变换形式用数学归纳法证题

用数学归纳法证题,关键在第二步,即从“n=k 时命题成立”,推出“n=k+1时命题也成立。”对于这一步骤,如果变换一下形式,则可以化繁为简.下面本人举两例谈点体会.欲证形为     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

诡辩一则 --人皆"秃子"

命题　任意一个有 n根头发的人都是“秃子”( n∈ N+ ) .证明　 (用数学归纳法 )( 1 )只有一根头发的人显然是“秃子”,即当 n =1时 ,命题成立 ;( 2 )假设 n =k( k∈ N+ )时命题成立 ,即有 k根头发的人是“秃子”,而一个“秃子”的头上再长出一根头发以后仍为“秃子”,这就是说 ,n =k + 1时 ,命题也成立 .由 ( 1 )、( 2 )可知 ,当 n∈ N+ 时 ,命题成立 .即人皆“秃子”.诡辩揭秘　用数学归纳法可以证明与自然数有关的数学命题 ,但由于该命题中所涉及的对象——“秃子”不具备“确定性”的特征 ,不能构成普通意义上的集合 (康托集 ) ,这是…     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

也谈数学归纳法在解题中的应用

<正>1引言对于一类与正整数有关的命题的论证问题,当其他方法无法证明时,往往想到数学归纳法.用数学归纳法证明问题分三个步骤：第一步先证明当n取初始值n₀(n₀∈N*)时命题成立.这是第二步的前提,不可省去,初始值n₀视题目而定,不一定是1.第二步先假设当n=k(k∈N^*,k≥n₀)时命题成立,在此基础上,推证当n=k+1时命题也成立.这一步骤是数学归纳法最关键的步骤,要求对有关表达式进行恰当变形,而且在证明当n=k+1时命题成立时,     

教案一则

课题:数学归纳法的应用举例之三——解决与自然数有关的几何问题教学目的:1.使学生学会“综合运用不完全归纳法和数学归纳法来解决与自然数有关的问题”的方法,能较好地运用这一方法解决有关的几何问题。 2.培养学生观察问题、探寻规律、归纳结论的抽象概括能力和几何证明中的数学语言表述能力。教学重、难点:从n=k时命题成立到n=k 1时命题也成立的证明叙述。教学用具:投影仪和教学图片。教学过程: 一、复习导入: 请学生口述使用数学归纳法证明与自然数有关的命题的步骤,随之投影显示这一步骤。强调:(1)证明中二步缺一不可;(2)从n=     

数学归纳法的实用范围

我们已在高中代教中学习过数学归纳法的原理。这个原理是: 设有一个与自然数n有关的命题P(n),如果(1)命题P(1)成立;(11)命题P(k)成立,就可推出命题P(k 1)也成立。那么,这个命题对一切自然数n都成立。应该特别注意的是,P(n)是关于自然数的命题。而且,我们承认了人们所公认的一个“原理”:自然数集中有一个最小的数1,因此上面可以把1当作起始的数。这种以自然数集的最小数为基础,一步一步往上归纳的数学归纳法,简称之为“上归法”。中学数学中涉及的基本属于这种归纳法。把数0添进自然数中,于是得到所谓的扩大     

(二)所有人的身高一样

命题:所有人的身高一样。用数学归纳法证明如下。 n=1时,命题显然成立. 设n=k时命题真,即对任何k个人,其身高一样。那么n=k+1时,即有k+1个人时,先将这k十1个人编号,记为A_1 A_2…,A_3,A_k+1,由归纳假设可知,A_1,A_2,…A_k-1,A_k+1这k个人身高相等,记作m,又A_2,A_3,…,A_k,A_(k+1)这k个人的身高也相等,记作m_1,显然m=m_1,即这k+1个人的身高都相等。综上所述,所有人的身高都相等。     

关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

关于归纳假设的一例

用数学归纳法证明问题时,关键一步是利用归纳假设,从n=k推到n=k 1时的情形.这一步有时很容易入手.例如归纳假设1 2     

一类数列的一种求和方法

本文首先证明数列通项与前n项和的关系是一个充要条件,然后,应用它给出一类数列的一种初等求和方法。命题 S_n为数列{a_n}(n=1,2,3,…)的前n项和的充要条件为: 易知命题的必要性成立,现仅证充分性。证明由得∴命题的充分性成立。应用命题可给出下面一类数列的一种初等求和方法。 F(n)=sum from k=1 to n(1/k)f(k)r~(k-1) ①此处f(k)是含k的次数为m的任意多项式:     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

