方程的误差估计即可得到板弯曲问题MRM方法的收敛性分析.此外该方法还可推广到具多组高阶基本解序列的情形.     

重调和椭圆边值问题的正则积分方程

我们熟知,利用位势理论或由Green公式及基本解出发区域内调和及重调和边值问题可归化为边界上的积分方程。近年来冯康又提出一种更自然而直接的归化,即从Green公式及Green函数出发将微分方程边值问题化为边界上的含有广义函数意义下发散积分有限部分的奇异积分方程,这种归化在各种边界归化中占有特殊地位,被称为正则边界归化,本文将这一理论应用于重调和椭圆边值问题,研究了其正则归化的性质,并通过利用Green函数、Fourier分析及复变函数论方法等不同途径求出了在上半平面、单位圆内部、单位圆外部三种区域的Poisson积分公式及正则积分方程,其离散化可用于实际计算。 本文是在导师冯康教授指导下完成的,作者谨在此对他表示衷心的感谢。