事件独立性的教学中应该注意的两个问题

1　事件独立性的概念定义　设 {Ω ,R ,P}是一个概率空间 ,对任意两个事件A ,B ,若P (AB) =P(A )P(B)成立 ,则称事件A与B相互独立 .用这种方法来定义两个事件的独立性主要基于以下几点理由 :1)在概率意义下 ,式子P(AB) =P(A)P(B)反映了事件A与B之间的某种独立性 .事实上 ,当P(A) >0时 ,由等式P(AB)=P(A)P(B)可以推知P(B A) =P(B) ,这表明事件B发生的概率不受事件A发生与否的影响 ;当P (B) >0时 ,由等式P(AB) =P(A)P(B)同样可推知P(A B)=P(A) ,这表明事件A发生的概率亦不受事件B发生与否的影响 .因此P(AB) =P(A)P(B…     

解概率题慎套公式

在解概率问题时 ,有的同学见到公式就急忙套用 ,也不管题目是否具备运用公式的条件 ,结果容易导致错误 .例 1　已知A、B为两互斥事件 ,且P(A)=0 .3 ,P(B) =0 .5 ,试求P(A +B)与P(A·B) .错解　∵　P(A) =0 .3 ,　P(B) =0 .5 ,∴　P(A) =0 .7,　P(B) =0 .5 ,∴　P(A +B) =P(A) +P(B)=0 .7+ 0 .5 =1.2 ;　　P(A·B) =P(A)·P(B)=0 .7× 0 .5 =0 .3 5 .分析　运用公式“P(A +B) =P(A ) +P(B)”的前提条件应是“A与B互斥” ,而运用公式“P(A·B) =P(A)·P(B)”的前提条件应是“A与B相互独立” ,但从该题的条件“已知A、B…     

Some Conditions for K_0(B(X))=0

Let A be an unital Banach algebra with the unital element I. We denote the set of (n×n)-matrices over A by Mn(A). The set of idempotent elements of A is denoted by P1(A):={P∈A: P2=P}, and accordingly the set of idempotent elements of Mn(A) is denoted by Pn(A):=P1(Mn(A)). We define P∞(A) :=∪n∈N Pn(A). In the set of P∞(A), for P,Q ∈ Pn(A), we say that P is (algebraic) equivalent to Q, if there exist A,B∈ Mn(A) such that     

圆锥曲线间的一种轨迹相关性及其几何特征

读罢《数学通报》1997· 2期廉万朝先生《椭圆、双曲线的一个性质及其相关性》一文 ,颇受启发 .笔者另辟蹊径 ,对共顶点的圆锥曲线探讨出另一种特殊的相关性及其“轨迹互变”的几何特征 .定理 1　若 A1 A2 是圆x2 y2 =a2 ( a>0 )在 x轴上的直径 ,P1 P2 是与 A1 A2 垂直的弦 ,则直线 A1 P1 与A2 P2 的交点 P的轨迹为 :x2 -y2 =a2 .证明　如图 ( 1) ,设 P1 ( acosθ,asinθ) ,则 P2 ( acosθ,-asinθ)直线 A1 P1 :y=asinθacosθ a( x a) 1直线 A2 P2 :y=-asinθacosθ-a( x-a) 21× 2消去 θ得 P点的轨迹方程为x2 -y2 =a2 .可见 ,P…     

环与算子代数上中心化子的刻画

令R是含有单位元I和一非平凡幂等元P的环.假设Φ:R→R是可加映射,A,B∈R.本文证明了,在一些徽弱的假设下,下列表述成立:(1)Φ满足AB=P蕴涵Φ(A)B=AΦ(B)=Φ(P)当且仅当Φ是中心化子;(2)Φ满足AB+BA=P蕴涵Φ(A)B+Φ(B)A=Φ(P)(AΦ(B)+BΦ(A)=Φ(P))当且仅当圣是左(右)中心化子;(3)Φ满足AB+BA=0蕴涵Φ(A)B+Φ(B)A=0(AΦ(B)+BΦ(A)=0)当且仅当Φ是左(右)中心化子.作为应用,获得了三角代数、套代数、因子von Neumann代数等算子代数上中心化子的刻画.     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类新课程卷)