“数学归纳法”教学中的几个问题

数学归纳法是处理一类同无穷多个自然数有关的命题 P(n)的一种重要方法,在初、高等数学中,都有着重要的地位,基本原理是:命题1 P(1)正确,且 P(k)正确=P(k+1)正确,则 P(n)(n∈N)正确.学习数学归纳法时,学生常常产生下列问题:①命题1是怎样想到的?②命题1“保险”吗?它能不     

关于“n=k+1命题也真”的证明

数学归纳法是以归纳公理——“如果某个命题A(n):(1)当n=1时(真),(2)从假设n~(-k)此命题为真,得出n取下一个值即n=k+1     

浅谈数学归纳法的七大变化

数学归纳法是证明跟自然数ｎ有关的命题的一种重要的递推方法 .虽然数学归纳法有着固定的程序 ,但每一步中都蕴含着丰富的变化 .下面对这些变化加以归纳 ,以供大家参考 .1　验证步中的变化1.1　起点前移命题虽陈述为“对一切自然数ｎ成立” ,但命题成立的范围可更宽时 ,可以考虑证比“ｎ =1”更方便的起点 .　　例 1　试证对一切自然数ｎ ,都有　　　 12 ｃｏｓα ｃｏｓ2α … ｃｏｓｎα=ｓｉｎ2ｎ 12 α2ｓｉｎ α2.分析 :ｎ =0时命题显然成立 .以下只须假设ｎ=ｋ时命题成立 ,再推出ｎ =ｋ 1时命题也成立即可 .(证略 )1.2　起点…     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

从"秃顶悖论"到模糊数学

古希腊有一则"秃面悖论",用现代的逻 辑语言叙述为: 命题一 不长头发者是秃顶 命题二 比秃顶多长1根头发者仍是秃顶 一个人的头发的根数用一个自然数n表 示,对于n应用数学归纳法: n=0的人为秃顶(由命题一),假设n=k 的人为秃顶,则由命题二可得n=k+1的人     

一点带一面,一题牵一串

定理1 对于x_k>0,y_k>0,(k=1,2,…,n),则: sum from k=1 to n (x_k~2/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k (*) 证明由柯西不等式得; sum from k=1 to n y_k·sum from k=1 to n ((x_k~2)/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2 ∴sum from k=1 to n (x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k(等号当且仅当x_1/y_1=x_2/y_2=…=x_n/y_n时成立。) 运用上题的结论我们可以解答近几年来国内外有较大难度的一串竞赛题,灵活地运用不等式(*)能收到“一点带一面,一题牵一串”的效果。下面略举几例。以供读者参考。     

数学问题解答

2000年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1246.f(n)定义在正整数集合上,且满足f(1)=2,　f(n 1)=(f(n))2-f(n) 1,　n=1,2,3….求证:对所有整数n>1,1-122n-1<1f(1) 1f(2) … 1f(n)<1-122n　　证明　由条件易得　f(n)≥2又∵　f(n 1)=f(n)(f(n)-1) 1　∴　f(n 1)-1=f(n)(f(n)-1)于是　1f(n 1)-1=1f(n)(f(n)-1)=1f(n)-1-1f(n)即　1f(n)=1f(n)-1-1f(n 1)-1所以　∑nk=11f(k)=∑nk=1(1f(k)-1-1f(k 1)-1)=1f(1)-1-1f(n 1)-1=1-1f(n 1)-1下面只要用数学归纳法证明22n-1相似文献   

闭系统定律及其应用

在数学证明中,一般由原命题成立不足以断定其逆命题也成立,但在逻辑学中有一个“闭系统定律(豪伯定律)”,根据此定律,由满足一定条件的n个原命题成立,即可断定其相应的n个逆命题也成立。具体叙述如下: 定义在讨论某问题时,如果n个原命题具有下述形式: 且A_1,A_2,…,A_n包括了所论问题的所有可能性,B_1,B_2,…,B_n互相排斥,这时称这n个命题(1)构成一个闭系统。