参考公式 :如果事件A、B互斥 ,那么P(A +B) =P(A) +P(B)如果事件A、B相互独立 ,那么P(A·B) =P(A) ·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P ,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k) =CknPk( 1 -p) n-k球的表面积公式S=4πR2其中R表示球的半径球的体积公式V =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 ) 1 - 3i( 3+i) 2 =(A) 14+ 34i (B) - 14- 34i(C) 12 + 32 i (D) - 12 - 32 i( 2 )已知x∈ ( - π2 ,0 ) ,cosx=45 ,则tan2x=(A) 72 4 　 (B) - 72 4 　 (C) 2 47　 (D) - 2 47( 3)设函数f(x) =2 -x- 1x≤ 0x12 x >0若…     

关于A.Aziz的几个不等式的推广和彻底改进

一 、 导 引 记z_k=e~((2k+1)n·πι),k=0,1,2,…,n-1,是z~n+1=0的全部根。1984年,A,Aziz在[1]中证明了: (A)设P(z)是n次多项式,P(1)=0,则     

一个不定方程的概率解法及其它

本文将用概率方法给出不定方程x1 x2 x3 x4=nx1x2 =x3x4( 1 )的非负整数解 ,其中 n为任意自然数 .1　 问题的转化方程 ( 1 )的求解可以转化为对于古典概型中的独立事件的概率的讨论 .设 (Ω ,F,P)为任意概率空间 ,A、B为随机事件 ,称 A、B独立 ,如果P( AB) =P( A) P( B) ( 2 )关于事件 A、B的独立性 ,我们有下面的充要条件 :定理 1　事件 A、B独立 ,当且仅当P( AB) .P( AB) =P( AB) .P( A B) ( 3)证明　由P( AB) P( AB) - P( AB) P( A B)=[P( A) - P( AB) ].[P( B) - P( AB) ]- P( AB) P( A B)=P( A) P( B) - …     

关于"条件概率"的几个问题

一、条件概率的意义 :条件概率是概率论中的一个很重要的概念。设 A,B是两个事件 ,且 P( A) >0 ,定义 P( B|A) =P( AB)P( A) ,并称之为在已知事件 A已经发生的条件下 ,事件 B发生的条件概率。条件概率的意义 ,可以从以下三个方面来阐述 :1 .几何直观意义我们可用单位正方形表示样本空间Ω。用正方形内任一封闭曲线围成的图形表示事件 ,而把图形的面积理解为相应事件的概率。设 A Ω ,B Ω ,(见图 1 )图 1无条件概率 (或称为绝对概率 ) P( B) =P( B)P(Ω ) (注意 P(Ω ) =1 ) ,几何直观上 ,相当于 B在空间Ω中所占的比例。亦可表…     

点关于圆的极线的三种情形

人教版高中《平面解析几何》必修本P62 例 3描述了这样一个命题 :若点P(a ,b)在圆x2 +y2=r2 (r>0 )上 ,则直线ax +by=r2 (把圆方程中x2 ,y2 各拿一个字母分别换成a ,b)表示过点P的圆的一条切线 .这是情形①在一些教辅资料中 ,则介绍了情形② :若点P(a ,b)在圆x2 +y2 =r2 (r>0 )外 ,过点P作圆的两条切线 ,切点分别为A ,B ,则直线ax +by=r2 表示过点A ,B的直线 (该直线方程俗称为切点弦方程 )略证　设A ,B的坐标分别为 (xA,yA) ,(xB,yB) ,由情形①得 :lAP:xAx+yAy=r2lBP:xBx+yBy=r2因点P既在lAP 上 ,又在lBP上 ,则 xAa+yAb=r2xBa…     

一类对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引言 本文记号R~(n×m),OR~(n×n),A~+,I_k,SR~(n×n),rank(A),||·||,A*B,BSR~(n×n)和ASR~(n×n)参见[1].若无特殊声明文中的P为一给定的矩阵且满足P∈OR~(n×n)和P=P~T. 定义1 设A=(α_(ij))∈R~(n×n).若A满足A=A~T,(PA)~T=PA则称A为n阶对称正交对称矩阵;所有n阶对称正交对称矩阵的全体记为SR_P~n.若A∈R~(n×n)满足A~T=A,(PA)~T=-PA,则称A为n阶对称正交反对称矩阵;所有n阶对称正交反对     

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)本试卷共21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式:锥体的体积公式V=31Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.如果事件A,B互斥,那么P(A B)=P(A) P(B)如果事件A,B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)用最小二乘法求线性回归方程系数公式b∧=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx     

R~d中无界子集的离散填充指标(I)(英文)

本文定义了 Rd 中无界集合上的几种离散填充指标 ,并得到了若干性质 .特别地 ,对任意给定的非空集合 A Rd 和任意正整数 m,dim( m )P (A) =d* im( m )P (A) =d～ im( m )P (A) =d～ im( m )P ((A) ) =dim( m )P ((A) ) =dim( 2 )P ((A) ) .     

Characterization of derivations on B(X) by local actions

Let A be a unital algebra and M be a unital A-bimodule. A linear map δ : A →M is said to be Jordan derivable at a nontrivial idempotent P ∈ A if δ(A) ? B + A ? δ(B) =δ(A ? B) for any A, B ∈ A with A ? B = P, here A ? B = AB + BA is the usual Jordan product. In this article, we show that if A = Alg N is a Hilbert space nest algebra and M = B(H), or A = M = B(X), then, a linear map δ : A → M is Jordan derivable at a nontrivial projection P ∈ N or an arbitrary but fixed nontrivial idempotent P ∈ B(X) if and only if it is a derivation. New equivalent characterization of derivations on these operator algebras was obtained.     

钛、锆、铪金属有机化合物的研究——Cp2Ti(OC6H2Cl3-2,4,6)(Ⅰ)和[Cp2Zr(OC6H4Cl-p)]2O(Ⅱ)晶体结构和分子结构

化合物(Ⅰ)属空间群C2/C,晶胞参数:a=19.618(11)A,b=9.356(4)A,c=15.985(8)A,β=128.84(3)°=4。分子有C_2对称性。 化合物(Ⅱ)属空间群P2_1/a,晶胞参数:a=8.329(2)A,b=36.509(13)A,c=10.647(4)A,β=96.04(2)°,z=4,Zr—O—Zr非直线型161.1(9)°。Zr—O键有部分双键性质。 在两个化合物中,Ti原子和Zr原子均为d°电子构型。均以四面体取向与二个环戊二烯基环和二个O原子键合。对两个化合物中的M—O键进行了讨论。     

广义幂等算子差的可逆性

设P, Q为Hilbert空间H上的幂等算子, 关于算子$P$的广义幂等算子类ω(P)定义为ω(P)={A∈B}(H): A²=αA+βP, AP=PA=A,P²=P,∨α, β∈C}. 对任意A ∈ω(P), B∈ω(Q)使得A²=αA +βP, B²=mB+nQ,βn≠ 0, 得到了如下的结论: 值域R(PQ)是闭的充要条件是值域R(AB)是闭的; 如果P-Q是可逆的, 则A-B是可逆的.     

Lie Triple Derivations on von Neumann Algebras

Let A be a von Neumann algebra with no central abelian projections. It is proved that if an additive map δ :A → A satisfies δ([[a, b], c]) = [[δ(a), b], c] + [[a, δ(b)], c] +[[a, b], δ(c)] for any a, b, c∈ A with ab = 0(resp. ab = P, where P is a fixed nontrivial projection in A), then there exist an additive derivation d from A into itself and an additive map f :A → ZA vanishing at every second commutator [[a, b], c] with ab = 0(resp.ab = P) such that δ(a) = d(a) + f(a) for any a∈ A.     

算子方程AX=P和XA=Q解的唯一性

1引言 设H是Hilbert空间,B(H)是H上有界线性算子全体生成的Banach代数.设A∈B(H),用A*,R(A)和N(A)分别表示A的自伴算子,A的值域和A的核空间.用I(H)={[P∈B(H)):P=P2}表示H上所有幂等算子组成的集合.当P2=P=P*时,称幂等算子P为正交投影.设M是Hilbert空间H的闭子空间,用PM表示值域为M的正交投影.     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

对一道高考试题的探究

依次类推 ,因此质点行走的折线段P0 P1P2 P3 P4便转化为直线段 P0 P1R1R2 R3 .容易证明 ,AB∥ A2 B2 ,AB=A2 B2 ,所以 ABB2 A2 是平行四边形 ,若 P0 P1延长后与平行四边形ABB2 A2 内的线段 CD1,D1A2 相交 ,并与 A2 B2相交 ,则线段 P0 R3 应在平行四边形 ABB2 A2的内部 ,因此必有∠ P0 B2 M <∠ P0 R3 M =∠ BP0 P1=θ <∠ P0 A2 M(这里 PM⊥B2 A2 的延长线于 M) .因为 AB=2 ,BC=1 ,所以 tan∠ P0 B2 M=MP0B2 M=25,tan∠P0 A2 M=MP0A2 M=23,又点 P4( R3 )位于点 P0 ( R0 )与点 B( B2 )之间 ,所以∠ P0 B2 …